Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces.
Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces. 1) Se iguala el trinomio a cero y se hallan las raíces de la ecuación x₁ , x₂. 2) Se descompone el trinomio en tres factores: a) El coeficiente de x². b) “x” menos una de las raíces. c) “x” menos la otra raíz. ______________________________________ Ejemplos: a) Descomponer en factores el trinomio 6x²+5x-4 > Igualando a cero el trinomio 6x²+5x-4 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(5)±√(5)²-4(6)(-4)]/2(6) x = [-5±√25+96]/12 x = [-5±√121]/12 x = [-5±11]/12 –> x₁ = (-5+11)/12 = 6/12 = ½ x₂ = (-5-11)/12 = -16/12 = -4/3 > Descomponiendo la ecuación en factores: 6x²+5x-4 = 6(x-1/2)(x-(-4/3) = 6(x-1/2)(x +4/3) > Simplificando los paréntesis y dividiendo Los factores entre el coeficiente de x² = 6(2x-1)(3x +4) . 6 > Eliminando el 6 del numerador y el denominador: (2x -1)(3x +4) Solución. _________________________________________ b) Descomponer en factores el trinomio 24x²+26x+5 > Igualando a cero el trinomio: 24x²+26x+5 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(26)±√(26)²-4(24)(5)]/2(24) x = [-26±√676-480]/48 x = [-26±√196]/48 x = [-26±14]/48 –> x₁ = (-26+14)/48 = -12/48 = – ¼ x₂ = (-26-14)/48 = -40/48 = – 5/6 > Descomponiendo la ecuación en factores: 24x²+26x+5 = 0 = 24[x-(-1/4)][x-(-5/6)] = 24(x +1/4)(x +5/6) > Simplificando los paréntesis = 24(4x+1)(6x+5) > Dividiendo los factores entre el coeficiente de x² = 24(4x+1)(6x+5) . 24 (4x+1)(6x+5) Solución. ________________________________________ c) Descomponer en factores el trinomio 4+7x-15x² > Ordenando el trinomio e igualándolo a cero y cambiando el signo a los términos. -15x²+7x+4 = 0 15x²-7x-4 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(-7)±√(-7)²-4(15)(-4)]2(15) x = [7±√49+240]/30 x = [7±√289]/30 x = [7±17]/30 –> x₁ = (7+17)/30 = 24/30 = 4/5 x₂ = (7-17)/30 = -10/30 = – 1/3 > Descomponiendo la ecuación en factores: -15X²+7X+4 = 0 = -15[x-(4/5)][x-(-1/3) = -15(x -4/5)(x +1/3) > Simplificando los paréntesis y dividiendo Entre el coeficiente de x² = -15(5x-4)( 3x+1) . 15 > Eliminando el 15 del numerador y el denominador: = -(5x-4)(3x+1) = (-5x+4)(3x+1) <– * Ver nota = (4-5x)(1+3x) Solución. * Nota: Como el primer factor –(5x+4), tiene un signo “-“ antes del paréntesis, se elimina cambiándole el signo a lo que está dentro y luego se cambia de orden de los elementos para dejar de primero el elemento positivo; como consecuencia se cambia el orden de los elementos del otro factor (3x+1), pero estos sin cambiarles el signo. _________________________________________ Ejercicio 280. Descomponer en factores, hallando las raíces: 1) x²-16x+63 > Igualando a cero el trinomio: x²-16x+63 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(-16)±√(-16)²-4(1)(63)]/2(1) x = [16±√256-252]/2 x = [16±√4]/2 x = [16±2]/2 –> x₁ = (16+2)/2 = 18/2 = 9 x₂ = (16-2)/2 = 14/2 = 7 > Descomponer la ecuación en factores: x²-16x+63 = 0 = 1(x-9)(x-7) = (x-9)(x-7) Solución. _________________________________________ 3) x²-26x-155 > Igualando el trinomio a cero: x²-26x-155 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(-26)±√(-26)²-4(1)(-155)]/2(1) x = [26±√676+620]/2 x = [26±√1296]/2 x = [26±36]/2 –> x₁ = (26+36)/2 = 62/2 = 31 x₂ = (26-36)/2 = -10/2 = -5 > Descomponiendo el trinomio en factores: x²-26x-155 = 1(x-31)(x-(-5)) = (x-31)(x+5) Solución. _________________________________________ 8) 12x²-25x+12 > Igualando el trinomio a cero: 12x²-25x+12 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(-25)±√(-25)²-4(12)(12)]/2(12) x = [25±√(625-576]/24 x = [25±√49]/24 x = [25±√7]/24 –> x₁ = (25+7)/24 = 32/24 = 4/3 x₂ = (25-7)/24 = 18/24 = ¾ > Descomponiendo la el trinomio en factores: 12x²-25x+12 = 12(x – 4/3)(x – 3/4) > Simplificando los paréntesis y dividiendo Entre el coeficiente de x²: 12(3x-4)(4x-3) . 12 > Eliminando 12 del numerador y el denominador: (3x-4)(4x-3) Solución. _________________________________________ 11) 30x²-61x+30 > Igualando el trinomio a cero: 30x²-61x+30 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(-61)±√(-61)²-4(30)(30)]/2(30) x = [61±√3721-3600]/60 x = [61±√121]/60 x = [61±11]/60 –> x₁ = (61+11)/60 = 72/60 = 6/5 x₂ = (61-11)/60 = 50/60 = 5/6 > Descomponiendo el trinomio en factores: 30x²-61x+30 30(x -6/5)(x -5/6) > Simplificando el paréntesis y dividiendo entre el coeficiente de x² 30(5x-6)(6x-5) . 30 > Eliminando el 30 del numerador y el denominador: (5x-6)(6x-5) Solución. __________________________________________ 16) 4+13x-12x² > Ordenando el trinomio e igualándolo a cero: -12x²+13x+4 = 0 12x²-13x-4 = 0 > Hallando las raíces de la ecuación: x = [-(-13)±√(-13)²-4(12)(-4)]/2(12) x = [13±√169+192]/24 x = [13±√361]/24 x = [13±19]/24 –> x₁ = (13+19)/24 = 32/24 = 4/3 x₂ = (13-19)/24 = -6/24 = – ¼ > Descomponiendo el trinomio en factores: -12x²+13x+4 -12(x – 4/3)(x –(-1/4) > Simplificando los paréntesis y dividiendo entre el coeficiente de x² -12(3x-4)(4x+1) . 12 > Eliminando el 12 del numerador y el denominador: -(3x-4)(4x+1) > Resolviendo el signo menos antes del primer factor (-3x+4)(4x+1) > Cambiando el orden de los elementos de los factores. para dejar como primer elemento un positivo: (4-3x)(1+4x) Solución. ____________________________________________