Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Valor de una fracción decimal periódica.

Una fracción decimal periódica es la suma de una progresión geométrica decreciente infinita, y su valor puede hallarse por la fórmula S = a/1-r
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Procedimiento:
1) El número decimal del cual queremos obtener su valor, se descompone en una progresión geométrica decreciente infinita.
2) El primer término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la primera cifra decimal en el número dado.( 0.344 ≡ ³/₁₀)
3) El segundo término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la segunda cifra decimal en el número dado. (0.344 ≡ ⁴/₁₀₀.  Y así sucesivamente hasta la última cifra que tenga el decimal dado.
4) Con las fracciones encontradas se forma una progresión geométrica decreciente infinita aplicando la respectiva fórmula para la suma.
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Ejemplos:
 
a) Hallar el valor de  0.333….
> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:
0.333…. = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ….
> Formando un progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷ ³/₁₀:³/₁₀₀:³/₁₀₀₀:….
> Elementos:  a= ³/₁₀   ;  r= ³/₁₀₀ ÷ ³/₁₀ = ¹/₁₀
>Aplicando la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ³/₁₀/(1 – ¹/₁₀)
S = (³/₁₀) / (⁹/₁₀)
S = ⅓      Es el valor de 0.333….
 
b) Hallar el valor de 0.31515
> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:
0.31515….  = ³/₁₀ + ¹⁵/₁₀₀₀ + ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ + ….
> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷ ³/₁₀:¹⁵/₁₀₀₀:¹⁵/₁₀₀₀₀₀: ….
> En este caso ³/₁₀ no se toma como elemento de la progresión, porque no es cifra decimal periódica; pero a partir del segundo término en adelante si son cifras decimales periódicas (¹⁵/₁₀₀₀ y ¹⁵/₁₀₀₀₀₀);  y son estas fracciones las que se toman como términos para resolver la  progresión.
> Elementos:  a= ¹⁵/₁₀₀₀  ;  r = ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ ÷ ¹⁵/₁₀₀₀ = ¹/₁₀₀
> Aplicando la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ¹⁵/₁₀₀₀ / (1 – ¹/₁₀₀)
S = (¹⁵/₁₀₀₀) / (⁹⁹/₁₀₀)
S = ¹/₆₆  Es la suma del ¹⁵/₁₀₀₀+¹⁵/₁₀₀₀₀₀
> Entonces sumamos el valor de las fracciones periódicas con el valor de la fracción no periódica:
 ³/₁₀ + ¹/₆₆ = ⁵²/₁₆₅   es el valor de  0.31515….
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Ejercicio 296.
Hallar por la suma al infinito, el valor de los números decimales:
 
1) 0.666….
> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:
> 6/10 + 6/100 + 6/1000 + ….
> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷ ⁶/₁₀: ⁶/₁₀₀: ⁶/₁₀₀₀ : ….
> Elementos:  a= ⁶/₁₀  ;  r= ⁶/₁₀₀÷⁶/₁₀ = ¹/₁₀
> Aplicando la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ⁶/₁₀ /(1-¹/₁₀)
S = (⁶/₁₀) / (⁹/₁₀)
S = ⅔    es el valor de 0.666
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2) 0.1212 ….
> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:
> 12/100 + 12/10000 + ….
> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷ ¹²/₁₀₀ :¹²/₁₀₀₀₀: ….
> Elementos:  a= ¹²/₁₀₀  ;  r= ¹²/₁₀₀₀₀÷¹²/₁₀₀= ¹/₁₀₀
> Aplicando la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ¹²/₁₀₀ /(1 – ¹/₁₀₀)
S = (¹²/₁₀₀) /(⁹⁹/₁₀₀)
S = ⁴/₃₃    <– Valor del número decimal 0.1212 ….
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7)  0.18111….
> Cambiando las cifras decimales periódicas y no periódicas a fracciones:
> ¹⁸₁₀₀ + ¹/₁₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀ + /₁/₁₀₀₀₀₀ ….
> Formando una progresión geométrica infinita:
Se toma para la progresión geométrica a partir de ¹/₁₀₀₀, porque ahí es
donde empieza la cifra periódica:
÷÷¹/₁₀₀₀: ¹/₁₀₀₀₀; ₁/₁₀₀₀₀₀: ….
> Elementos:  a= ¹/₁₀₀₀  ;  r= ₁/₁₀₀₀₀÷¹/₁₀₀₀= ¹/₁₀
> Aplicando la fórmula a para la suma:
S = a/1-r
S= ¹/₁₀₀₀ /(1- ¹/₁₀)
S = (¹/₁₀₀₀)/(⁹/₁₀)
S = ¹/₉₀₀
Entonces se suma la fracción no periódica más la suma de
del valor de las fracciones periódica encontrada:
 ¹⁸/₁₀₀ + ¹/₉₀₀ = ¹⁶³/₉₀₀  <– Es el valor de la cifra decimal dada.
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