Caso X. Suma o Diferencia de Potencias Impares Iguales

Regla para  La suma  de dos potencias impares iguales (m^5+n^5) es  igual a dos factores:

el primero es la suma de las raíces de los términos (m+n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m^4 – m^3n + m^2n^2 – mn^3 + n^4)

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Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m^5 – n^5) es  igual a dos factores:

el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.

(m^4 + m^3n + m^2n^2 + mn^3 + n^4)

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Ejemplos:

Factorar    x^5 +32

1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x^5 = x          ; raíz quinta de 32 = 2  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)

3º  Formamos el segundo factor:

[x^4 – x³(2) +x²(2)² – x(2)³ + (2)^4] = [x^4 – 2x³ + 4x² – 8x + 16]

–> x^5 +32  =  (x +2)(x^4 – 2x³ + 4x² – 8x + 16)  Solución

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Factorar    x^7 – 1

1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:

raíz séptima de x^7 = x          ; raíz séptima de 1 = 1  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x – 1)

3º  Formamos el segundo factor:

(x^6 + x^5(1) + x^4(1)² + x³(1)³ + x²(1)^4 +x(1)^5 + (1)^6) =

 = (x^6 + x^5 + x^4 + x³ + x² + x +1) –>

–> x^7 -1  =  (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x³ + x² + x +1)  Solución

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NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1),  los signos del segundo factor son alternativamente » + » y  « – »

Cuando el primer factor es diferencia (x-1),  los signos del segundo factor son todos positivos » + »

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Ejercicio 105.

3) Factorar    1 – x^5

Raíz quinta de 1 = 1     ;    raíz quinta de x^5 = x

–> 1er.  factor:   (1 -x)

.     2º.  factor: (1^4 + 1³(x) + 1²(x²) + 1(x³) + x^4) =

=  (1 + x + x² + x³ + x^4) 

–> 1 – x^5   =   (1 -x)(1 + x + x² + x³ + x^4)   Solución

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4)  Factorar    a^7 + b^7

Raíz séptima de a^7 = a         ;    raíz séptima de b^7 = b

–> 1er.  Factor:  (a+b)

.    2º.  Factor:  (a^6  -a^5(b) +a^4(b²) -a³(b³3)  +a²(b^4) -a(b^5) +b^6=

(a^6 – a^5b + a^4b² – a³b³ + a²b^4 – ab^5 + b^6)

Solución:

a^7 + b^7  =  (a+b)(a^6 -a^5b +a^4b² -a³b³ +a²b^4 -ab^5 +b^6)

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6)  Factorar  a^5+243

Raíz quinta de  a^5 = a   ;    raíz quinta de 243 = 3

–> 1er.  Factor:  (a+3)   

.     2º. Factor:  (a^4 – a³(3) + a²(3)² – a(3)³ + (3)^4) =

= (a^4 -3a³ +9a² – 27a +81)

–> a^5 +243 = (a+3)(a^4 -3a³ +9a² – 27a +81)   Solución.

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7)    Factorar   32 -m^5

Raíz quinta de 32 = 2       ;      Raíz quinta de m^5 = m

–> 1er. Factor:   (2-m)

.     2º. Factor: [(2)^4 + (2)³(m) + (2)²(m)² + (2)(m)³ + m^4] =

=   (16 + 8m + 4m² + 2m³ +m^4)

—> 32 -m^5  =  (2-m)(16 + 8m + 4m² + 2m³ +m^4)  Solución.

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8)   Factorar   1 + 243x^5

Raíz quinta de 1 = 1      ;     Raíz quinta de 243x^5 = 3x

–> 1er. factor:  (1 + 3x)

.   2º. Factor:  [(1)^4 – (1)³(3x) + (1)²(3x)² – (1)(3x)³ + (3x)^4] =

=   (1 – 3x + 9x² – 27x³ + 81x^4)

–>  1+243x^5 = (1+3x) (1 – 3x + 9x² – 27x³ + 81x^4)  Solución.

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10)  Factorar   243 -32b^5

Raíz quinta de  243 =  3     ;      Raíz quinta de 32b^5 = 2b

–>  1er. Factor:   (3 -2b)

.   2º. Factor:   [(3)^4 + (3)³(2b) + (3)²(2b)² + (3)(2b)³ + (2b)^4] =

=    (81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b^4)

–>  la Solución es = 

 .    243 -32b^5  =  (3 -2b)(81 + 54b + 36b² + 24b³ +16b^4)

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11)   Factorar   a^5 +b^5c^5

Raíz quinta de a^5 = a     ;      Raíz quinta de b^5c^5 = bc

–>  1er. Factor:   (a + bc)

.   2º. Factor:  [(a)^4 – (a)³(bc) + (a)²(bc)² – (a)(bc)³ + (bc)^4]  =

= (a^4 – a³bc + a²b²c² – ab³c³ + b^4c^4)

–>   la Solución es =

=  a^5 +b^5c^5  =  (a^4 – a³bc + a²b²c² – ab³c³ + b^4c^4)

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Prof. Jorge A. Carrillo M.