Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Resolución por Determinantes de 2 Ecuaciones con 2 Incógnitas

Procedimiento: Teniendo un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, lo plantearíamos así:

a1x+b1y = c1
a2x+b2y = c2
 

1)      Se forma la determinante del sistema  (D2) con los coeficientes de “x” y de “y” de las 2 ecuaciones; dispuestas en una matriz cuadrada de 2 por 2. Donde “a” es el coeficiente de “x”; y “b” es el coeficiente de “y”

|a1↘ b1|
|a2 b2|  = (a1)( b2) – (a2)( b1
     

El resultado de la diferencia de los productos será el denominador de la determinante de “x” y de “y”. 2)      Para encontrar el valor de “x”, formamos una fracción cuyo numerador será la determinante que se forma sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “x” por la columna de los términos independientes de las dos ecuaciones (c). Y cuyo denominador será la determinante del sistema

.    |c1↘ b1|
x =|c2 b2|  = (c1)( b2) – (c2)( b1) 
.    |a1↘ b1|
.    |a2 b2|  = (a1)( b2) – (a2)( b1)
 

3)      Para encontrar el valor de “y”, formamos una fracción cuyo numerador será la determinante que se forma sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “y” por la columna de los términos independientes de las dos ecuaciones(c)  Y cuyo denominador será la determinante del sistema.

.     |a1↘c1|
y = |a2c2| = (a1)(c2)-(a2)(c1)
.     |a1↘b1|
.     |a2b2| = (a1)(b2)-(a2)(b2)

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Ejemplo A)  Resolver por determinantes:

5x+3y=5
4x+7y=27
 

1)      Determinante del sistema:

.          |5     3|
D2 = |4     7| = (5)(7)-(4)(3)= 35-12= 23

2)      Valor de “x”

.       |5      3|
x =  |27   7| = (5)(7)-(27)(3) = 35-81 = -46 = -2
.       |5      3|           23                 23        23
.       |4     7|
 
 3)      Valor de “y”
.        |5     5|
y =   |4  27| = (5)(27)-(4)(5) = 135-20 = 115 = 5 
.        |5     3|             23                23         23
.        |4     7|
 
 Solución:  x = -2 , y= 5

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Ejemplo B)  Resolver por determinantes:

x+1/5 = y-2/7
x+4/3 =y-9/6 =8/3
 
 En este caso, antes de seguir los pasos es necesario realizar unas operaciones:

>> Quitando denominadores es =

7x+7 = 5y-10
2x+8-y+9 = 16
 
>> Transponiendo términos y reduciendo es =
 
7x-5y = -17
2x – y =   -1
 
1)      Determinante del sistema:
.         |7      -5|
D2 = |2      -1| = (7)(-1) – (2)(-5)= -7+10= 3
 
 2)      Valor de “x”
 
.        |-17  -5|
x =   |-1    -1| = (-17)(-1)-(-1)(-5) = 17 – 5 = 12 = 4
.        |7     -5|                  3                     3         3
.        |2     -1|
 
 3)      Valor de “y”
 
.        |7   -17|
y =   |2     -1| = (7)(-1) – (2)(-17) = -7 +34 = 27 = 9 
.        |7     -5|                3                      3           3
.        |2     -2|
 
 Solución:  x = 4 , y= 9

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Ejercicio 184.

 1)  Resolver por determinantes:

7x+8y=29
5x+11y=26
 

1)      Determinante del sistema:

.        |7      8|
D2 =  |5   11| = (7)(11)-(5)(8)= 77-40 = 37

2)      Valor de “x”

.       |29     8|
x =   |26   11| = (29)(11)-(26)(8) = 319-208 = 111 = 3
.       |7       8|                37                     37          37
.       |5     11|

3)      Valor de “y”

.       |7     29|
y =   |5     26| = (7)(26)-(5)(29) = 182-145 = 37 = 1 
.       |7       8|               37                    37         37
.       |5     11|

Solución:  x = 3 , y= 1

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2)  Resolver por determinantes:

3x-4y=13
8x-5y=-5

  1)      Determinante del sistema:

.        |3    -4|
D2 =  |8    -5| = (3)(-5)-(8)(-4)= -15+32 = 17

2)      Valor de “x”

.       |13   -4|
x =   |-5    -5| = (13)(-5)-(-5)(-4) = -65-20 = -85 = -5
.       |3      -4|                17                   17        17
.       |8      -5|

3)      Valor de “y”

.       |3    13|
y =   |8    -5| = (3)(-5)-(8)(13) = -15-104 = -119 = -7 
.       |3     -4|               17                    17         17
.       |8     -5|

Solución:  x = -5 , y= -7

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3)  Resolver por determinantes:

13x-31y=-326
25x+37y=146

  1)      Determinante del sistema:

.        |13    -31|
D2 =  |25     37| = (13)(37)-(25)(-31)= 481+775 = 1256

2)      Valor de “x”

.       |-326  -31|
x =   | 146    37| = (-326)(37)-(146)(-31) = –12062+4526 = -7536 = -6
.       |13      -31|                  1256                           1256            1256
.       |25       37|

3)      Valor de “y”

.       |13    -326|
y =   |25     146| = (13)(146)-(25)(-326) = 1898+8150 = 10048 = 8 
.       |13      -31|                 1256                        1256           1256
.       |25       37|

Solución:  x = -6 , y= 8

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4)  Resolver por determinantes:

15x-44y=-6
-27x+32y=-1

  1)      Determinante del sistema:

.        |15   -44|
D2 =  |-27   32| = (15)(32)-(-27)(-44)= 480-1188 = -708

2)      Valor de “x”

.       |-6    -44|
x =   |-1     32| = (-6)(32)-(-1)(-44) = -192-44 = -236 =  1
.       |15   -44|              -708                   -708       -708     3
.       |-27   32|

3)      Valor de “y”

.       |15     -6|
y =   |-27   -1| = (15)(-1)-(-27)(-6) = -15-162 =  -177 =  1 
.       |15  -44|               -708                  -708        -708     4
.       |-27  32|

Solución:  x = 1/3 , y= 1/4

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