Caso V. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.

Procedimiento:

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV).

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Ejemplo:  Factorar    x^4 +x²y² +y^4

a) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:

raíz cuadrada de x^4 = x²      ;     Raíz cuadrada de y^4 = y²

el 2º  término debiera ser  2(x²)(y²) = 2x² y²

Comparando 2º término (2x²y²) – (x²y²) = x²y² lo que le falta

b) Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así:

x^4   +  x²y² + y^4                     (Trinomio original)

.       +  x²y²             – x²y²    (sumando y restando lo que le hace falta)

x^4 +2x²y² +y^4  -x²y² = (x^4 +2x²y² +y^4) -x²y²     (resultado de convertir el trinomio)

c) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:

(x^4 +2x²y² +y^4)  – x²y²=  (x² + y²)² – x²y²

d) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:

(x² + y²)² – (xy)²  = (x² +y² +xy)(x²y²-xy)

Ordenado sería = (x² +xy +y²)(x² -xy+y²) <– Solución

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EJERCICIO 96

1) Factorar a^4+a²+1 = 

>  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de a^4 = a²     ;   raíz cuadrada de 1 = 1

El 2º término debe ser: 2(a²)(1) =  2a²

>  Comparando los 2ºs términos:  2a² – a² = a² <–lo que falta.

>  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):

a^4  +  a² + 1

.       +  a²        -a²

a^4 +2a² + 1 -a²  =  (a^4 +2a² +1) – a²

>  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:

(a^4 +2a² +1) – a² =  (a² +1)^2 – a²

>  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos:

(a² +1)² – (a)² = (a² +1 +a)(a² +1 -a)  

ordenado quedaría así (a² +a+1)(a²-a+1)  <–Solución

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2) Factorar m^4+m²n²+n^4 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de  m^4 = m²    ;   raíz² de n^4 = n²

–> el 2º término debe ser: 2(m²)(n²) = 2m²n²

Comparando los 2ºs términos:  2m²n² – m²n² = m²n² <– le falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

m^4  +  m²n² +  n^4

.         +  m²n²             – m²n²

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m^4 + 2m²n² + n^4 – m²n² =  (m^4+2m²n²+n^4) -m²n²

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III

(m^4+2m²n²+n^4) – m²n² =  (m² + n²)² – m²n²

>> Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV)

(m²+ n²)² – (mn)² = (m² +n² +mn)(m² +n²2 -mn)

ordenado quedaría así :  (m² +mn+n²)(m² -mn+n²) Solución

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3) Factorar x^8 +3x^4 +4

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de x^8 = x^4   ;   raíz² de 4 = 2

–> el 2º término debería ser :  2(x^4)(2) = 4x^4

Comparando los 2ºs términos:   4x^4  –  3x^4 = x^4  Es lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

x^8 +3x^4 +4

.         x^4        -x^4

x^8 +4x^4 +4 -x^4  =   (x^8 +4x^4 +4) -x^4

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(x^8 +4x^4 +4)  – x^4  =  (x^4 +2)² – x^4

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(x^4 +2)² -(x²)²  =  (x^4 +2 +x²)(x^4 +2 -x²)

ordenando quedaría así :  (x^4 +x² +2)(x^4 -x² +2)  Solución

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4) Factorar    a^4 +2a² +9 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz² de a^4 = a²    ;      raíz² de 9 = 3

–> el 2° término sería:  2(a²)(3) = 6a²

–> comparando los 2° términos :   6a² – 2a² = 4a² lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

a^4 +2a² +9

.      +4a²      -4a²

a^4 +6a² +9 -4a² =   (a^4 +6a² +9) – 4a²

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(a^4 +6a² +9) -4a² = (a² +3)² – 4a²

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(a² +3)² – (2a)² = (a² +3 +2a)(a² +3 -2a)

ordenado quedaría así:  (a² +2a +3)(a² -2a +3)   Solución

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17) Factorar  25x^4-139x^2y^2+81y^4

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto

Raíz² de 25x^4 = 5x²

Raíz² de 81y^4 = 9y²

El 2° término debe ser  -2(5x²)(9y²) =  -90x²y²

Comparando los dos 2° términos:

-139x²y² ( trinomio original)

–  90x²y²  (como debería ser)

– 49x²y²  ( es lo que se pasa)

Entonces a la ecuación original debemos quitarle +49x²y²

>> Convirtiendo la expresión a trinomio cuadrado perfecto,

por adición y sustracción, se hace así:

25x^4 -139x²y² +81y^4

.              49x²y²              -49x²y²

25x^4 –  90x²y² +81y^4 -49x²y²

= (25x^4-90x²y²+81y^4) – 49x²y²

>> Factorando el trinomio cuadrado como (Caso III)

= (5x²-9y²)² – (7xy)²

>> Factorando toda la expresión como diferencia de cuadrados (Caso IV)

(5x²-9y²+7xy)(5x²-9y²-7xy)

>> Ordenando los factores:

= 5x²+7xy-9y²)(5x²-7xy-9y²) <–  Solución.

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