Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Regla General.

Se descomponen cada  uno de los polinomios dados en sus factores primos.  El M.C.D.  es el producto de los factores comunes con su menor  exponente.

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Ejemplo a)  Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab    y    2a^4-2a^2b^2

1°)  Se factorizan las expresiones dadas:

–> 4a^2 + 4ab  = 4a(a+b)                       (Se aplicó Caso I  de Factorización)

–> 2a^4  -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2)  = 2a^2(a+b)(a-b)         (Se aplicó Caso I y IV de Factorización) 

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 4a   y   2a^2  son   2a

Factor común de (a+b)   y   (a+b)(a-b)   son  (a+b)

por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b)   y   2a^2(a+b)a-b  es  =  2a(a+b) ,  que  es la Solución.

NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores  o Factorización, según el Caso que le corresponda.

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Ejemplo b)  Hallar el m.c.d. de x^2 – 4  ,  x^2 -x -6  ,  x^2 +4x +4

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)              Se aplicó el Caso IV de Factorización

–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)               Se aplicó el Caso  III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)              Se aplicó el Caso III de Factorización. 

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de las 3 expresiones es =  (x +2)

por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,    x^2 -x -6   y   x^2 +4x +4 es =  x +2   Solución.

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Ejercicio 112.

1) Hallar el m.c.d. de   2a^2 +2ab   ,   4a^2 -4ab

Factorizando las expresiones dadas:

–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)             Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2  -4ab = 2a(2a -2b)         Se aplicó el Caso I  de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de   2a(a +b)    y    4a(a -b)      es  = 2a

por lo tanto el m.c.d. de    2a^2 +2ab     y     4a^2 -4ab  es = 2a      <–   Solución.

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2) Hallar el m.c.d. de   6x^3y -6x^2y  ,   9x^3y^2 +18x^2y^2  

Factorizando las expresiones dadas:

–> 6x^3y -6x^2y =  3x^2y(2x -2)                        

–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6)        ( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de  3x^2y(2x -2)     y     3x^2y^2(3x +6)  es =  3x^2y

por lo tanto el m.c.d.  de     6x^3y -6x^2y    y     9x^3y^2 +18x^2y^2 es =  3x^2y    <–   Solución.

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3) Hallar el m.c.d. de   12a^2b^3     y     4a^3b^2 -8a^2b^3

Faxctorizando las expresiones dadas:

–> 12a^2b^3   =  4a^2b^2(3b)

–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 =  4a^2b^2(a-2b)            (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   4a^2b^2(3b)    y     4a^2b^2(a-2b)  es  =   4a^2b^2

Por lo tanto el m.c.d. de    12a^2b^3     y     4a^3b^2 -8a^2b^3   es  =  4a^2b^2       <–  Solución.

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4) Hallar el m.c.d. de    ab +b     y    a^2 +a

Factorizando las expresiones dadas:

–> ab +b =  b(a +1)

–> a^2 +a  = a(a +1)       (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de    b(a +1)    y    a(a +1)  es    =  (a +1)

Por lo tanto el m.c.d.  de    ab +b     y    a^2 +a   es   =   a +1      <–  Solución.

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5) Hallar el m.c.d. de    x^2 -x    y   x^3 -x^2 

Factorizando las expresiones dadas:

–>  x^2 -x  =  x(x -1)

–>  x^3 -x^2  =  x^2(x -1)         (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   x(x -1)    y    x^2(x -1)  es  =  x(x -1)

Por lo tanto el m.c.d. de    x(x -1)      y   x^2(x -1)  es   =  x(x -1)    <–  Solución. 

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6) Hallar el m.c.d. de    30ax^2 -15x^3   ,     10axy^2 -20x^2y^2

Factorizando las expresiones dadas:

–>  30ax^2 -15x^3  =  15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)

–>  10axy^2 -20x^2y^2  = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)  Se aplicó el Caso I

Factor común de     (3)(5)(x)(x)(2a -x)       y       (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)   es  =  5x

Por lo tanto el m.c.d. de    30ax^2 -15x^3   ,     10axy^2 -20x^2y^2 es =     5x     <– Solución.

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7) Hallar el m.c.d. de    18a^2x^3y^4      ,    6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4

Factorizando las expresiones dadas:

–>  18a^2x^3y^4 =  6a^2xy^4(3x^2)

–>  6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 =  6a^2xy^4(x -3)    Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.

Factor común para   6a^2xy^4(3x^2)      y     6a^2xy^4(x -3)  es  =  6a^2xy^4

Por lo tanto el m.c.d. de    18a^2x^3y^4      ,      6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4   es  =  6a^2xy^4 <–  Solución.

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8) Hallar el m.c.d. de    5a^2 -15a     ,     a^3 -3a^2

Factorizando las expresiones dadas:

–>  5a^2 -15a   =  5a(a -3)

–>  a^3 -3a^2  =  a^2(a -3)      Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.

Factor común de   5a(a -3)      y      a^2(a -3)  es  =   a(a-3)

Por  lo tanto el m.c.d. de   5a^2 -15a     ,     a^3 -3a^2  es   =   a(a -3)   <–  Solución.

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Agregaré más ejercicios desarrollados y su solución.

Prof. Jorge A. Carrillo M.

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Comentarios en: "Máximo Común Divisor de Polinomios por Factorización." (6)

  1. Anónimo dijo:

    en el problema num 3 hay un error en el resultado del polinomio 2

    Me gusta

  2. Wasano dijo:

    Por favor necesito de el diez en adelante, le agradecería si lo hiciera

    Me gusta

  3. andres dijo:

    thank you for your help

    Me gusta

  4. jajjajjaaaa

    Me gusta

  5. Monica dijo:

    muy bueno gracias

    Me gusta

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