Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, cuando los factores tiene tres elementos.
Ejercicio 65
Procedimiento para (a+b+c)(a+b-c) :
– Se determina dos elementos o variables comunes en signos, y esas variables (a+b), formarán el minuendo de la diferencia.
– La tercera variable (c), es la que tiene signos distintos en los factores y es la que constituye el sustraendo de la diferencia.
– Luego se forman dos factores; uno de suma y otro de diferencia.
– En el primer factor (suma) se colocarán las variables asociadas más la variable que quedó sola [(a+b)+c]. En el segundo factor (diferencia) se colocarán las variables asociadas menos la variable que quedó sola [(a+b)-c].
– Al multiplicar estos nuevos factores quedará el minuendo elevado al cuadrado menos el sustraendo elevado al cuadrado. Ej. (a+b)² – c²
– Pero como hay una operación indicada entre paréntesis, (a+b)², es necesario resolver primero el minuendo, aplicando el caso del ejercicio 62 o 63. Y al resultado, a²+2ab+b², se le agrega la variable que queda sola elevada al cuadrado, -c²; y la solución final sería a²+2ab+b² -c².
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1) (x+y+z)(x+y-z)
= [(x+y)+z][(x+y)-z]
= (x+y)² –z²
= x² +2xy +y² –z²
Se forman dos factores asociando en cada uno “x+y” así: [(x+y) + z] y [(x+y)-z]
Y como (x+y)(x+y) = (x+y)² y (+z)(-z) = – z², resultaría (x+y)² – z² ;
pero a este resultado hay que resolver el cuadrado de la suma de (x+y)² ,
que sería igual a x²+2xy +y² , agregando a esto la otra variable – z²;
La solución sería x²+2xy+y² -z²
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4) (m+n+1)(m+n-1)
= [(m+n) +1][(m+n) -1]
= (m+n)2 -12
= m² +2mn +n² –(1)
= m² +2mn +n² -1
Asociando “m+n” : [(m+n)+1][(m+n)-1]
–>esto es igual (m+n)² –(1)²
–> (m+n)² = m² +2mn -n² ; – (1)² = – 1
La solución sería m² +2mn +n² -1
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5) (m-n-1)(m-n+1)
= [(m-n) -1][(m-n) +1]
= (m-n)² -1²
= m² -2mn +n² -1
Asociando “ m-1 “ : [(m-n)-1][(m-n)+1]
–> Esto es igual a (m-n)² – (1)²
–> (m-n)² = m² -2mn +n² ; – (1)² = – 1
La solución sería m² -2mn +n² – 1
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6) (x+y-2)(x-y+2)
= [x +(y-2)][x -(y-2)]
= x² –(y-2)²
= x² –{y² –[2(y)(2)] +2²}
= x² –(y²-4y+4) = x² –y² +4y -4
Asociando «y-2» : [x+(y-2)][x-(y-2)]
..> Esto es igual a x² – (y-2)²
..> x² = x² ;
– (y-2)²
= -y² – [2(y)(2)]+2²
= -(y² -4y+4)
= –y²+4y-4
La solución sería x² -y²+4y -4
En este caso al formar los factores de suma y de diferencia; se toma el primer término de los polinomios como minuendo de cada uno de los nuevos factores (x) ; y se asocian el segundo y tercer término para formar el sustraendo (y-2); pero al asociar el sustraendo en el factor de diferencia [x-(y+2)] ; los términos asociados se colocan dentro del paréntesis con diferente signo.
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8) (a²-2a+3)(a²+2a+3) = a^4+2a²+9
Asociando «a²» y «3» : (a²+3) –> [(a²+3)-2a][(a²+3) +2a]
–> Esto es igual a : (a²+3)² – (2a)²
–> Operando los cuadrados : = [(a²)² + 2(a²)(3) +3²] – 4a² =
–> simplificando : = (a^4+6a²+9) – 4a² = a^4 +6a² +9 -4a² =
–> Operando términos comunes : = a^4 +2a² +9 <– Solución.
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9) (m²-m-1)(m²+m-1) =
Asociando ¨m²» y ¨-1¨ : (m² -1) –> [(m² -1) -m][(m² -1) +m]
–> Esto es igual a: (m²-1)² – (m)²
–> Operando cuadrados: = [(m²)² -2(m²)(1) +(-1)²] – m²
–> Simplificando: = (m^4 -2m² +1) -m² = m^4 -2m² +1 -m² =
–> Operando términos comunes = m^4 -3m² +1 <– Solución.
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10) (2a-b-c)(2a-b+c)
= [(2a-b)-c][(2a-b)+c]
=(2a-b)² –c²
= (2a)² -2(2a)(b) +(b)² –c²
= 4a^2 -4ab +b^2 –c²
Asociando «2a-b» : [(2a-b)-c][(2a-b)+c]
–> Esto es = (2a-b)²-c²
Resolviendo lo del paréntesis : (2a)²-2(2a)(b)+b² = 4a^4-4ab+b²
Al resultado del paréntesis se le agrega el 3° término al cuadrado c² :
así 4a^4 -4ab +b² -c² es la Solución
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12) (x²-5x+6)(x²+5x-6)
= [x²–(5x-6)][x²+(5x-6)
= (x²)²-(5x-6)²
= x^4–[(5x)² -2(5x)(6) +6²]
= x^4 -25x² +60x -36
Asociando «»5x-6» : [x²-(5x-6)][x²-(5x-6)]= (x²)²-(5x-6)²
Minuendo : (x²)² = x^4 ;
Sustraendo : -(5x-6)² = -(5x)²-2(5x)(6)+6²] = -(25x² -60x+36)
La solución sería : x^4 -25x² +60x-36
Toma en cuenta que para resolver el sustraendo, este viene entre paréntesis antecedido de signo negativo » -( ) «, por lo que los términos se sacan con signo cambiado hacia la solución.
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– En el caso 1: (x+y)² y en el caso 4 : (m+n)² ; se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la suma de dos números : (Ejercicio 62)
– En el caso 5 : (m-n)² ; en el caso 6 : (y-2)²; el caso 10 : (2a-b)² ; y en el caso 12 : (5x-6)², (se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la diferencia de dos números: (Ejercicio 63)
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