Ecuaciones Fraccionarias con Denominadores Monomios
Procedimiento:
1) Resolver operaciones indicadas en los numeradores o en los denominadores, o en ambos.
2) Suprimir los denominadores para convertir la ecuación fraccionaria en en una ecuación equivalente entera.
3) Para suprimir los denominadores se encuentra el m.c.m. de éstos, luego se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores y el cociente se multiplica por su numerador respectivo.
4) Se despeja la variable, transponiendo los términos semejantes: las variables al lado izquierdo de la ecuación y los valores conocidos al lado derecho; para luego reducir los términos semejantes hasta encontrar la solución.
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Ejemplo A) Resolver la ecuación 3x – 2x/5 = x/10 -7/4
>> Encontrando el m.c.m. de los denominadores: 1, 5, 10 y 4, que es 20
>> Suprimiendo denominadores:
20 ÷ 1= 20 –> 20(3x) = 60x
20 ÷ 5 = 4 –> 4(-2x) = -8x
20 ÷ 10 = 2 –> 2(x) = 2x
20 ÷ 4 = 5 –> 5(-7) = -35
>> La ecuación quedaría así: 60x-8x = 2x-35 (Ecuación Entera)
>> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos:
60x-8x=2x-35 –> 60x-8x-2x =-35
50x = -35
x = -35/50
x = -7/10 Solución.
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Ejemplo B) Resolver la ecuación 2x-1/3 – x+13/24 = 3x + 5(x+1)/8
>> Resolviendo operaciones: 5(x+1) = 5x+5
>> La ecuación fraccionaria quedaría así: 2x-1/3 – x+13/24 = 3x +5x+5/8
>>Encontrando el m.c.m. de los denominadores: 3, 24, 1 y 8, que es 24 –>
>>Suprimiendo denominadores: 24 ÷ 3 = 8 –> 8(2x-1) = 16x-8 24 ÷ 24 = 1 –> 1-(x+13) = – x-13 24 ÷ 1 = 24 –> 24(3x) = 72x 24 ÷ 8 = 3 –> 3(5x+5) = 15x+15 >>La ecuación quedaría así: 16x-8-x-13 = 72x+15x+15 >> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos: 16x-8-x-13 = 72x+15x+15 –> 16x-x-72x-15x = 15+8+13 –> -72x = 36 x = 36/-72 x = – 1/2 Solución. ______________________________________ Ejemplo C) Resolver 1/5(x-2) – (2x-3) = 2/3(4x+1)- 1/6(2x+7) >> Resolviendo operaciones: x-2/5 -(2x-3) = 8x+2/3 – 2x+7/6 >>Encontrando el m.c.m. de los denominadores 5, 1, 3 y 6 que es 30 –> >> Suprimiendo denominadores: 30 ÷ 5 = 6 –> 6(x-2) = 6x-12 30 ÷ 1 = 30 –> – 30(2x-3) = -60x+90 30 ÷ 3 = 10 –> 10(8x+2) = 80x+20 30 ÷ 6 = 5 –> -5(2x+7) = -10x-35 >> La ecuación quedaría así: 6x-12-60x+90 = 80x+20-10x-35 >> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos: 6x-12-60x+90 = 80x+20-10x-35 –> 6x-60x-80x+10x = 20-35+12-90 -124x = -93 x = -93/-124 x = 3/4 Solución. _____________________________________ Ejercicio 141. 1) Resolver x/6 + 5 = 1/3 -x >> El m.c.m. de 6, 1 y 3 es =6 >> Suprimiendo denominadores: 6 ÷ 6 = 1 –> 1(x) = x 6 ÷ 1 = 6 –> 6(5) = 30 6 ÷ 3 = 2 –> 2(1) = 2 6 ÷ 1 = 6 –> 6(-x) = -6x >> La ecuación quedaría así: x +30 =2 -6x >> Transponiendo términos semejantes y reduciéndolos: x+6x = 2-30 7x = -28 x = -28/7 x = -4 Solución. ____________________________________ 2) Resolver 3x/5 – 2x/3 + 1/5 = 0 >> El m.c.m. de 5 y 3 es = 15 >> Suprimiendo denominadores: 15 ÷ 5 = 3 –> 3(3x) = 9x 15 ÷ 3 = 5 –> 5(-2x) = -10x 15 ÷ 5 = 3 –> 3(1) = 3 >> La ecuación quedaría así: 9x-10x+3 = 0 >> Despejando la ecuación: 9x-10x+3 = 0 -x = -3 x = 3 Solución. ____________________________________ 3) Resolver 1/2x + 1/4 -1/10x = 1/5 >> El m.c.m de 2x, 4, 10x y 5 es = 20x >> Suprimiendo denominadores: 20x ÷ 2x = 10 –> 10(1) = 10 20x ÷ 4 = 5x –> 5x(1) = 5x 20x ÷ 10x = 2 –> 2(-1) = -2 20x ÷ 5 = 4x –> 4x(1) = 4x >> La ecuación quedaría así: 10+5x+2=4x >> Despejando la ecuación: 10+5x-2 = 4x 5x-4x = -8 x = -8 Solución. ____________________________________ 4) Resolver x/2 +2 – x/12 = x/6 – 5/4 >> El m.c.m. de 2, 1, 12, 6 y 4 es = 12 >> Suprimiendo denominadores: 12 ÷ 2 = 6 –> 6(x) = 6x 12 ÷ 1 = 12 –> 12(2) = 24 12 ÷ 12 = 1 –> 1(-x) = -x 12 ÷ 6 = 2 –> 2(x) = 2x 12 ÷ 4 = 3 –> 3(-5) = -15 >>La ecuación quedaría así: 6x+24-x = 2x-15 >> Despejando la ecuación: 6x+24-x = 2x-15 6x-x-2x = -15-24 3x = -39 x = -39/3 x = -13 Solución. _____________________________________ 5) Resolver 3x/4 – 1/5 + 2x = 5/4 – 3x/20 >> El m.c.m. de 4, 5, 1 y 20 es = 20 >> Suprimiendo denominadores: 20 ÷ 4 = 5 –> 5(3x) = 15x 20 ÷ 5 = 4 –> 4(-1) = -4 20 ÷ 1 = 10 –> 20(2x) = 40x 20 ÷ 4 = 5 –> 5(5) = 25 20 ÷ 20 = 1 –> 1(-3x) = -3x >> La ecuación quedaría así: 15x-4+40x = 25-3x >> Despejando la ecuación: 15x-4+40x = 25-3x 15x+40x+3x = 25+4 58x = 29 x = 29/58 x = 1/2 Solución. _____________________________________ 18) Resolver 4x+1/3 = 1/3(4x-1) -13+2x/6 -1/2(x-3) >> Efectuando operaciones indicadas: 4x+1/3 = 4x-1/3 – 13+2x/6 – x-3/2 >> El m.c.m. de 3, 6 y 2 es = 6 >>suprimiendo denominadores: 6 ÷ 3 = 2 –> 2(4x+1) = 8x+2 6 ÷ 3 = 2 –> 2(4x-1) = 8x-2 6 ÷ 6 = 1 –> – 1(13+2x) = -13-2x 6 ÷ 2 = 3 –> – 3(x-3) = -3x+9 >> La ecuación quedaría así: 8x+2 = 8x-2 -13-2x -3x+9 >> Despejando la ecuación: 8x+2 = 8x-2 -13-2x-3x+9 8x-8x+2x+3x = -2-13+9-2 5x= -8 x = – 8/5 Solución. ___________________________________