Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Productos Notables.

Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, o también escribiendo todos sus pasos hasta llegar al resultado.

Reglas.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado más el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a+b)² = a² + 2ab + b²

______________________________________________

2) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado menos el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a-b)² = a²  – 2ab + b²
_______________________________________________

3) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a+b)(a-b) = a² – b²

_______________________________________________

4) El cubo de la suma de dos cantidades.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cubo más el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

_______________________________________________

5) El cubo de la diferencia de dos cantidades.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cubo menos el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Ejemplos y ejercicios de estos productos notables los encontrarás en esta misma página.  Puedes buscarlos por categoría, por tema o por número de ejercicio.

______________________________________________

ÁLGEBRA

Definiciónfondo algebra

Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín álgebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o“cotejo”.

Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.Este origen etimológico permitió que, en tiempos pasados, se conociera como álgebra al arte focalizado en la reducción de huesos que estaban dislocados o quebrados. Este significado, de todas maneras, ha caído en desuso.
El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.

Se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, por otra parte, a un postulado según el cual, en una variable no constante donde hay coeficientes complejos, un polinomio posee tantas raíces como marca su grado, debido a que las raíces se tienen en cuenta con sus multiplicidades. Esto supone que el cuerpo de los números complejos es cerrado para las operaciones del álgebra.

Lee todo en: Definición de álgebra – Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/algebra/#ixzz3NyJkWbwK

Feliz Año Nuevo

 

 

Muchos éxitos y que se cumplan las metas que se propongan,

es lo que les deseo para el próximo año a todos mis amigos visitantes.

año nuevo1

año nuevo2

 

Prof. Jorge A. Carrillo M.

Bendiciones.

Los duendes de las estadísticas de WordPress.com prepararon un informe sobre el año 2014 de este blog.

Aquí hay un extracto:

El Museo del Louvre tiene 8.5 millones de visitantes por año. Este blog fue visto cerca de 590.000 veces en 2014. Si fuese una exposición en el Museo del Louvre, se precisarían alrededor de 25 días para que toda esa gente la visitase.

Haz click para ver el reporte completo.

Procedimiento General.

1) Agrupar los términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando uno o más Trinomios Cuadrados  Perfectos (a^2+2ab+b^2). Los términos que no sean T.C.P.  se restan del trinomio.  Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro (a^2+2ab+b^2) – (x^2+2xy+y^2).

2) Se factoriza el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado (a+b)^2

3) Si son dos binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia de Cuadrados Perfectos (a+b)^2 – (x+y)^2.  Si solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)^2 – c^2.

Veamos unos ejemplos para su mejor comprensión:

Ejemplo1)  Descomponer o factorar  a^2 +m^2 -4b^2 -2am

> Formando un trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión dada:

a^2 -2am +b^2

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto encontrado:

a^2 -2am +b^2 = (a-b)^2

> Restándole al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión dada:

(a-m)^2 – 4b^2

> Esta nueva expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a factorizarla:

(a-m)^2 – 4b^2

= [(a-m)+2b)][(a-m)-2b]

= (a-m+2b)(a-m-2b)  à Solución.

Ejemplo 2) Descomponer o factorar  4x^2 -a^2 +y^2 -4xy +2ab -b^2

> Formando trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos), buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.

-4xy es el resultado de -2(√4x^2)(√y^2) = -2(2x)(y) =  -4xy

2ab  es el resultado de  2(√-a^2)(√-b^2) = 2(-a)(-b) = 2ab

> Los trinomios quedarían así:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

> Convirtiendo los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

= (2x-y)^2 – (a-b)^2

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:

(2x-y)^2 – (a-b)^2

= [(2x-y) + (a-b)][(2x-y) – (a-b)]

= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)  à Solución.

________________________________________________________

Ejercicio 95.

Factorar o descomponer en dos factores:

1) a^2 +2ab +b^2 –x^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:

(a^2+2ab+b^2)

= (a+b)^2

> Formando una diferencia de cuadrados pefectos:

(a+b)2 – x^2

> Factorizando la la diferencia de cuadrados perfectos:

(a+b)2 – x^2

= [(a+b) +x][(a+b) -x]

= (a+b+x)(a+b-x)à Solución.

_______________________________________________

2) x^2 -2xy +y^2 –m^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

(x^2 -2xy +y^2)

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

x^2 -2xy +y^2 = (x-y)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

= [(x-y)+m][(x-y) +m]

= (x-y+m)(x-y-m)à Solución.

___________________________________________

3) m^2 +2mn +n^2 -1

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n+1)(m+n-1)  à Solución.

_________________________________________________

4) a^2 -2a +1 –b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1 = (a-1)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

>Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

= [(a-1) +b][(a-1) -b]

= (a-1+b)(a-1-b)  ß  ordenado sería:

= (a+b-1)(a-b-1  ß Solución.

_______________________________________________

7) a^2 +4 -4a -9b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4

> Factorando  el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4 = (a-2)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

= [(a-2) +3b][(a-2) -3b]

= (a-2+3b)(a-2-3b)  ß   ordenado sería:

= (a+3b-2)(a-3b-2)  ß  Solución.

________________________________________________

28) x^2 +4a^2 -4ax –y^2 -9b^2 +6by

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (–y^2+6by-9b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (y^2-6by+9b^2)

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

= [(x-2a) +(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]

= (x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b)  ß  Solución.

__________________________________________________

30)  9x^2 +4y^2 -a^2 -12xy -25b^2 -10ab

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

= (3x-2y)^2 – (a+5b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

(3x-2y)^2 – (a+5b)^2

= [(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]

= (3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b)  ß Solución.

______________________________________________

Procedimiento:

1) Se forma una ecuación, sabiendo el valor de u, a y r.

2) Se aplica la fórmula para “n “por logaritmos.

____________________________________________________

Fórmula:  n =  [(log u + colog a) /log r] +1

____________________________________________________

Ejemplo:

Cuántos términos tiene la progresión ÷÷2:6:……..:1458?

> Elementos:  a=2  ;  u= 1458  ;   r=6÷2=3

> Aplicando la fórmula para  n:

n = [(log 1458 + Colog 2)/log 3]+1

n = [(3.163757 + -1.698970)/0.477121]+1

n = (2.862727/0.477121)+1

n = 6+1 =7   Solución.

____________________________________________________

Ejercicio 302.

Hallar el número de términos de las progresiones:

2) ÷÷2:3:…….:²⁴³⁄₁₆

> Elementos:  u= ²⁴³⁄₁₆  ;  a =2  ;  r=3÷2= ³⁄₂

> Aplicando  la fórmula para  n:

n = [(log ²⁴³⁄₁₆ + Colog 2)/log ³⁄₂]+1

n = [(1.181486 + -1.698970)/0.176091]+1

n = (0.880456/0.176091)+1

n = 5 +1 =6   Solución.

____________________________________________________

4) ÷÷6:8:………:²⁰⁴⁸⁄₈₁

> Elementos:  u= ²⁰⁴⁸⁄₈₁  ¸ a= 6  ;  r=8/6= ⁴⁄₃

> Aplicando la fórmula:

n = [(Log ²⁰⁴⁸⁄₈₁ + Colog 6)/log ⁴⁄₃]+1

n = [(1.402845 + -1.221849)/0.124939]+1

n = (0.624694/0.124939)+1

n = 5 +1 = 6   Solución.

____________________________________________________

Ecuaciones Exponenciales.

Son las ecuaciones en que la incógnita es el exponente de una cantidad.

Para resolver este tipo de ecuaciones, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

___________________________________________________

Procedimiento:

1°) Se aplica la fórmula para el logaritmo de una potencia.

2°) Se busca el logaritmo del otro miembro de la ecuación.

3°) Encontrado los logaritmos se procede a realizar operaciones.

4°) Se despejan la incógnita (el exponente de la potencia).

___________________________________________________

Ejemplos:

 a) Resolver la ecuación  3ˣ = 60

> Aplicando logaritmos:

x(Log 3) = Log 60

x(0.477121) = 1.778151

x = 1.778151/0.477121

x = 3.72   Solución.

b) Resolver la ecuación 5²ˣ⁻¹ = 125

> Aplicando logaritmos:

2x-1(Log 5) = Log 125

2x-1(0.698970) = 2.096910

2x = (2.096919/0.698970) +1

x = 3+1 /2

x = 2   Solución.

____________________________________________________

Ejercicio 301.

1) Resolver  5ˣ =3

> Aplicando logaritmos:

x(log 5) = log 3

x = log 3/log 5

x = 0.477121/0.698970

x = 0.6826  Solución.

____________________________________________________

3) Resolver 0.2ˣ = 0.0016

> Aplicando logaritmos:

x (log 0.2) = log 0.0016

x = log 0.0016/log 0.2

x = -2.795988/-0.698970

x = 4.  Solución.

____________________________________________________

5) Resolver 3ˣ⁺¹ = 729

> Aplicando logaritmos:

x+1(log 3) = log 729

x = (log 729/log 3)-1

x = (2.862727/0.477121)-1

x = 6-1 = 5  Solución.

_______________________________________________

7) Resolver  2³ˣ⁺¹ = 128

> Aplicando logaritmos:

3x+1(log 2) = log 128

3x+1 = log 128/log 2

x = [(log 128/log 2)-1]/3

x = [(2.107210/0.301030)-1]/3

x = (7-1)/3

x = 6/3 =2  Solución.

_______________________________________________

Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

Únete a otros 472 seguidores

A %d blogueros les gusta esto: