Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Caso VI. Trinomio de la forma x^2+bx+c. Casos Especiales.

Se procede de la misma manera que se explicó en el Ejercicio 98.

En estos problemas del Ejercicio 99, se presentarán algunas diferencias que serán explicadas.

Ejemplos:

a) Factorar  

Se encuentra la raíz cuadrada del primer término del trinomio:

Se forman dos factores binomios, cuyo primer término será :

(x²      )(x²   );

el signo que sigue al 1º término del 1º binomio es el mismo del 2º término del trinomio. y el signo que sigue al 1º término del 2º binomio es el producto de los signos del 2º y 3º términos del trinomio:

(x²-  )(x²+  )

Luego se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del 2º término del trinomio y cuyo producto sea igual al coeficiente del 3º término.

En este caso son -10  y  5;  porque -10+5= -5  y  (-10)(5)=-50

    Solución.

_____________________________

b) Factorar   

Formando los dos factores binomios:

(x³+   )(x³-   )

Buscando dos números que sumen (7) y que su producto sea (-44)

Estos son 11 y -4,  porque 11-4=7  y  (11)(-4)=-44

   Solución.

______________________________

c)  Factorar:   

Formando los dos factores binomios:

(ab-   )(ab+   )

Buscando dos números que sumen (-1)  y que su producto sea (-42):

Son -7  y  6: porque -7+6=-1   y    (-7)(6)=-42:

   Solución.

____________________________

d) Factorar 

Formando factores binomios:

(5x-   )(5x-   )

Buscando dos números que sumen (-9) y su producto sea (8):

Son -8  y -1; porque -8-1=-9  y  (-8)(-1)=8

   Solución.

_____________________________

e)  Factorar   

Formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-5a) y su producto sea (-36a²):

Son -9a  y 4a;  porque -9a+4a=-5a  y  (-9a)(4a)= -36a²

   Solución.

______________________________

f) Factorar   

Formando factores binomios:

[(a+b)-   ][(a+b)-   ]

Buscando dos números que sumen (-12) y que su producto sea (20):

Son -10  y -2;  porque -10-2=-12   y   (-10)(-2)=20

   Solución.

_____________________________

g) Factorar  

    (ordenado)

  (Se cambió signo a todos los términos del trinomio para volver  positivo el término cuadrático)

formando factores binomios:

(x-   )(x+   )

Buscando dos números que sumen (-3) y que su producto sea (-28):

Son -7  y  4 ; porque  -7+4=-3   y  (-7)(4)=-28

  (Como el trinomio original ordenado empezaba con signo negativo, esta descomposición también debe empezar con signo negativo.

Para eliminar el signo negativo que precede a la descomposición, debe cambiársele signo a los términos de uno de los factores; lo haremos con (x-7).

   Solución.

_____________________________

h) Factorar  

   (ordenado)

  (volviendo positivo el término cuadrático)

Formando factores binomios:

(y²-   )(y²+   )

Buscando dos números que sumen (-1) y que su producto sea (-30):

Son -6  y 5 ; porque  -6+5=-1   y   (-6)(5)=-30

   Solución.

___________________________________________

Ejercicio 99

Factorar las siguientes expresiones:

1) 

si 

   Solución.

___________________________________________

2)  

Si 

->    Solución.

___________________________________________

3)  

Si 

->    Solución.

____________________________________________

4) 

Si 

->    Solución.

____________________________________________

5) 

Si 

   Solución.

____________________________________________

6) 

Si 

->    Solución.

____________________________________________

7) 

Si  

->    Solución.

___________________________________________

8) 

En este caso la incógnita es la variable “a” porque forma parte del término cuadrático.

Si 

->    Solución.

___________________________________________

9) 

Si 

->    Simplificando:

  Solución.

____________________________________________

10) 

   (ordenado)

   (Con signos cambiados)

Si 

-> 

  (Agregando signo negativo a la descomposición de factores)

-> Quitando el signo negativo, pero cambiando los signos a los términos de uno de los factores, en este caso a (x-5):

  ó    Solución.

___________________________________________

30)  

Si 

   Solución.

Comprobando:

9ab-4ab=5ab    y   (9ab)(-4ab)=-36a²b²

___________________________________________

 

 

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Factorización.

Factorización también conocida como Descomposición Factorial.

Es descomponer en factores o factorar una expresión algebraica para convertirla en el producto indicado de dos o más factores.

Factores.

Son expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto una nueva expresión.

Casos:

I. Factor Común Monomio

a^2+2a = a(a+2)

I. Factor Común Polinomio

x(a+b)+m(a+b) = (a+b)(x+a)

II. Factor Común por Agrupación de Términos

ax+bx+ay+by = (ax+bx)+(ay+by) = x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

III. Trinomio Cuadrado Perfecto

m^2 +2m +1  = (m+1)^2

IV. Diferencia de Cuadrados Perfectos

a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)

V. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.

x^4 +x^2y^2 +y^2 = (x^2 +xy +y^2)(x^2 – xy +y^2)

VI. Trinomio de la forma

x^2 +bx +c = [x(b+c)][x(b-c)]

VII. Trinomio de la forma

ax^2 +bx +c = a(x^2 +bx +c) / a

VIII. Cubo Perfecto de Binomios.

a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3

a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 = (a-b)^3

IX. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos.

x^3+1 = (x+1)(x^2 -x +1)

x^3-1 = (x-1)(x^2 +x +1)

X. Suma o Diferencia de Potencias Iguales

m^5 + n^5 = (m+n)(m^4 -m^3 n +m^2 n^2 -m n^3 +n^4)

m^5 – n^5 = (m-n)(m^4 +m^3 n +m^2 n^2 +m n^3 +n^4)

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De cada uno de estos 10 casos puedes ver reglas, procedimientos, ejemplos, ejercicios desarrollados paso a paso y su solución o resultado; en esta misma página. Puedes buscarlos por Categoría, por Tema o por número de Ejercicio.

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Combinación de casos de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos.

Procedimiento General.

1) Agrupar los términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando uno o más Trinomios Cuadrados  Perfectos (a^2+2ab+b^2). Los términos que no sean T.C.P.  se restan del trinomio.  Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro (a^2+2ab+b^2) – (x^2+2xy+y^2).

2) Se factoriza el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado (a+b)^2

3) Si son dos binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia de Cuadrados Perfectos (a+b)^2 – (x+y)^2.  Si solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)^2 – c^2.

Veamos unos ejemplos para su mejor comprensión:

Ejemplo 1)  Descomponer o factorar  a^2 +m^2 -4b^2 -2am

> Formando un trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión dada:

a^2 -2am +m^2

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto encontrado:

a^2 -2am +m^2 = (a-m)^2

> Restándole al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión dada:

(a-m)^2 – 4b^2

> Esta nueva expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a factorizarla:

(a-m)^2 – 4b^2

= [(a-m)+2b)][(a-m)-2b]

= (a-m+2b)(a-m-2b)   Solución.

Ejemplo 2) Descomponer o factorar  4x^2 -a^2 +y^2 -4xy +2ab -b^2

> Formando trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos), buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.

-4xy es el resultado de -2(√4x^2)(√y^2) = -2(2x)(y) =  -4xy

2ab  es el resultado de  2(√-a^2)(√-b^2) = 2(-a)(-b) = 2ab

> Los trinomios quedarían así:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

> Convirtiendo los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

= (2x-y)^2 – (a-b)^2

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:

(2x-y)^2 – (a-b)^2

= [(2x-y) + (a-b)][(2x-y) – (a-b)]

= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)   Solución.

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Ejercicio 95.

Factorar o descomponer en dos factores:

1) a^2 +2ab +b^2 –x^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:

(a^2+2ab+b^2)

= (a+b)^2

> Formando una diferencia de cuadrados pefectos:

(a+b)2 – x^2

> Factorizando la la diferencia de cuadrados perfectos:

(a+b)2 – x^2

= [(a+b) +x][(a+b) -x]

= (a+b+x)(a+b-x) Solución.

_______________________________________________

2) x^2 -2xy +y^2 –m^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

(x^2 -2xy +y^2)

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

x^2 -2xy +y^2 = (x-y)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

= [(x-y)+m][(x-y) +m]

= (x-y+m)(x-y-m) Solución.

___________________________________________

3) m^2 +2mn +n^2 -1

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n+1)(m+n-1)   Solución.

_________________________________________________

4) a^2 -2a +1 –b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1 = (a-1)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

>Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

= [(a-1) +b][(a-1) -b]

= (a-1+b)(a-1-b)    ordenado sería:

= (a+b-1)(a-b-1   Solución.

_______________________________________________

7) a^2 +4 -4a -9b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4

> Factorando  el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4 = (a-2)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

= [(a-2) +3b][(a-2) -3b]

= (a-2+3b)(a-2-3b)     ordenado sería:

= (a+3b-2)(a-3b-2)    Solución.

________________________________________________

28) x^2 +4a^2 -4ax –y^2 -9b^2 +6by

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (–y^2+6by-9b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (y^2-6by+9b^2)

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

= [(x-2a) +(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]

= (x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b)    Solución.

__________________________________________________

30)  9x^2 +4y^2 -a^2 -12xy -25b^2 -10ab

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

= (3x-2y)^2 – (a+5b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

(3x-2y)^2 – (a+5b)^2

= [(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]

= (3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b)   Solución.

______________________________________________

Descomposición de una expresión algebraica en cinco o seis factores.

Procedimiento:

1) Se descompone la expresión algebraica en los factores que se necesiten, utilizando cualquiera de los 10 casos de Factorización, según el o los que sean necesarios.

____________________________________________________

Ejercicio 109.

 1) Descomponer en cinco factores  x⁹-xy⁸

> Descomponiendo la expresión su factor común Caso I:

x⁹-xy⁸ = x(x⁸-y⁸)

> Descomponiendo  x⁸-y⁸  por el Caso IV

x(x⁸-y⁸) = x(x⁴+y⁴)( x⁴-y⁴)

> Descomponiendo x⁴-y⁴  por el Caso IV

x(x⁴+y⁴)( x⁴-y⁴) = x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x²-y²)

> Descomponiendo x²-y²  por el Caso IV:

x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x+y)(x-y)

–> x⁹-xy⁸ = x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x+y)(x-y)  Solución.

____________________________________________________

2) Descomponer en cinco factores  x⁵-40x³+144x

> Descomponer la expresión por su factor común Caso I:

x⁵-40x³+144x =  x(x⁴-40x²+144)

> Descomponiendo x⁴-40x²+144 por el Caso VI

= x(x²-36)(x²-4)

> Descomponiendo  x²-36  y  x²-4  por el Caso IV

x²-36 = (x+6)(x-6)

x² – 4 = (x+2)(x-2)

Entonces la descomposición quedaría así:

x⁵-40x³+144x  = x(x+6)(x-6)(x+2)(x-2)  Solución.

___________________________________________________

14) Descomponer en seis factores  (a²-ax)(x⁴-82x²+81)

> Descomponiendo  a²-ax  por su factor común Caso I:

a²-ax = a(a-x)

> Descomponiendo  x⁴-82x²+81 por el Caso VI:

x⁴-82x²+81 = (x²-81)(x²-1)

–> La descomposición, hasta aquí, quedaría así:

(a²-ax)(x⁴-82x²+81) = a(a-x)(x²-81)(x²-1)

> Descomponiendo  x²-81  y  x²-1 por el Caso IV:

x²-81 = (x+9)(x-9)

x²-1 = (x+1)(x-1)

–> La descomposición quedaría así:

(a²-ax)(x⁴-82x²+81) = a(a-x)(x+9)(x-9)(x+1)(x-1)  Solución.

___________________________________________________

Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores.

Procedimiento:

1) Se descompone la expresión algebraica en los factores que se necesiten, utilizando cualquiera de los 10 casos de Factorización, según el o los que sean necesarios.

_____________________________________________________

Ejemplos:

a) Descomponer en cuatro factores   2x⁴-32

> Buscando el factor común de 2x⁴   y   32, que es 2

> Se descompone la expresión en 2 factores:

2x⁴-32 = 2(x⁴-16)

> Se descompone x⁴-16 en dos factores:

x⁴-16 = (x²+4)(x²-4)

> Se descompone x²-4 en dos factores:

x²-4 = (x+2)(x-2)

–> 2x⁴-32 =  2(x²+4)(x+2)(x-2)   Solución

 

b) Descomponer en cuatro factores  a⁶-b⁶

> Descomponer la expresión como diferencia de cuadrados:

a⁶-b⁶ = (a³+b³)(a³-b³)

> Descomponiendo cada uno de los factores anteriores

como suma y como diferencia de cubos perfectos:

(a³+b³)(a³-b³) =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)

–> a⁶-b⁶ =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)  Solución.

___________________________________________________

Ejercicio 108.

3) Descomponer en cuatro factores  x⁴-41x²+400

> Descomponiendo la expresión como Caso VI

x⁴-41x²+400 = (x²-25)(x²-16)

> Descomponiendo  x²-25  y  x²-16  como caso IV

x²-25 = (x+5)(x-5)

x²-16 = (x+4)(x-4)

–> la descomposición quedaría así:

x⁴-41x²+400 = (x+5)(x-5)(x+4)(x-4)  Solución.

__________________________________________________

10) Descomponer en cuatro factores  12ax⁴+33ax²-9a

> Descomponiendo la expresión en su factor común:

El factor común de 12ax⁴+33ax²-9a  es  3a

–> = 3a(4x⁴+11x²-3)

> Descomponiendo 4x⁴+11x²-3 como Caso  VII

3a(4x⁴+11x²-3) = 3a(x²+3)(4x²-1)

Descomponiendo 4x²-1  como Caso IV:

3a(x²+3)(4x²-1) = 3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)

–>  12ax⁴+33ax²-9ª =  3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)  Solución.

__________________________________________________

12) Descomponer en cuatro factores  x⁶-7x³-8

> Descomponiendo la expresión como Caso VI:

x⁶-7x³-8 =  (x³-8)(x³+1)

> Descomponiendo  x³-8   y   x³+1 como Caso IX:

x³-8 = (x-2)(x²-2x+4)

x³+1 = (x+1)(x²-2x+1)

–> La descomposición quedaría así:

x⁶-7x³-8 =  (x-2)(x²-2x+4)(x+1)(x²-2x+1)  Solución.

__________________________________________________

Descomposición de una expresión algebraica en tres factores.

Procedimiento:

1) Buscar si hay un factor común en los términos de la expresión.

2) Si hay factor común en la primera expresión descomponerlo en dos factores.

3) Descomponer en dos factores, el factor que no es común en los dos encontrados.

4) La solución será la expresión con los tres factores encontrados.

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Ejemplos:

a) Descomponer en tres factores 5a²-5

> Buscando el factor común de 5a²  y  -5, que es 5

> Descomponiendo 5a²-5 en dos factores

5a²-5 = 5(a²-1)

> Descomponiendo en dos factores a²-1:

a²-1 = (a+1)(a-1)

–>  5a²-5 =  5(a+1)(a-1)  Solución.

 

b) Descomponer en tres factores 3x³-18x²y+27xy²

> Buscando el factor común 3x³  ;  -18x²y  ;  +27xy², que es 3x

> Descomponiendo 3x³-18x²y+27xy² en dos factores:

3x³-18x²y+27xy² = 3x(x²-6xy+9y²)

> Descomponiendo x²-6xy+9y²  en dos factores:

x²-6xy+9y² = (x-3y)² = (x-3y)(x+3y)

–> 3x³-18x²y+27xy² = 3x(x-3y)(x+3y)  Solución.

 

c) Descomponer en tres factores 6ax²+12ax-90a

> Buscando el factor común de  6ax²  ;  +12ax  ;  -90a, que es 6a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

6ax²+12ax-90a = 6a(x²+2x-15)

> Descomponiendo  x²+2x-15 en dos factores:

x²+2x-15 = (x+5)(x-3)

–> 6ax²+12ax-90ª =  6a(x+5)(x-3)  Solución.

 

d) Descomponer en tres factores  8x³+8

> Buscando el factor común de 8x³  y  8, que es 8

>Descomponiendo en dos factores la expresión:

8x³+8 =  8(x³+1)

> Descomponiendo x³+1 en dos factores:

x³+1 = (x+1)(x²+x+1)

–> 8x³+8 =  8(x+1)(x²+x+1)  Solución.

_________________________________________________

Ejercicio 107.

1) Descomponer en tres factores 3ax²-3a

> Buscando el factor común de 3ax²  y  -3a, que es 3a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3ax²-3a = 3a(x²-1)

> Descomponiendo x²-1 en dos factores:

x²-1 = (x+1)(x-1)

–> 3ax²-3a = 3a(x+1)(x-1)  Solución.

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2) Descomponer en tres factores  3x²-3x-6

> Buscando el factor común de 3x² , 3x  , 6, que es 3

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3x²-3x-6 =  3(x²-x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en dos factores:

x²-x-2 = (x-2)(x+1)

–> 3x²-3x-6 =  3(x-2)(x+1)  Solución.

____________________________________________________

3) Descomponer en tres factores  2a²x-4abx+2b²x

> Buscando el factor común de 2a²x  ;  4abx  ;  2b²x, que es 2x

> Descomponiendo la expresión en dos factores

2a²x-4abx+2b²x = 2x(a²-2ab+b²)

> Descomponiendo a²-2ab+b² en dos factores:

a²-2ab+b² = (a-b)² = (a+b)(a-b)

–> 2a²x-4abx+2b²x = 2x(a+b)(a-b)

ó = 2x(a-b)²  Solución.

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Caso X. Suma o Diferencia de Potencias Impares Iguales

Regla para  La suma  de dos potencias impares iguales (m^5+n^5) es  igual a dos factores:

el primero es la suma de las raíces de los términos (m+n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m^4 – m^3n + m^2n^2 – mn^3 + n^4)

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Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m^5 – n^5) es  igual a dos factores:

el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.

(m^4 + m^3n + m^2n^2 + mn^3 + n^4)

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Ejemplo:

Factorar    x^5 +32

1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x^5 = x          ; raíz quinta de 32 = 2  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)

3º  Formamos el segundo factor:

(x^4 – x^3(2) +x^2(2)^2 – x(2)^3 + (2)^4) = (x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)

–> x^5 +32  =  (x +2)(x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)  Solución

Factorar    x^7 – 1

1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:

raíz séptima de x^7 = x          ; raíz séptima de 1 = 1  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x – 1)

3º  Formamos el segundo factor:

(x^6 + x^5(1) + x^4(1)^2 + x^3(1)^3 + x^2(1)^4 +x(1)^5 + (1)^6) =

 = (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1) –>

–> x^7 -1  =  (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1)  Solución

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NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1),  los signos del segundo factor son alternativamente ” + ” y  ” – ”

Cuando el primer factor es diferencia (x-1),  los signos del segundo factor son todos positivos ” + ”

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Ejercicio 105.

3) Factorar    1 – x^5

Raíz quinta de 1 = 1     ;    raíz quinta de x^5 = x

–> 1er.  factor:   (1 -x)

.     2º.  factor: (1^4 + 1^3(x) + 1^2(x^2) + 1(x^3) + x^4) =

=  (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) 

–> 1 – x^5   =   (1 -x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)   Solución

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4)  Factorar    a^7  + b^7

Raíz séptima de a^7 = a         ;    raíz séptima de b^7 = b

–> 1er.  Factor:  (a +b)

.    2º.  Factor:  (a^6  -a^5(b) +a^4(b^2) -a^3(b^3)  +a^2(b^4) -a(b^5) +b^6=

(a^6 – a^5b + a^4b^2 – a^3b^3 + a^2b^4 – ab^5 + b^6)

Solución:

a^7 + b^7  =  (a+b)(a^6 -a^5b +a^4b^2 -a^3b^3 +a^2b^4 -ab^5 +b^6)

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6)  Factorar  a^5+243

Raíz quinta de  a^5 = a   ;    raíz quinta de 243 = 3

–> 1er.  Factor:  (a+3)   

.     2º. Factor:  (a^4 – a^3(3) + a^2(3)^2 – a(3)^3 + (3)^4) =

= (a^4 -3a^3 +9a^2 – 27a +81)

–> a^5 +243 = (a+3)(a^4 -3a^3 +9a^2 – 27a +81)   Solución.

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7)    Factorar   32 -m^5

Raíz quinta de 32 = 2       ;      Raíz quinta de m^5 = m

–> 1er. Factor:   (2 -m)

.     2º. Factor: [(2)^4 + (2)^3(m) + (2)^2(m)^2 + (2)(m)^3 + m^4] =

=   (16 + 8m + 4m^2 + 2m^3 +m^4)

> 32 -m^5  =  (2 -m)(16 + 8m + 4m^2 + 2m^3 +m^4)  Solución.

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8)   Factorar   1 + 243x^5

Raíz quinta de 1 = 1      ;     Raíz quinta de 243x^5 = 3x

–> 1er. factor:  (1 + 3x)

.   2º. Factor:  [(1)4 – (1)^3(3x) + (1)^2(3x)^2 – (1)(3x)^3 + (3x)^4] =

=   (1 – 3x + 9x^2 – 27x^3 + 81x^4)

–>  1+243x^5 = (1 +3x) (1 – 3x + 9x^2 – 27x^3 + 81x^4)  Solución.

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10)  Factorar   243 -32b^5

Raíz quinta de  243 =  3     ;      Raíz quinta de 32b^5 = 2b

–>  1er. Factor:   (3 -2b)

.   2º. Factor:   [(3)^4 + (3)^3(2b) + (3)^2(2b)^2 + (3)(2b)^3  + (2b)^4] =

=    (81 + 54b + 36b^2 + 24b^3 +16b^4)

–>  la Solución es = 

 .    243 -32b^5  =  (3 -2b)(81 + 54b + 36b^2 + 24b^3 +16b^4)

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11)   Factorar   a^5 +b^5c^5

Raíz quinta de a^5 = a     ;      Raíz quinta de b^5c^5 = bc

–>  1er. Factor:   (a + bc)

.   2º. Factor:  [(a)^4 – (a)^3(bc) + (a)^2(bc)^2 – (a)(bc)^3 + (bc)^4]  =

= (a^4 – a^3bc + a^2b^2c^2 – ab^3c^3 + b^4c^4)

–>   la Solución es =

=  a^5 +b^5c^5  =  (a^4 – a^3bc + a^2b^2c^2 – ab^3c^3 + b^4c^4)

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Prof. Jorge A. Carrillo M.

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