Máximo Común Divisor de Polinomios por Factorización.

Regla General.

Se descomponen cada  uno de los polinomios dados en sus factores primos.  El M.C.D.  es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

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Ejemplo a)  Hallar el m.c.d. de 4a²+4ab    y    2a^4-2a²b²

1°)  Se factorizan las expresiones dadas:

–> 4a² + 4ab  = 4a(a+b)                       (Se aplicó Caso I  de Factorización)

–> 2a^4  -2a²b² = 2a²(a² – b²)  = 2a²(a+b)(a-b)         (Se aplicó Caso I y IV de Factorización) 

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 4a   y   2a² son   2a

Factor común de (a+b)   y   (a+b)(a-b)   son  (a+b)

por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b)   y   2a²(a+b)(a-b)  es  =  2a(a+b) ,  que  es la Solución.

NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores  o Factorización, según el Caso que le corresponda.

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Ejemplo b)  Hallar el m.c.d. de x² – 4  ,  x² -x -6  ,  x² +4x +4

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

–> x² -4 = (x -2)(x +2)              Se aplicó el Caso IV de Factorización

–> x² -x -6 = (x -3)(x +2)               Se aplicó el Caso  III de Factorización.

–> x² +4x +4 = (x +2)² = (x +2)(x +2)              Se aplicó el Caso III de Factorización. 

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de las 3 expresiones es =  (x +2)

por lo tanto, el m.c.d. de x² -4,    x² -x -6   y   x² +4x +4 es =  x +2   Solución.

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Ejercicio 112.

1) Hallar el m.c.d. de   2a² +2ab   ,   4a² -4ab

Factorizando las expresiones dadas:

–> 2a² +2ab = 2a(a +b)             Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a² -4ab = 2a(2a -2b)         Se aplicó el Caso I  de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de   2a(a +b)  y  4a(a -b)   es  = 2a

por lo tanto el m.c.d. de  2a² +2ab  y  4a² -4ab  es = 2a    <–   Solución.

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2) Hallar el m.c.d. de   6x³y -6x²y  ,   9x³y² +18x²y²  

Factorizando las expresiones dadas:

–> 6x³y -6x²y =  3x²y(2x -2)                        

–> 9x³y² +18x²y² = 3x²y²(3x +6)        ( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de  3x²y(2x -2)   y   3x²y²(3x +6)  es =  3x²y

por lo tanto el m.c.d.  de   6x³y -6x²y   y   9x³y² +18x²y² es =  3x²y    <–   Solución.

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3) Hallar el m.c.d. de   12a²b³    y     4a³b² -8a²b³

Faxctorizando las expresiones dadas:

–> 12a²b³  =  4a²b²(3b)

–> 4a³b² -8a²b³ =  4a²b²(a-2b)            (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   4a²b²(3b)  y   4a²b²(a-2b)  es  =   4a²b²

Por lo tanto el m.c.d. de  12a²b³  y  4a³b² -8a²b³  es  =  4a²b²   <–  Solución.

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4) Hallar el m.c.d. de    ab +b     y    a² +a

Factorizando las expresiones dadas:

–> ab +b =  b(a +1)

–> a² +a  = a(a +1)       (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de    b(a +1)  y  a(a +1)  es    =  (a +1)

Por lo tanto el m.c.d.  de  ab +b   y   a² +a   es   =   a +1      <–  Solución.

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5) Hallar el m.c.d. de    x² -x    y   x³ -x²

Factorizando las expresiones dadas:

–>  x² -x  =  x(x -1)

–>  x³ -x² =  x²(x -1)         (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   x(x -1)  y   x²(x -1)  es  =  x(x -1)

Por lo tanto el m.c.d. de   x² -x    y   x³ -x² es  =  x(x -1)   <–  Solución. 

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6) Hallar el m.c.d. de    30ax² -15x³  ,     10axy² -20x²y²

Factorizando las expresiones dadas:

–>  30ax² -15x³ =  15x²(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)

–>  10axy² -20x²y² = 10xy²(a -2x) = (2)(5)(x)(y²)(a -2x)  Se aplicó el Caso I

Factor común de     (3)(5)(x)(x)(2a -x)   y   (2)(5)(x)(y²)(a -2x)   es  =  5x

Por lo tanto el m.c.d. de  30ax² -15x³ ,   10axy² -20x²y² es =   5x    <– Solución.

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7) Hallar el m.c.d. de    18a²x³y^4      ,    6a²x²y^4 -18a²xy^4

Factorizando las expresiones dadas:

–>  18a²x³y^4 =  6a²xy^4(3x²)

–>  6a²x²y^4 -18a²xy^4 =  6a²xy^4(x -3)    Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.

Factor común para   6a²xy^4(3x²)   y  6a²xy^4(x -3)  es  =  6a²xy^4

∴ el m.c.d. de 18a²x³y^4 , 6a²x²y^4 -18a^2xy^4 es = 6a²xy^4 <–Solución.

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8) Hallar el m.c.d. de    5a² -15a     ,     a³ -3a²

Factorizando las expresiones dadas:

–>  5a² -15a   =  5a(a -3)

–>  a³ -3a² =  a²(a -3)      Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.

Factor común de   5a(a -3)   y   a²(a -3)  es  =   a(a-3)

Por  lo tanto el m.c.d. de   5a² -15a  ,  a³ -3a² es =  a(a -3)  <–  Solución.

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Prof. Jorge A. Carrillo M.