Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Archivo para la Categoría "Factorización ó Descomposición Factorial"

Factorización.

Factorización también conocida como Descomposición Factorial.

Es descomponer en factores o factorar una expresión algebraica para convertirla en el producto indicado de dos o más factores.

Factores.

Son expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto una nueva expresión.

Casos:

I. Factor Común Monomio

a^2+2a = a(a+2)

I. Factor Común Polinomio

x(a+b)+m(a+b) = (a+b)(x+a)

II. Factor Común por Agrupación de Términos

ax+bx+ay+by = (ax+bx)+(ay+by) = x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

III. Trinomio Cuadrado Perfecto

m^2 +2m +1  = (m+1)^2

IV. Diferencia de Cuadrados Perfectos

a^2 -b^2 = (a+b)(a-b)

V. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.

x^4 +x^2y^2 +y^2 = (x^2 +xy +y^2)(x^2 – xy +y^2)

VI. Trinomio de la forma

x^2 +bx +c = [x(b+c)][x(b-c)]

VII. Trinomio de la forma

ax^2 +bx +c = a(x^2 +bx +c) / a

VIII. Cubo Perfecto de Binomios.

a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3

a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 = (a-b)^3

IX. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos.

x^3+1 = (x+1)(x^2 -x +1)

x^3-1 = (x-1)(x^2 +x +1)

X. Suma o Diferencia de Potencias Iguales

m^5 + n^5 = (m+n)(m^4 -m^3 n +m^2 n^2 -m n^3 +n^4)

m^5 – n^5 = (m-n)(m^4 +m^3 n +m^2 n^2 +m n^3 +n^4)

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De cada uno de estos 10 casos puedes ver reglas, procedimientos, ejemplos, ejercicios desarrollados paso a paso y su solución o resultado; en esta misma página. Puedes buscarlos por Categoría, por Tema o por número de Ejercicio.

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Combinación de casos de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos.

Procedimiento General.

1) Agrupar los términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando uno o más Trinomios Cuadrados  Perfectos (a^2+2ab+b^2). Los términos que no sean T.C.P.  se restan del trinomio.  Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro (a^2+2ab+b^2) – (x^2+2xy+y^2).

2) Se factoriza el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado (a+b)^2

3) Si son dos binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia de Cuadrados Perfectos (a+b)^2 – (x+y)^2.  Si solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)^2 – c^2.

Veamos unos ejemplos para su mejor comprensión:

Ejemplo 1)  Descomponer o factorar  a^2 +m^2 -4b^2 -2am

> Formando un trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión dada:

a^2 -2am +m^2

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto encontrado:

a^2 -2am +m^2 = (a-m)^2

> Restándole al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión dada:

(a-m)^2 – 4b^2

> Esta nueva expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a factorizarla:

(a-m)^2 – 4b^2

= [(a-m)+2b)][(a-m)-2b]

= (a-m+2b)(a-m-2b)   Solución.

Ejemplo 2) Descomponer o factorar  4x^2 -a^2 +y^2 -4xy +2ab -b^2

> Formando trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos), buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.

-4xy es el resultado de -2(√4x^2)(√y^2) = -2(2x)(y) =  -4xy

2ab  es el resultado de  2(√-a^2)(√-b^2) = 2(-a)(-b) = 2ab

> Los trinomios quedarían así:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

> Convirtiendo los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

= (2x-y)^2 – (a-b)^2

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:

(2x-y)^2 – (a-b)^2

= [(2x-y) + (a-b)][(2x-y) – (a-b)]

= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)   Solución.

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Ejercicio 95.

Factorar o descomponer en dos factores:

1) a^2 +2ab +b^2 –x^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:

(a^2+2ab+b^2)

= (a+b)^2

> Formando una diferencia de cuadrados pefectos:

(a+b)2 – x^2

> Factorizando la la diferencia de cuadrados perfectos:

(a+b)2 – x^2

= [(a+b) +x][(a+b) -x]

= (a+b+x)(a+b-x) Solución.

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2) x^2 -2xy +y^2 –m^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

(x^2 -2xy +y^2)

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

x^2 -2xy +y^2 = (x-y)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

= [(x-y)+m][(x-y) +m]

= (x-y+m)(x-y-m) Solución.

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3) m^2 +2mn +n^2 -1

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n+1)(m+n-1)   Solución.

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4) a^2 -2a +1 –b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1 = (a-1)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

>Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

= [(a-1) +b][(a-1) -b]

= (a-1+b)(a-1-b)    ordenado sería:

= (a+b-1)(a-b-1   Solución.

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7) a^2 +4 -4a -9b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4

> Factorando  el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4 = (a-2)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

= [(a-2) +3b][(a-2) -3b]

= (a-2+3b)(a-2-3b)     ordenado sería:

= (a+3b-2)(a-3b-2)    Solución.

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28) x^2 +4a^2 -4ax –y^2 -9b^2 +6by

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (–y^2+6by-9b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (y^2-6by+9b^2)

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

= [(x-2a) +(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]

= (x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b)    Solución.

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30)  9x^2 +4y^2 -a^2 -12xy -25b^2 -10ab

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

= (3x-2y)^2 – (a+5b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

(3x-2y)^2 – (a+5b)^2

= [(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]

= (3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b)   Solución.

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Descomposición de una expresión algebraica en cinco o seis factores.

Procedimiento:

1) Se descompone la expresión algebraica en los factores que se necesiten, utilizando cualquiera de los 10 casos de Factorización, según el o los que sean necesarios.

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Ejercicio 109.

 1) Descomponer en cinco factores  x⁹-xy⁸

> Descomponiendo la expresión su factor común Caso I:

x⁹-xy⁸ = x(x⁸-y⁸)

> Descomponiendo  x⁸-y⁸  por el Caso IV

x(x⁸-y⁸) = x(x⁴+y⁴)( x⁴-y⁴)

> Descomponiendo x⁴-y⁴  por el Caso IV

x(x⁴+y⁴)( x⁴-y⁴) = x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x²-y²)

> Descomponiendo x²-y²  por el Caso IV:

x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x+y)(x-y)

–> x⁹-xy⁸ = x(x⁴+y⁴)(x²+y² )(x+y)(x-y)  Solución.

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2) Descomponer en cinco factores  x⁵-40x³+144x

> Descomponer la expresión por su factor común Caso I:

x⁵-40x³+144x =  x(x⁴-40x²+144)

> Descomponiendo x⁴-40x²+144 por el Caso VI

= x(x²-36)(x²-4)

> Descomponiendo  x²-36  y  x²-4  por el Caso IV

x²-36 = (x+6)(x-6)

x² – 4 = (x+2)(x-2)

Entonces la descomposición quedaría así:

x⁵-40x³+144x  = x(x+6)(x-6)(x+2)(x-2)  Solución.

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14) Descomponer en seis factores  (a²-ax)(x⁴-82x²+81)

> Descomponiendo  a²-ax  por su factor común Caso I:

a²-ax = a(a-x)

> Descomponiendo  x⁴-82x²+81 por el Caso VI:

x⁴-82x²+81 = (x²-81)(x²-1)

–> La descomposición, hasta aquí, quedaría así:

(a²-ax)(x⁴-82x²+81) = a(a-x)(x²-81)(x²-1)

> Descomponiendo  x²-81  y  x²-1 por el Caso IV:

x²-81 = (x+9)(x-9)

x²-1 = (x+1)(x-1)

–> La descomposición quedaría así:

(a²-ax)(x⁴-82x²+81) = a(a-x)(x+9)(x-9)(x+1)(x-1)  Solución.

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Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores.

Procedimiento:

1) Se descompone la expresión algebraica en los factores que se necesiten, utilizando cualquiera de los 10 casos de Factorización, según el o los que sean necesarios.

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Ejemplos:

a) Descomponer en cuatro factores   2x⁴-32

> Buscando el factor común de 2x⁴   y   32, que es 2

> Se descompone la expresión en 2 factores:

2x⁴-32 = 2(x⁴-16)

> Se descompone x⁴-16 en dos factores:

x⁴-16 = (x²+4)(x²-4)

> Se descompone x²-4 en dos factores:

x²-4 = (x+2)(x-2)

–> 2x⁴-32 =  2(x²+4)(x+2)(x-2)   Solución

 

b) Descomponer en cuatro factores  a⁶-b⁶

> Descomponer la expresión como diferencia de cuadrados:

a⁶-b⁶ = (a³+b³)(a³-b³)

> Descomponiendo cada uno de los factores anteriores

como suma y como diferencia de cubos perfectos:

(a³+b³)(a³-b³) =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)

–> a⁶-b⁶ =  (a+b)(a²-ab+b²)(a-b)(a²+ab+b²)  Solución.

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Ejercicio 108.

3) Descomponer en cuatro factores  x⁴-41x²+400

> Descomponiendo la expresión como Caso VI

x⁴-41x²+400 = (x²-25)(x²-16)

> Descomponiendo  x²-25  y  x²-16  como caso IV

x²-25 = (x+5)(x-5)

x²-16 = (x+4)(x-4)

–> la descomposición quedaría así:

x⁴-41x²+400 = (x+5)(x-5)(x+4)(x-4)  Solución.

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10) Descomponer en cuatro factores  12ax⁴+33ax²-9a

> Descomponiendo la expresión en su factor común:

El factor común de 12ax⁴+33ax²-9a  es  3a

–> = 3a(4x⁴+11x²-3)

> Descomponiendo 4x⁴+11x²-3 como Caso  VII

3a(4x⁴+11x²-3) = 3a(x²+3)(4x²-1)

Descomponiendo 4x²-1  como Caso IV:

3a(x²+3)(4x²-1) = 3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)

–>  12ax⁴+33ax²-9ª =  3a(x²+3)(2x+1)(2x-1)  Solución.

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12) Descomponer en cuatro factores  x⁶-7x³-8

> Descomponiendo la expresión como Caso VI:

x⁶-7x³-8 =  (x³-8)(x³+1)

> Descomponiendo  x³-8   y   x³+1 como Caso IX:

x³-8 = (x-2)(x²-2x+4)

x³+1 = (x+1)(x²-2x+1)

–> La descomposición quedaría así:

x⁶-7x³-8 =  (x-2)(x²-2x+4)(x+1)(x²-2x+1)  Solución.

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Descomposición de una expresión algebraica en tres factores.

Procedimiento:

1) Buscar si hay un factor común en los términos de la expresión.

2) Si hay factor común en la primera expresión descomponerlo en dos factores.

3) Descomponer en dos factores, el factor que no es común en los dos encontrados.

4) La solución será la expresión con los tres factores encontrados.

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Ejemplos:

a) Descomponer en tres factores 5a²-5

> Buscando el factor común de 5a²  y  -5, que es 5

> Descomponiendo 5a²-5 en dos factores

5a²-5 = 5(a²-1)

> Descomponiendo en dos factores a²-1:

a²-1 = (a+1)(a-1)

–>  5a²-5 =  5(a+1)(a-1)  Solución.

 

b) Descomponer en tres factores 3x³-18x²y+27xy²

> Buscando el factor común 3x³  ;  -18x²y  ;  +27xy², que es 3x

> Descomponiendo 3x³-18x²y+27xy² en dos factores:

3x³-18x²y+27xy² = 3x(x²-6xy+9y²)

> Descomponiendo x²-6xy+9y²  en dos factores:

x²-6xy+9y² = (x-3y)² = (x-3y)(x+3y)

–> 3x³-18x²y+27xy² = 3x(x-3y)(x+3y)  Solución.

 

c) Descomponer en tres factores 6ax²+12ax-90a

> Buscando el factor común de  6ax²  ;  +12ax  ;  -90a, que es 6a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

6ax²+12ax-90a = 6a(x²+2x-15)

> Descomponiendo  x²+2x-15 en dos factores:

x²+2x-15 = (x+5)(x-3)

–> 6ax²+12ax-90ª =  6a(x+5)(x-3)  Solución.

 

d) Descomponer en tres factores  8x³+8

> Buscando el factor común de 8x³  y  8, que es 8

>Descomponiendo en dos factores la expresión:

8x³+8 =  8(x³+1)

> Descomponiendo x³+1 en dos factores:

x³+1 = (x+1)(x²+x+1)

–> 8x³+8 =  8(x+1)(x²+x+1)  Solución.

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Ejercicio 107.

1) Descomponer en tres factores 3ax²-3a

> Buscando el factor común de 3ax²  y  -3a, que es 3a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3ax²-3a = 3a(x²-1)

> Descomponiendo x²-1 en dos factores:

x²-1 = (x+1)(x-1)

–> 3ax²-3a = 3a(x+1)(x-1)  Solución.

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2) Descomponer en tres factores  3x²-3x-6

> Buscando el factor común de 3x² , 3x  , 6, que es 3

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3x²-3x-6 =  3(x²-x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en dos factores:

x²-x-2 = (x-2)(x+1)

–> 3x²-3x-6 =  3(x-2)(x+1)  Solución.

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3) Descomponer en tres factores  2a²x-4abx+2b²x

> Buscando el factor común de 2a²x  ;  4abx  ;  2b²x, que es 2x

> Descomponiendo la expresión en dos factores

2a²x-4abx+2b²x = 2x(a²-2ab+b²)

> Descomponiendo a²-2ab+b² en dos factores:

a²-2ab+b² = (a-b)² = (a+b)(a-b)

–> 2a²x-4abx+2b²x = 2x(a+b)(a-b)

ó = 2x(a-b)²  Solución.

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Caso X. Suma o Diferencia de Potencias Impares Iguales

Regla para  La suma  de dos potencias impares iguales (m^5+n^5) es  igual a dos factores:

el primero es la suma de las raíces de los términos (m+n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m^4 – m^3n + m^2n^2 – mn^3 + n^4)

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Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m^5 – n^5) es  igual a dos factores:

el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)

el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.

(m^4 + m^3n + m^2n^2 + mn^3 + n^4)

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Ejemplo:

Factorar    x^5 +32

1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:

raíz quinta de x^5 = x          ; raíz quinta de 32 = 2  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)

3º  Formamos el segundo factor:

(x^4 – x^3(2) +x^2(2)^2 – x(2)^3 + (2)^4) = (x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)

–> x^5 +32  =  (x +2)(x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)  Solución

Factorar    x^7 – 1

1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:

raíz séptima de x^7 = x          ; raíz séptima de 1 = 1  

2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x – 1)

3º  Formamos el segundo factor:

(x^6 + x^5(1) + x^4(1)^2 + x^3(1)^3 + x^2(1)^4 +x(1)^5 + (1)^6) =

 = (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1) –>

–> x^7 -1  =  (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1)  Solución

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NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1),  los signos del segundo factor son alternativamente ” + ” y  ” – ”

Cuando el primer factor es diferencia (x-1),  los signos del segundo factor son todos positivos ” + ”

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Ejercicio 105.

3) Factorar    1 – x^5

Raíz quinta de 1 = 1     ;    raíz quinta de x^5 = x

–> 1er.  factor:   (1 -x)

.     2º.  factor: (1^4 + 1^3(x) + 1^2(x^2) + 1(x^3) + x^4) =

=  (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) 

–> 1 – x^5   =   (1 -x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)   Solución

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4)  Factorar    a^7  + b^7

Raíz séptima de a^7 = a         ;    raíz séptima de b^7 = b

–> 1er.  Factor:  (a +b)

.    2º.  Factor:  (a^6  -a^5(b) +a^4(b^2) -a^3(b^3)  +a^2(b^4) -a(b^5) +b^6=

(a^6 – a^5b + a^4b^2 – a^3b^3 + a^2b^4 – ab^5 + b^6)

Solución:

a^7 + b^7  =  (a+b)(a^6 -a^5b +a^4b^2 -a^3b^3 +a^2b^4 -ab^5 +b^6)

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6)  Factorar  a^5+243

Raíz quinta de  a^5 = a   ;    raíz quinta de 243 = 3

–> 1er.  Factor:  (a+3)   

.     2º. Factor:  (a^4 – a^3(3) + a^2(3)^2 – a(3)^3 + (3)^4) =

= (a^4 -3a^3 +9a^2 – 27a +81)

–> a^5 +243 = (a+3)(a^4 -3a^3 +9a^2 – 27a +81)   Solución.

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7)    Factorar   32 -m^5

Raíz quinta de 32 = 2       ;      Raíz quinta de m^5 = m

–> 1er. Factor:   (2 -m)

.     2º. Factor: [(2)^4 + (2)^3(m) + (2)^2(m)^2 + (2)(m)^3 + m^4] =

=   (16 + 8m + 4m^2 + 2m^3 +m^4)

> 32 -m^5  =  (2 -m)(16 + 8m + 4m^2 + 2m^3 +m^4)  Solución.

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8)   Factorar   1 + 243x^5

Raíz quinta de 1 = 1      ;     Raíz quinta de 243x^5 = 3x

–> 1er. factor:  (1 + 3x)

.   2º. Factor:  [(1)4 – (1)^3(3x) + (1)^2(3x)^2 – (1)(3x)^3 + (3x)^4] =

=   (1 – 3x + 9x^2 – 27x^3 + 81x^4)

–>  1+243x^5 = (1 +3x) (1 – 3x + 9x^2 – 27x^3 + 81x^4)  Solución.

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10)  Factorar   243 -32b^5

Raíz quinta de  243 =  3     ;      Raíz quinta de 32b^5 = 2b

–>  1er. Factor:   (3 -2b)

.   2º. Factor:   [(3)^4 + (3)^3(2b) + (3)^2(2b)^2 + (3)(2b)^3  + (2b)^4] =

=    (81 + 54b + 36b^2 + 24b^3 +16b^4)

–>  la Solución es = 

 .    243 -32b^5  =  (3 -2b)(81 + 54b + 36b^2 + 24b^3 +16b^4)

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11)   Factorar   a^5 +b^5c^5

Raíz quinta de a^5 = a     ;      Raíz quinta de b^5c^5 = bc

–>  1er. Factor:   (a + bc)

.   2º. Factor:  [(a)^4 – (a)^3(bc) + (a)^2(bc)^2 – (a)(bc)^3 + (bc)^4]  =

= (a^4 – a^3bc + a^2b^2c^2 – ab^3c^3 + b^4c^4)

–>   la Solución es =

=  a^5 +b^5c^5  =  (a^4 – a^3bc + a^2b^2c^2 – ab^3c^3 + b^4c^4)

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Prof. Jorge A. Carrillo M.

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Caso IX. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

1.  Regla  para la suma de cubos perfectos.

a^3 +b^3   =   (a+b)(a^2-ab+b^2)

La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces cúbicas, (a+b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a^2, menos el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b^2.

Ejemplo: Factorar o descomponer en 2 factores 27m^6 +64n^9

1°  Se encuentra las raíces cúbicas de

.      27m^6 = 3m^2      y     64n^9 = 4n^3

–> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:   (3m^2+4n^3)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (3m^2)^2 = 9m^4

Productos de las 2 raíces cúbicas:  (3m^2)(4n^3) = 12m^2n^3

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (4n^3)^2 = 16n^6

–>  27m^6+64n^9  =  (3m^2+4n^3)(9m^4 -12m^2n^3 +16n^6)   Solución.

2.  Regla para la diferencia de cubos perfectos.  

a^3 -b^3 = (a -b)(a^2+ab+b^2)

La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas, (a-b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a^2, más el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíuz cúbica, b^2.

Ejemplo: Descomponer en 2 factores  8x^3 -125

1°  Se encuentra las raíces cúbicas de:

.     8x^3  =  2x          y      125  =  5

–> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:  (2x -5)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2x)^2  =  4x^2

Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5)^2 = 25

–> 8x^3 -125  =  (2x -5)(4x^2 +10x +25)  Solución.

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Ejercicio 103.

Descomponer en 2 factores :

1)  1 +a^3

Raíz cúbica de 1  =  1          Raíz cúbica de a^3 =  a

Suma de las raíces cúbicas:  (1 +a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)^2  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a)  =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)^2  =  a^2

–> 1 +a^3  =  (1 +a)(1 -a +a^2)  Solución.

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2)  1 -a^3

Raíz cúbica de 1  =  1       y       Raíz cúbica de a^3  =  a

Diferencia de las raíces cúbicas:  (1 -a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)^2  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a) =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)^2  =  a^2

–>  1 -a^3  =  (1 -a)(1 +a +a^2)     Solución.

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3)  x^3 +y^3

Raíz cúbica de x^3  =  x                      Raíz cúbica de y^3 =  y

Suma de las raíces cúbicas:  (x +y)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (x)^2  = x^2

Producto de las raíces cúbicas:  (x)(y)  =  xy

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (y)^2 =  y^2

–>  x^3 +y^3  =  (x +y)(x^2 -xy +y^2)    Solución.

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14)  64 +a^6

Raíz cúbica de 64  =  4               Raíz cúbica de a^6  =  a^2

Suma de las raíces cúbicas:  (4 +a^2)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (4)^2  = 16

Producto de las raíces cúbicas:  (4)(a^2) =  4a^2

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a^2)^2 = a^4

–>  64 +a^6  =  (4 +a^2)(16 -4a^2 +a^4)     Solución.

Recordatorio:

Para elevar una potencia a otra potencia;  Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se copia la literal y se multiplican los exponentes:  (a^2)^2 = a^2*2 = a^4

Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se extrae la raíz cúbica del coeficiente, se copia la literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz cúbica (3) :  a^6 = a^6/3 = a^2.

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17)   8a^3 +27b^6

Raíz cúbica de 8a^3  =  2a              Raíz cúbica de 27b^6  =  3b^2

Suma de las raíces cúbicas:  (2a +3b^2)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2a)^2  =  4a^2

Producto de las raíces cúbicas:  (2a)(3b^2) = 6ab^2

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (3b^2)^2  =  9b^4

–>   8a^3 +27b^6  =  (2a +3b^2)(4a^2 -6ab^2 +9b^4)    Solución.

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Agregaré más problemas de este ejercicio 103, estén pendientes.

Prof. Jorge A. Carrillo M.

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