Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Mínimo Común Múltiplo de Monomios

Regla General:  El m.c.m de 2 ó más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones algebraicas dadas.

Por ejemplo:

1) El m.c.m. de   4a   y   6a^2  es 12a ,  porque

12a^2  /  4a  =  3a

12a^2  /  6a^2  =  2

2) El m.c.m. de 6x^3   y   9x^4  es  18x^4 ,  porque

18x^4  /  6x^3  =  3x

18x^4  /  9x^4  =  2

NOTA:  En el ejemplo 1) no hay otra expresión algebraica menor que 12a^2 que divida exactamente a las expresiones dadas.  Así como en el ejemplo 2) 18x^4 es la menor expresión algebraica que  divide exactamente a sus respectivas expresiones dadas.

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Mínimo Común Múltiplo de Monomios.

Procedimiento:

Se encuentra el m.c.m. de los coeficientes y a la par de éste se escriben todas las letras distintas, sean comunes o no, con su exponente de mayor grado que aparezca en cualquiera de las expresiones dadas.

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Ejemplo 1) Hallar el m.c.m. de ax^2   y   a^3x

–> El m.c.m. de los coeficientes es   1.  ( En posteriores casos similares, se puede omitir este paso)

–>   En la letra “a” , el exponente de mayor grado es  =  a^3

–>  En la letra “x” , el exponente de mayor grado es  =  x^2

Por tanto, el m.c.m. de ax^2    y    a^3x  es  =  a^3x^2

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Ejemplo 2)  Hallar el m.c.m. de 8ab^2c    y   12 a^3b^2

–> El m.c.m. de  8   y   12    es  = 24 ,

–> En la letra “a” , el exponente de mayor grado es = a^3

–>  En la letra “b” , el exponente de mayor grado es = b^2

–>  En la letra “c” , el exponente de mayor grado es = c

Por lo tanto, el m.c.m. de 8a^2c   y   12a^3b^2  es  =  24a^3b^2c

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Ejemplo 3)  Hallar el m.c.m. de 10a^3x ,  36a^2mx^2   y   24b^2m^4

–> El m.c.m. de  10, 36 y 24  es

10|36|24|2    <– Primos relativos que dividen a cada uno de los coeficientes que están a su izquierda.

05|18|12|2

05|09|06|3

05|03|02|2

05|03|01|3

05|01|01|5.   –> el m.c.m. es =  (2)(2)(3)(2)(3)(5) = 2^3 * 3^2 * 5 = 8 * 9 * 5 = 360

01|01|01|

Las letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son:  a^3  ,   b^2  ,  m^4 ,  x^2

Por lo tanto, el m.c.m. de  10a^3x ,  36a^2mx^2   y   24b^2m^4  es  =  360a^3b^2m^4x^2

NOTA: Para estos casos donde hay varios coeficientes es recomendable utilizar la tabla del Ejemplo 3).

Si tienes otra manera (mental o numérica) de encontrar el menor de los múltiplos que divida exactamente, puedes utilizarla.

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Ejercicio 115.

1) Hallar el m.c.m. de   a^2   ,   ab^3

Letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son:  a^2    ,   b^3

Por lo tanto, el m.c.m. de a^2    y    ab^3  es =  a^2b^3 , que es la Solución.

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2) Hallar el m.c.m. de   x^2y   ,    xy^2

Las letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son : x^2    ,   y^2

Por lo tanto, el m.c.m. de   x^2y    ,   xy^2  es =  x^2y^2 ,   –> Solución.

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3) Hallar el m.c.m. de   ab^2c     y    a^2bc

–>  Letras comunes con su exponente de mayor grado son :  a^2 ,   b^2 ,    c

Por lo tanto, el m.c.m. de  ab^2c    y   a^2bc  es =  a^2b^2c ,  –>  Solución.

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5) Hallar el m.c.m. de   6m^2n    y    4m^3

–> El m.c.m. de  6    y   4

6|4|2

3|2|2

3|1|3    –> el m.c.m es = (2)(2)(3) = 12

1|1|

–> Las letras comunes con su exponente de mayor grado son:  m^2    y    n

Por lo tanto, el m.c.m. de   6m^2n    y    4m^3 es  =  12m^2n ,   –>  Solución.

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6) Hallar el m.c.m. de     9ax^3y^4    ,     15x^2y^5

–> El m.c.m de   9   y   15  es

9|15|3

3|05|3

1|05|5  –> el m.c.m. es =  (3)(3)(5)  =  45

1|01

–> Las letras comunes y no comunes con exponente de mayor grado son:   a  ,   x^3   ,   y^5

Por lo tanto, el m.c.m. de  9ax^3y^4    ,     15x^2y^5  es  =  45x^3y^5  ,   –>  Solución.

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9) Hallar el m.c.m. de   2ab^2   ,   4a^2b   ,   8a^3

–> El m.c.m. de   2  ,   4   y   8  es

2|4|8|2

1|2|4|2

1|1|2|2  –> el m.c.m. es =  (2)(2)(2)  =  8

1|1|1|

–> Las letras con su exponente de mayor grado son:  a^3    y    b^2

Por lo tanto, el m.c.m. de  2ab^2    ,    4a^2b   ,   8^3   es =  8a^3b^2,  –>  Solución.

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17) Hallar el m.c.m. de   9a^2bx  ,   12ab^2x^2   ,   18a^3b^3x

–>El m.c.m. de  9, 12 y 18 es

9|12|18|3

3|04|06|3

1|04|02|2

1|02|01|2   –> el m.c.m. es = (3)(3)(2)(2) = 36

1|01|01|

–> Las letras con su exponente de mayor grado son  a^3  ,   b^3   ,   x^2

Por lo tanto, el m.c.m. de   9a^2bx  ,   12ab^2x^2   ,   18a^3b^3x  es =  36a^3b^3x^2  <– Solución. 

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20)  Hallar  el m.c.m. de   20m^3n^3   ,   24m^3n   ,   30mn^2

–>  El m.c.m. de  20, 24 y 30 es

20|24|30|2

10|12|15|2

05|06|15|5

01|06|03|2

01|03|03|3  –>  el m.c.m. es =  (2)(2)(2)(3)(5) = 120

01|01|01|

–> Las letras  con su exponente de mayor grado son:  m^3  ,   n^3

Por  lo tanto, el m.c.m. de   20m^3n^3   ,   24m^3n   ,   30mn^2 es  =  120m^3n^3 <–  Solución.

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24)  Hallar el m.c.m. de   15mn^2   ,   10m^2   ,   20n^3   ,   25mn^4

–> El m.c.m. de  15, 10, 20 y 25 es

15|10|20|25|5

03|02|04|05|5

03|02|04|01|3

01|02|04|01|2

01|01|02|01|2  –> el m.c.m.  =  (5)(5)(3)(2)(2) =  300

01|01|01|01|

–> Las letras con su exponente de mayor grado son:   m^2   ,   n^3

Por lo tanto, el m.c.m. de   15mn^2   ,   10m^2   ,   20n^3   ,   25mn^4  =  300m^2n^3   <–  Solución.

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26)  Hallar el m.c.m. de   3a^3   ,   8ab   ,   10b^2  ,  12a^2b^3  ,  16a^2b^2

–> El m.c.m. de  3, 8, 10, 12  y 16

3|8|10|12|16|2

3|4|05|06|08|2

3|2|05|03|04|2

3|1|05|03|02|2

3|1|05|03|01|3

1|1|05|01|01|5  –> el m..c.m.  =  (2)(2)(2)(2)(3)(5) = 240

1|1|01|01|01|

–> Las letras con su exponente de mayor grado  son:  a^3   ,   b^3

Por lo tanto, el m.c.m. de   3a^3   ,   8ab   ,   10b^2  ,  12a^2b^3  ,  16a^2b^2  = 240a^3b^3   >– Solución.

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