Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Ecuaciones Fraccionarias con Denominadores Compuestos

Prodecimiento:

1) Resolver operaciones indicadas en los numeradores o en los denominadores, o en ambos. (Si fuera necesario)

2) Suprimir los denominadores para convertir la ecuación fraccionaria en en una ecuación equivalente entera.

3) Para suprimir los denominadores se encuentra el m.c.m. de éstos, luego se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores y el cociente se multiplica por su denominador  respectivo.

4) Se despeja la variable, transponiendo los términos semejantes: las variables al lado izquierdo de la ecuación y los valores conocidos al lado derecho; para luego reducir los términos semejantes hasta encontrar la solución.

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Ejemplo A:  Resolver  3/2x+1 – 2/2x-1 – x+3/4x^2-1 = 0

>> Encontrando el m.c.m. de los denominadores

2x+1 ,  2x-1 ,  4x^2-1 es  4x^2-1      [que es igual a (2x+1)(2x-1) ]

>> Suprimiendo denominadores :

4x^2-1 ÷ 2x+1 = 2x-1  –>  (2x-1)(3) = 6x-3

4x^2-1 ÷ 2x-1 = 2x+1  –> (2x+1)-2 = -4x-2

4x^2-1 ÷ 4x^2-1 = 1   –> (-1)(x+3) = -x-3

>> La ecuación quedaría así:  6x-3 -4x-2 -x-3 = 0

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos es =

6x-4x-x = 3+2+3

x= 8  <–  Solución.

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Ejemplo B)  Resolver  6x+5/15 – 5x+2/3x+4 = 2x+3/5 -1

>> El m.c.m. de 15 , 3x+4 , 5 , 1  es   15(3x+4)

>> Suprimiendo los denominadores :

15(3x+4) ÷ 15 = 3x+4  –> (3x+4)(6x+5) = 18x^2+39x+20

15(3x+4) ÷ 3x+4 = 15  –> -15(5x+2) = -75x-30

15(3x+4) ÷ 5 = 3(3x+4)  –> 3(3x+4)(2x+3) = 18x^2+51x+36

15(3x+4) ÷ 1 = 15(3x+4)  –> -15(3x+4)(1) = -45x-60

>> La ecuación quedaría así :

18x^2+39x+20 -75x-30 = 18x^2+51x+36 -45x-60

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos :

18x^2-18x^2+39x-75x-51x+45x = 36-60-20+30

-42x = -14

x = -14/-42

x = 14/42 = 1/3  <– Solución.

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Ejemplo C)  Resolver  2x-5/2x-6 + 2(x-1)/x-3 = 3/8 + 3(2x-15)/4x-12

>>Factorando los denominadores:

2x-6   = 2(x-3)

x-3      = x-3

8          = 8

4x-12 = 4(x-3)

–> El m.c.m. de los denominadores factorados es: 8(x-3)

>> Suprimiendo denominadores:

8(x-3) ÷ 2(x-3 )= 4  –> 4(2x-5) = 8x-20

8(x-3) ÷ x-3 = 8  –> 8(2(x-1)) = 16x-16

8(x-3) ÷ 8 = x-3  –> (x-3)(3) = 3x-9

8(x-3) ÷ 4(x-3) =  2 –> 2(3(2x-15)) = 12x-90

 

>> La ecuación quedaría así:  8x-20+16x-16 = 3x-9+12x-90

 

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos :

8x+16x-3x-12x = -9-90+20+16

9x = -63

x= – 63/9

x = – 7  <–  Solución.

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Ejemplo D)  Resolver   x-2/x^2+2x-3 – x+1/x^2-9 = 4/x^2-4x+3

>> Factorando los denominadores:

x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)

x^2-9         = (x+3)(x-3)

x^2-4x+3 = (x-3)(x-1)

–>  El m.c.m. de los denominadores factorados es: (x+3)(x-3)(x-1)

 

>>  Suprimiendo denominadores:

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x+3)(x-1) = x-3  –> (x-3)(x-2) = x^2-5x+6

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x+3)(x-3) = x-1  –> -(x-1)(x+1) = -(x^2-1) = -x^2+1

(x+3)(x-3)(x-1) ÷ (x-3)(x-1) = x+3  –> (x+3)(4) =  4x+12

 

>> La ecuación quedaría así:  x^2-5x+6-x^2+1 = 4x+12

 

>>Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

x^2-x^2-5x-4x = 12-6-1

-9x = 5

x = – 5/9  <–  Solución.

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Ejercicio 142

 

1) Resolver   3/5 + 3/2x-1 = 0

>> El m.c.m. de 5 y 2x-1 es  5(2x-1)

–>  5(2x-1) ÷ 5 = 2x-1  –> (2x-1)(3) = 6x-3

5(2x-1) ÷ 2x-1 = 5  –> 5(3) = 15

>> La ecuación sería:  6x-3+15 = 0

>> Transponiendo términos y reduciéndolos:

6x = 3-15

x=- 12/6 = – 2  <– Solución.

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2) Resolver   2/4x-1 = 3/4x+1

>> El m.c.m. de 4x-1 ,  4x+1 es  (4x-1)^2

–>  (4x-1)^2 ÷ 4x-1 = 4x+1  –> (4x+1)(2) = 8x+2

(4x-1)^2 ÷ 4x+1 = 4x-1  –>  (4x-1)(3) = 12x-3

>> La ecuación sería:  8x+2 = 12x-3

>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:

8x-12x = -3-2

-4x = -5

x = -5/-4 = 5/4  <–  Solución.

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3) Resolver   5/x^2-1 = 1/x-1

>>El m.c.m. de x^2-1  ,  x-1 es   (x+1)(x-1) = x^2-1

–>  x^2-1 ÷ x^2-1 = 1  –> 1(5) = 5

x^2-1 ÷ x-1 = (x+1)  –> (x+1)(1) = x+1

>> La ecuación sería :  5 = x+1

>> Transponiendo términos y reduciéndolos:

-x =1-5

-x = -4

x = 4  <–  Solución.

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4) Resolver   3/x+1 – 1/x^2-1 = 0

>> El m.c.m. de  x+1 ,   x^2-1  es   x^2-1

–> x^2-1 ÷ x+1 = x-1  –> (x-1)(3) = 3x-3

x^2-1 ÷ x^2-1 = 1 –> -(1)(1) = -1

>> La ecuación sería:  3x-3-1 = 0

>> Transponiendo y reduciendo:

3x = 4

x = 4/3  <–  Solución.

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7) Resolver   1/3x-3 + 1/4x+4 = 1/12x-12

>> Factorando los denominadores:

3x-3 = 3(x-1)

4x+4 = 4(x+1)

12x-12 = 12(x-1)

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es  12(x+1)(x-1) = 12(x-1)^2

–> 12(x-1)^2 ÷ 3(x-1) = 4(x+1)  –> 4(x+1)(1) = 4x+4

12(x-1)^2 ÷ 4(x+1) = 3(x-1)  –> 3(x-1)(1) = 3x-3

12(x-1)^2 ÷ 12(x-1) = (x+1)  –> (x+1)(1) = x+1

>> La ecuación sería:  4x+4+3x-3 = x+1

>> Transponiendo y reduciendo:

4x+3x-x = 1-4+3

6x = 0

x = 0/6 = 0  <–  Solución.

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12)  Resolver   (5x-2)(7x+3)/7x(5x-1) – 1 = 0

>> Operando numerador y denominador:

(5x-2)(7x+3) = 35x^2+x-6

7x(5x-1) = 35x^2-7x

>> La ecuación quedaría:   35x^2+x-6/35x^2-7x -1/1 = 0

>> El m.c.m. de 35x^2-7x   y   1     es    35x^2-7x

–> 35x^2-7x ÷ 35x^2-7x = 1  –> 1(35x^2+x-6) = 35x^2+x-6

35x^2-7x ÷ 1 = 35x^2-7x  –> 35x^2-7x(-1) = -35x^2+7x

>> La ecuación entera sería:  35x^2+x-6-35x^2+7x = 0

>> Transponiendo y reduciendo términos:

35x^-35x^2+x+7x = 6

8x = 6

x = 6/8 = 3/4  <–  Solución.

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