Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Se procede de la misma manera que se explicó en el Ejercicio 98.

En estos problemas del Ejercicio 99, se presentarán algunas diferencias que serán explicadas.

Ejemplos:

a) Factorar  

Se encuentra la raíz cuadrada del primer término del trinomio:

Se forman dos factores binomios, cuyo primer término será :

(x²      )(x²   );

el signo que sigue al 1º término del 1º binomio es el mismo del 2º término del trinomio. y el signo que sigue al 1º término del 2º binomio es el producto de los signos del 2º y 3º términos del trinomio:

(x²-  )(x²+  )

Luego se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del 2º término del trinomio y cuyo producto sea igual al coeficiente del 3º término.

En este caso son -10  y  5;  porque -10+5= -5  y  (-10)(5)=-50

    Solución.

_____________________________

b) Factorar   

Formando los dos factores binomios:

(x³+   )(x³-   )

Buscando dos números que sumen (7) y que su producto sea (-44)

Estos son 11 y -4,  porque 11-4=7  y  (11)(-4)=-44

   Solución.

______________________________

c)  Factorar:   

Formando los dos factores binomios:

(ab-   )(ab+   )

Buscando dos números que sumen (-1)  y que su producto sea (-42):

Son -7  y  6: porque -7+6=-1   y    (-7)(6)=-42:

   Solución.

____________________________

d) Factorar 

Formando factores binomios:

(5x-   )(5x-   )

Buscando dos números que sumen (-9) y su producto sea (8):

Son -8  y -1; porque -8-1=-9  y  (-8)(-1)=8

   Solución.

_____________________________

e)  Factorar   

Formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-5a) y su producto sea (-36a²):

Son -9a  y 4a;  porque -9a+4a=-5a  y  (-9a)(4a)= -36a²

   Solución.

______________________________

f) Factorar   

Formando factores binomios:

[(a+b)-   ][(a+b)-   ]

Buscando dos números que sumen (-12) y que su producto sea (20):

Son -10  y -2;  porque -10-2=-12   y   (-10)(-2)=20

   Solución.

_____________________________

g) Factorar  

    (ordenado)

  (Se cambió signo a todos los términos del trinomio para volver  positivo el término cuadrático)

formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-3) y que su producto sea (-28):

Son -7  y  4 ; porque  -7+4=-3   y  (-7)(4)=-28

  (Como el trinomio original ordenado empezaba con signo negativo, esta descomposición también debe empezar con signo negativo.

Para eliminar el signo negativo que precede a la descomposición, debe cambiársele signo a los términos de uno de los factores; lo haremos con (x-7).

   Solución.

_____________________________

h) Factorar  

   (ordenado)

  (volviendo positivo el término cuadrático)

Formando factores binomios:

(y²-   )(y²+   )

Buscando dos números que sumen (-1) y que su producto sea (-30):

Son -6  y 5 ; porque  -6+5=-1   y   (-6)(5)=-30

   Solución.

___________________________________________

Ejercicio 99

Factorar las siguientes expresiones:

1) 

si 

   Solución.

___________________________________________

2)  

Si 

->    Solución.

___________________________________________

3)  

Si 

->    Solución.

____________________________________________

4) 

Si 

->    Solución.

____________________________________________

5) 

Si 

   Solución.

____________________________________________

6) 

Si 

->    Solución.

____________________________________________

7) 

Si  

->    Solución.

___________________________________________

8) 

En este caso la incógnita es la variable “a” porque forma parte del término cuadrático.

Si 

->    Solución.

___________________________________________

9) 

Si 

->    Simplificando:

  Solución.

____________________________________________

10) 

   (ordenado)

   (Con signos cambiados)

Si 

-> 

  (Agregando signo negativo a la descomposición de factores)

-> Quitando el signo negativo, pero cambiando los signos a los términos de uno de los factores, en este caso a (x-5):

  ó    Solución.

___________________________________________

30)  

Si 

   Solución.

Comprobando:

9ab-4ab=5ab    y   (9ab)(-4ab)=-36a²b²

___________________________________________

 

 

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Para resolver este sistema debemos simplificar las ecuaciones hasta dejarlas de la forma ax±by=±c y finalmente aplicar cualquiera de los métodos de eliminación aprendidos.

Ejemplos:

a) Resolver el sistema  

Suprimiendo denominadores:

encontrando el mcm de 1, 7, 3, que es 21; y el mcm de 1, 11, 2, que es 22.

Dividiendo el mcm entre cada uno de sus respectivos denominadores y el cociente se multiplica por su respectivo numerador.

Efectuando operaciones, trasponiendo y reduciendo términos semajantes:

   Sistema simplificado.

Aplicando un método de eliminación (Reducción)

Multiplicando la 1ª ecuación por 7, y la 2ª por 4 para poder eliminar las “x”:

Sumando las ecuaciones para eliminar las “x” y encontrar el valor de “y”:

. 84x –  49y =   182

-84x +176y = 1088

.          127y = 1270

y = 1270/127

y = 10

Sustituyendo el valor de “y” en 12x -7y = 26 :

12x -7(10) = 26

12x -70 = 26

12x = 26 +70

x = 96/12

x = 8

Solución sistema:  

_______________________________________

b) Resolver  

Suprimiendo denominadores en ambas ecuaciones; multiplicando cruzado:

Transponiendo y reduciendo términos semejantes:

      Sistema simplificado.

Aplicando un método de eliminación (reducción)

Multiplicando la 2ª ecuación por (-5) para eliminar las “y”:

Sumando las ecuaciones para encontrar el valor de “x”:

.  9x +5y = 0

-10x -5y = 5

-x = 5

x= -5

Sustituyendo el valor de “x” en 9x+5y=0

9(-5) +5y = 0

-45 +5y = 0

5y = 45

y= 45/5

y = 9

Solución del sistema:  

____________________________________________

Ejercicio 180.

Resolver los siguientes sistemas:

1. 

    Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por (-2):

. 3x+2y= 22

-4x -2y=-28

-x        = -6

x = 6

Sustituyendo el valor de “x”:

2x+y=14

2(6) +y = 14

12 +y = 14

y = 14-12 -> y=2

Conjunto solución:  

_________________________________________

2)  

   Sistema simplificado:

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 1ª ecuación por -4 y la 2ª por 5:

-20x+48y=-432

. 20x- 15y= 300

.         33y=-132

.             y=-132/33 -> y =-4

Sustituyendo el valor de “y”

4x-3y=60

4x-3(-4)=60

4x+12=60

4x=60-12

x=48/4

x=12

Conjunto solución:  

_______________________________________________

3)  

  Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por 3:

.  3x +   7y= 105

– 3x+126y=1092

.        133y=1197

y=1197/133

y= 9

Sustituyendo el valor de “y”:

3x+7y=105

3x+7(9)=105

3x+63=105

3x=105-63

x=42/3

x= 14

Conjunto solución:  

____________________________________________

4)  

   Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2º ecuación por 4:

.  4x- 5y=  0

– 4x+4y=-12

.       – y=-12

.         y= 12

Sustituyendo el valor de “y”:

4x-5y=0

4x-5(-12)=0

4x+60=0

x=60/4

x=15

Conjunto solución:  

____________________________________________

5)  

   Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 2ª ecuación por -1:

12x -5y=40

-4x+5y=  0

8x        = 40

x=40/8 -> x = 5

Sustituyendo el valor de “x”:

4x-5y=0

4(5)-5y=0

20-5y=0

y=-20/-5

y = 4

Conjunto Solución:  

___________________________________________

6)  

   Sistema simplificado.

Aplicando el método de eliminación:

Multiplicando la 1ª ecuación por 5 y la 2ª por 2:

.  40x-45y=60

– 40x+ 6y=96

.       -39y=156

.            y=156/-39

.            y=-4

Sustituyendo el valor de “y”:

8x-9y=12

8x-9(-4)=12

8x+36=12

8x=12-36

x=-24/8

x= -3

Conjunto solución:   

_________________________________________

Para resolver un sistema numérico de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas debemos de simplificar las ecuaciones para dejarlas de la forma ax±by=c; en donde x  y  y son las incógnitas y a, b y c son los valores conocidos.

Ejemplos:

a) Resolver el sistema  

Suprimiendo signos de agrupación:

Trasponiendo términos y reduciéndolos:

Dividiendo la 1ª ecuación entre 2:

    (Sistema simplificado)(1)

Resolviendo el sistema por el método de reducción:

Igualamos los coeficientes de “y” multiplicando la 2ª ecuación por 3, y sumamos verticalmente los términos semejantes:

2x -3y= -6

3x+3y=21

5x      =15

–> x= 3

Sustituimos el valor de x que es 3, en la segunda ecuación del sistema simplificado(1)

x+y=7

3+y=7

y=7-3 –> y=4

Solución:

___________________________________________

b)  Resolver el sistema  

Efectuando las operaciones indicadas :

Trasponiendo y reduciendo términos semejantes:

Dividiendo entre 3 la 2ª ecuación para simplificarla al mínimo:

      Sistema simplificado.

Resolviendo el sistema por el método de reducción:

Igualamos los coeficientes de “x” multiplicando la 1ª ecuación por -3, y la 2ª ecuación por 8; luego sumamos verticalmente los términos semejantes:

-24x -15y =  84

 24x +16y =-88

.              y =  -4

Sustituimos el valor de y que es 3, en la ecuación 3x +2y = -11

3x +2(-4) = -11

.   3x  – 8  = -11

.            x = -1

Solución: 

___________________________________________

Ejercicio 179.

Resolver los siguientes sistemas:

Ejercicio 1)  

      Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

    (Se multiplicó la 2ª ecuación por -7, para eliminar las “y”)

.   8x-7y=  -4

-14x+7y=-14

-6x = -18

x = -18/-6 –> x = 3

Sustituyendo el valor de “x” en 2x-y=2

2(3)-y=2

6-y=2

-y= 2-6 –> -y=-4 –> y = 4

Solución: 

___________________________________________

Ejercicio 2)  

     Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

    (Se multiplicó la 1ª ecuación por -1 para eliminar las “x”)

-x +y=-2

. x-3y=-4

.   -2y=-6

y=-6/-2 –> y=3

Sustituyendo el valor de “y” en x -y = 2

x -(3) = 2

x -3 = 2  –> x = 2+3  –> x = 5

Solución:  

____________________________________________

Ejercicio 3)  

   Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

. 3x -2y = -6

-7x+2y = -10

-4x       = -16

x=-16/-4 –> x=4

Sustituyendo el valor de “x” en 3x-2y=-6

3(4) -2y=-6

12 -2y=-6

-2y = -6-12

y=-18/-2 –> y=9

Solución:  

____________________________________________

Ejercicio 4)  

     Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

  (Se multiplicó la 1ª ecuación por -1 para eliminar las “x”.

-x+2y=-13

. x+6y=-3

.     8y=-16

y = -16/8 –> y=-2

Sustituyendo el valor de “y” en x+6y=-3:

x +6(-2)=-3

x-12=-3

x=-3+12 –> x=9

Solución: 

_________________________________________

Ejercicio 5)  

  Sistema simplificado. (se dividió la 2ª Ecuación entre 4)

Aplicando método de eliminación:

   (se multiplicó la 2ª ecuación por -1 para eliminar las “x”)

. x -2y =8

-x + y =-6

.      -y =2

y =-2

Sustituyendo el valor de “y” en x -y=6:

x -(-2) = 6

x +2 = 6

x = 6-2 –> x =4

Solución: 

____________________________________________

Ejercicio 6)  

    Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

-4x+3y=  0

. 4x -8y=-40

.      -5y=-40

y= -40/-5 –> y=8

Sustituyendo el valor de y en -4x+3y=0:

-4x +3(8)=0

-4x+24=0

-4x=-24

x=-24/-4 –> x=6

Solución:  

__________________________________________

 

Consejos para entender el Álgebra.

La primera vez que encuentras una idea en álgebra, puede que no conozcas el significado de cada palabra, su propósito o porque funciona. Esto es lo que tienes que hacer: Primero, trata de entenderlo. Luego, si no entiendes después de 10 minutos de esforzarte, ¡pregúntale a alguien! Pregunta a tu maestro, a un amigo, a un tutor – pero llena los agujeros en tu aprendizaje lo más pronto posible. Todo en matemáticas se construye de cosas previas, por lo que puedes sentirte confuso y desanimado hasta que las comprendas. El entender puede sustituir la práctica. La práctica hace que los patrones se fijen en tu cerebro para que puedas identificar buenas maneras de abordaje para resolver los problemas de álgebra rápidamente. El entender hace que la práctica sea efectiva.Todas esas tareas que te asignan, donde tienes que resolver muchos problemas de álgebra, son intentos para que pruebes y refines tu conocimiento. (¡Qué lástima que nunca te digan eso!) Si haces la tarea con la idea de que estás probando tu comprensión para comprobar que es correcta, la tarea se fija realmente en tu cerebro para que te vaya bien en los exámenes – ¡sin sufrimiento!

Origen: Cómo entender el álgebra: 3 pasos (con fotos) – wikiHow

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El que domina las matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina al mundo.

ING. ARTURO SANTANA PINEDA

 

 

Factorización.

Factorización también conocida como Descomposición Factorial.

Es descomponer en factores o factorar una expresión algebraica para convertirla en el producto indicado de dos o más factores.

Factores.

Son expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto una nueva expresión.

Casos:

I. Factor Común Monomio

a^2+2a = a(a+2)

I. Factor Común Polinomio

x(a+b)+m(a+b) = (a+b)(x+a)

II. Factor Común por Agrupación de Términos

ax+bx+ay+by = (ax+bx)+(ay+by) = x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

III. Trinomio Cuadrado Perfecto

m^2 +2m +1  = (m+1)^2

IV. Diferencia de Cuadrados Perfectos

a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)

V. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.

x^4 +x^2y^2 +y^2 = (x^2 +xy +y^2)(x^2 – xy +y^2)

VI. Trinomio de la forma

x^2 +bx +c = [x(b+c)][x(b-c)]

VII. Trinomio de la forma

ax^2 +bx +c = a(x^2 +bx +c) / a

VIII. Cubo Perfecto de Binomios.

a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3

a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 = (a-b)^3

IX. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos.

x^3+1 = (x+1)(x^2 -x +1)

x^3-1 = (x-1)(x^2 +x +1)

X. Suma o Diferencia de Potencias Iguales

m^5 + n^5 = (m+n)(m^4 -m^3 n +m^2 n^2 -m n^3 +n^4)

m^5 – n^5 = (m-n)(m^4 +m^3 n +m^2 n^2 +m n^3 +n^4)

_____________________________________________

De cada uno de estos 10 casos puedes ver reglas, procedimientos, ejemplos, ejercicios desarrollados paso a paso y su solución o resultado; en esta misma página. Puedes buscarlos por Categoría, por Tema o por número de Ejercicio.

_____________________________________________

Son aquellos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por Simple Inspección o también pueden desarrollarse paso a paso para llegar al mismo resultado.

Reglas:

1) Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

a)  a^2-b^2 / a+b = a-b

El cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

b)  a^2-b^2 / a-b = a+b

El cociente de la diferencia de los cuadrados  de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

_____________________________________________

2) Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

a)  a^3+b^3 / a+b = a^2 -ab +b^2

El cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades es igual a el cuadrado de la primera cantidad menos el producto de las dos cantidades más el cuadrado de la segunda cantidad.

b)  a^3-b^3/ a-b = a^2 +ab +b^2

El cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a el cuadrado de la primera cantidad más el producto de las cantidades más el cuadrado de la segunda cantidad.

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3) Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

a) a^4-b^4 / a-b = a^3 +a^2b +ab^2 +b^3  (Potencias Pares)  

El cociente de la diferencia de potencias pares iguales de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a el cubo de la primera cantidad, más el cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad.

b) a^4-b^4 / a+b = a^3 -a^2b +ab^2 -b^3  (Potencias pares)

El cociente de la diferencia de potencias pares iguales de dos cantidades entre la suma de las cantidades es igual a el cubo de la primera cantidad, menos el cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

c) a^5-b^5 /a – b = a^4 +a^3b +a^2b^2 +ab^3 +b^4  (Potencias impares)

d) a^5+b^5 /a+b = a^4  -a^3b +a^2b^2  -ab^3 +b^4  (Potencias impares)

e) a^4+b^4 / a+b        y      a^4+b^4 / a-b    <– ( en estos dos cocientes no es exacta la división)

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Ejemplos y ejercicios de estos cocientes notables los encontrarás en esta misma página.  Puedes buscarlos por categoría, por tema o por número de ejercicio.

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