Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Máximo Común Divisor de Polinomios por Factorización.

Regla General.

Se descomponen cada  uno de los polinomios dados en sus factores primos.  El M.C.D.  es el producto de los factores comunes con su menor  exponente.

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Ejemplo a)  Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab    y    2a^4-2a^2b^2

1°)  Se factorizan las expresiones dadas:

–> 4a^2 + 4ab  = 4a(a+b)                       (Se aplicó Caso I  de Factorización)

–> 2a^4  -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2)  = 2a^2(a+b)(a-b)         (Se aplicó Caso I y IV de Factorización) 

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 4a   y   2a^2  son   2a

Factor común de (a+b)   y   (a+b)(a-b)   son  (a+b)

por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b)   y   2a^2(a+b)a-b  es  =  2a(a+b) ,  que  es la Solución.

NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores  o Factorización, según el Caso que le corresponda.

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Ejemplo b)  Hallar el m.c.d. de x^2 – 4  ,  x^2 -x -6  ,  x^2 +4x +4

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)              Se aplicó el Caso IV de Factorización

–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)               Se aplicó el Caso  III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)              Se aplicó el Caso III de Factorización. 

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de las 3 expresiones es =  (x +2)

por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,    x^2 -x -6   y   x^2 +4x +4 es =  x +2   Solución.

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Ejercicio 112.

1) Hallar el m.c.d. de   2a^2 +2ab   ,   4a^2 -4ab

Factorizando las expresiones dadas:

–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)             Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2  -4ab = 2a(2a -2b)         Se aplicó el Caso I  de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de   2a(a +b)    y    4a(a -b)      es  = 2a

por lo tanto el m.c.d. de    2a^2 +2ab     y     4a^2 -4ab  es = 2a      <–   Solución.

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2) Hallar el m.c.d. de   6x^3y -6x^2y  ,   9x^3y^2 +18x^2y^2  

Factorizando las expresiones dadas:

–> 6x^3y -6x^2y =  3x^2y(2x -2)                        

–> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6)        ( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de  3x^2y(2x -2)     y     3x^2y^2(3x +6)  es =  3x^2y

por lo tanto el m.c.d.  de     6x^3y -6x^2y    y     9x^3y^2 +18x^2y^2 es =  3x^2y    <–   Solución.

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3) Hallar el m.c.d. de   12a^2b^3     y     4a^3b^2 -8a^2b^3

Faxctorizando las expresiones dadas:

–> 12a^2b^3   =  4a^2b^2(3b)

–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 =  4a^2b^2(a-2b)            (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   4a^2b^2(3b)    y     4a^2b^2(a-2b)  es  =   4a^2b^2

Por lo tanto el m.c.d. de    12a^2b^3     y     4a^3b^2 -8a^2b^3   es  =  4a^2b^2       <–  Solución.

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4) Hallar el m.c.d. de    ab +b     y    a^2 +a

Factorizando las expresiones dadas:

–> ab +b =  b(a +1)

–> a^2 +a  = a(a +1)       (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de    b(a +1)    y    a(a +1)  es    =  (a +1)

Por lo tanto el m.c.d.  de    ab +b     y    a^2 +a   es   =   a +1      <–  Solución.

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5) Hallar el m.c.d. de    x^2 -x    y   x^3 -x^2 

Factorizando las expresiones dadas:

–>  x^2 -x  =  x(x -1)

–>  x^3 -x^2  =  x^2(x -1)         (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

Factor común de   x(x -1)    y    x^2(x -1)  es  =  x(x -1)

Por lo tanto el m.c.d. de    x(x -1)      y   x^2(x -1)  es   =  x(x -1)    <–  Solución. 

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6) Hallar el m.c.d. de    30ax^2 -15x^3   ,     10axy^2 -20x^2y^2

Factorizando las expresiones dadas:

–>  30ax^2 -15x^3  =  15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)

–>  10axy^2 -20x^2y^2  = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)  Se aplicó el Caso I

Factor común de     (3)(5)(x)(x)(2a -x)       y       (2)(5)(x)(y^2)(a -2x)   es  =  5x

Por lo tanto el m.c.d. de    30ax^2 -15x^3   ,     10axy^2 -20x^2y^2 es =     5x     <– Solución.

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7) Hallar el m.c.d. de    18a^2x^3y^4      ,    6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4

Factorizando las expresiones dadas:

–>  18a^2x^3y^4 =  6a^2xy^4(3x^2)

–>  6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4 =  6a^2xy^4(x -3)    Se aplicó el Caso I para ambas expresiones.

Factor común para   6a^2xy^4(3x^2)      y     6a^2xy^4(x -3)  es  =  6a^2xy^4

Por lo tanto el m.c.d. de    18a^2x^3y^4      ,      6a^2x^2y^4 -18a^2xy^4   es  =  6a^2xy^4 <–  Solución.

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8) Hallar el m.c.d. de    5a^2 -15a     ,     a^3 -3a^2

Factorizando las expresiones dadas:

–>  5a^2 -15a   =  5a(a -3)

–>  a^3 -3a^2  =  a^2(a -3)      Se aplicó el Caso I, para ambas expresiones.

Factor común de   5a(a -3)      y      a^2(a -3)  es  =   a(a-3)

Por  lo tanto el m.c.d. de   5a^2 -15a     ,     a^3 -3a^2  es   =   a(a -3)   <–  Solución.

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Agregaré más ejercicios desarrollados y su solución.

Prof. Jorge A. Carrillo M.

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