Caso IX. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

1.  Regla  para la suma de cubos perfectos.

a³ +b³  =   (a+b)(a²-ab+b²)

La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces cúbicas, (a+b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a², menos el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b².

Ejemplo: Factorar o descomponer en 2 factores 27m^6 +64n^9

1°  Se encuentra las raíces cúbicas de

.      27m^6 = 3m²      y     64n^9 = 4n³

–> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:   (3m²+4n³)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (3m²)² = 9m^4

Productos de las 2 raíces cúbicas:  (3m²)(4n³) = 12m²n³

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (4n³)² = 16n^6

–>  27m^6+64n^9  =  (3m²+4n³)(9m^4 -12m²n³ +16n^6)   Solución.

2.  Regla para la diferencia de cubos perfectos.  

a³ -b³ = (a -b)(a²+ab+b²)

La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas, (a-b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a², más el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b².

Ejemplo: Descomponer en 2 factores  8x³ -125

1°  Se encuentra las raíces cúbicas de:

.     8x³ =  2x          y      125  =  5

–> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:  (2x -5)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2x)² =  4x²

Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5)² = 25

–> 8x³ -125  =  (2x -5)(4x² +10x +25)  Solución.

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Ejercicio 103.

Descomponer en 2 factores :

1)  1 +a³

Raíz cúbica de 1  =  1          Raíz cúbica de a³=  a

Suma de las raíces cúbicas:  (1 +a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)² =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a)  =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)² =  a²

–> 1 +a³ =  (1 +a)(1 -a +a²)  Solución.

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2)  1 -a³

Raíz cúbica de 1  =  1       y       Raíz cúbica de a^3  =  a

Diferencia de las raíces cúbicas:  (1 -a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)² =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a) =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)² =  a²

–>  1 -a³ =  (1 -a)(1 +a +a²)     Solución.

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3)  x³ +y³

Raíz cúbica de x³ =  x                      Raíz cúbica de y³ =  y

Suma de las raíces cúbicas:  (x +y)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (x)² = x²

Producto de las raíces cúbicas:  (x)(y)  =  xy

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (y)² =  y²

–>  x³ +y³ =  (x +y)(x² -xy +y²)    Solución.

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14)  64 +a^6

Raíz cúbica de 64  =  4               Raíz cúbica de a^6  =  a²

Suma de las raíces cúbicas:  (4 +a²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (4)² = 16

Producto de las raíces cúbicas:  (4)(a²) =  4a²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a²)² = a^4

–>  64 +a^6  =  (4 +a²)(16 -4a² +a^4)     Solución.

Recordatorio:

Para elevar una potencia a otra potencia;  Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se copia la literal y se multiplican los exponentes:  (a²)² = a²*² = a^4

Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se extrae la raíz cúbica del coeficiente, se copia la literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz cúbica (³√) :

³√a^6 = a^6/3 = a².

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17)   8a³ +27b^6

Raíz cúbica de 8a³ =  2a              Raíz cúbica de 27b^6  =  3b²

Suma de las raíces cúbicas:  (2a +3b²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2a)² =  4a²

Producto de las raíces cúbicas:  (2a)(3b²) = 6ab²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (3b²)² =  9b^4

–>   =  (2a +3b²)(4a² -6ab² +9b^4)    Solución.

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Prof. Jorge A. Carrillo M.