Combinación de casos de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos.

Procedimiento General.

1) Agrupar los términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando uno o más Trinomios Cuadrados  Perfectos (a^2+2ab+b^2). Los términos que no sean T.C.P.  se restan del trinomio.  Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro (a^2+2ab+b^2) – (x^2+2xy+y^2).

2) Se factoriza el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado (a+b)^2

3) Si son dos binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia de Cuadrados Perfectos (a+b)^2 – (x+y)^2.  Si solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)^2 – c^2.

Veamos unos ejemplos para su mejor comprensión:

Ejemplo 1)  Descomponer o factorar  a^2 +m^2 -4b^2 -2am

> Formando un trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión dada:

a^2 -2am +m^2

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto encontrado:

a^2 -2am +m^2 = (a-m)^2

> Restándole al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión dada:

(a-m)^2 – 4b^2

> Esta nueva expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a factorizarla:

(a-m)^2 – 4b^2

= [(a-m)+2b)][(a-m)-2b]

= (a-m+2b)(a-m-2b)   Solución.

Ejemplo 2) Descomponer o factorar  4x^2 -a^2 +y^2 -4xy +2ab -b^2

> Formando trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos), buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.

-4xy es el resultado de -2(√4x^2)(√y^2) = -2(2x)(y) =  -4xy

2ab  es el resultado de  2(√-a^2)(√-b^2) = 2(-a)(-b) = 2ab

> Los trinomios quedarían así:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

> Convirtiendo los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

= (2x-y)^2 – (a-b)^2

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:

(2x-y)^2 – (a-b)^2

= [(2x-y) + (a-b)][(2x-y) – (a-b)]

= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)   Solución.

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Ejercicio 95.

Factorar o descomponer en dos factores:

1) a^2 +2ab +b^2 –x^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:

(a^2+2ab+b^2)

= (a+b)^2

> Formando una diferencia de cuadrados pefectos:

(a+b)2 – x^2

> Factorizando la la diferencia de cuadrados perfectos:

(a+b)2 – x^2

= [(a+b) +x][(a+b) -x]

= (a+b+x)(a+b-x) Solución.

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2) x^2 -2xy +y^2 –m^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

(x^2 -2xy +y^2)

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

x^2 -2xy +y^2 = (x-y)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

= [(x-y)+m][(x-y) +m]

= (x-y+m)(x-y-m) Solución.

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3) m^2 +2mn +n^2 -1

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n+1)(m+n-1)   Solución.

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4) a^2 -2a +1 –b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1 = (a-1)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

>Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

= [(a-1) +b][(a-1) -b]

= (a-1+b)(a-1-b)    ordenado sería:

= (a+b-1)(a-b-1   Solución.

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7) a^2 +4 -4a -9b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4

> Factorando  el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4 = (a-2)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

= [(a-2) +3b][(a-2) -3b]

= (a-2+3b)(a-2-3b)     ordenado sería:

= (a+3b-2)(a-3b-2)    Solución.

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28) x^2 +4a^2 -4ax –y^2 -9b^2 +6by

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (–y^2+6by-9b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (y^2-6by+9b^2)

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

= [(x-2a) +(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]

= (x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b)    Solución.

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30)  9x^2 +4y^2 -a^2 -12xy -25b^2 -10ab

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

= (3x-2y)^2 – (a+5b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

(3x-2y)^2 – (a+5b)^2

= [(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]

= (3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b)   Solución.

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