Potencias de Polinomios con exponentes negativos y fraccionarios.

Para este tipo de potencias se aplica las reglas relativas para elevar un binomio a una potencia cualquiera y  en polinomio al cuadrado o al cubo, dependiendo del caso. Estas reglas también son aplicables a casos en que  haya exponentes negativos y fraccionarios.

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Ejemplos:

1) Desarrollar (3a⁻³+b⁻¹⁄²)²

Este es un Binomio al cuadrado, entonces:

=(3a⁻³+b⁻¹⁄²)² = (3a⁻³)² + 2(3a⁻³)(b⁻¹⁄²) + (b⁻¹⁄²)²

= 3²a⁻³ˣ²+2(3)(a⁻³)(b⁻¹⁄²)+b⁻¹⁄² ˣ²

= 9a⁻⁶ +6a⁻³b⁻¹⁄² +b⁻¹  Solución

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2) Desarrollar (x²⁄³-4y⁻²)³

Este un Binomio al cubo, entonces:

= (x³⁄⁴-4y⁻²)³ = (x³⁄⁴)³ -3(x²⁄³)²(4y⁻²)+3(x²⁄³)(4y⁻²)²-(4y⁻²)³

= x²⁄³ ˣ³-3(4)( x²⁄³ ˣ²)(y⁻²)+3(4²)( x²⁄³)(y⁻²ˣ²)-4³y⁻²ˣ³

=x² -12x⁴⁄³y⁻² +48x²⁄³y⁻⁴ -64y⁻⁶  Solución

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3) Desarrollar (a⁻²⁄³-√b)⁵

Este Binomio se aplica la fórmula del Binomio de Newton, pero antes debe convertirse la raíz en exponente fraccionario.

Convirtiendo el segundo término en exponente fraccionario:

(a⁻²⁄³-√b)⁵ = (a⁻²⁄³-b¹⁄²)⁵

Aplicando la fórmula del Binomio de Newton:

(a⁻²⁄³-b¹⁄²)⁵ =

= (a⁻²⁄³)⁵ -5(a⁻²⁄³)⁴( b¹⁄²)+10(a⁻²⁄³)³( b¹⁄²)²-10(a⁻²⁄³)²( b¹⁄²)³+5(a⁻²⁄³)( b¹⁄²)⁴-( b¹⁄²)⁵

=a⁻¹⁰⁄³ -5a⁻⁸⁄³b¹⁄² +10a⁻²b -10a⁻⁴⁄³b³⁄² +5a⁻²⁄³b² -b⁵⁄²  Solución

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4) Elevar al cuadrado (x³⁄⁴-x¹⁄⁴+x⁻¹⁄⁴)

Este es un Cuadrado de un Trinomio.

Aplicando la regla para el cuadrado de un polinomio:

(x³⁄⁴-x¹⁄⁴+x⁻¹⁄⁴)² = (x³⁄⁴)²+(-x¹⁄⁴)²+( x⁻¹⁄⁴)² +2(x³⁄⁴)(-x¹⁄⁴)+2(x³⁄⁴)(x⁻¹⁄⁴)+2(-x¹⁄⁴)(x⁻¹⁄⁴)

= x³⁄² +x¹⁄² +x⁻¹⁄² -2x +2x¹⁄²-2

Ordenando:

= x³⁄² -2x +x¹⁄² +2x¹⁄² -2 +x⁻¹⁄²

Simplificando:

= x³⁄² -2x +3x¹⁄² -2 +x⁻¹⁄²  Solución.

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5) Elevar al cubo   a¹⁄³-2+a⁻¹⁄³

Aplicando la regla de Polinomio al cubo:

(a¹⁄³-2+a⁻¹⁄³)³ = (a¹⁄³)³+(-2)³+(a⁻¹⁄³)³+3(a¹⁄³)²(-2)+3(a¹⁄³)²(a⁻¹⁄³)3(-2)²(a¹⁄³)+3(-2)²(a⁻¹⁄³)+3(a⁻¹⁄³)²(a¹⁄³)+3(a⁻¹⁄³)²(-2) +6(a¹⁄³)(-2)(a⁻¹⁄³)

= a-8+a⁻¹-6a²⁄³+3a¹⁄³+12a¹⁄³+12a⁻¹⁄³+3a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³-12

Ordenando:

= a-6a²⁄³+3a¹⁄³+12a¹⁄³-8-12+12a⁻¹⁄³+3a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³+a⁻¹

Reduciendo:

= a-6a²⁄³+15a¹⁄³-20+15a⁻¹⁄³-6a⁻²⁄³+a⁻¹  Solución

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Ejercicio 228.

Desarrollar:

1) (a¹⁄²+b¹⁄²)²

= (a¹⁄²)²+2(a¹⁄²)( b¹⁄²)+( b¹⁄²)²

= a+2a¹⁄²b¹⁄²+b   Solución.

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9) (a¹⁄³+b¹⁄³)³

= (a¹⁄³)³+3(a¹⁄³)²(b¹⁄³)+3(a¹⁄³)(b¹⁄³)²+(b¹⁄³)³

= a+3a²⁄³b¹⁄³+3a¹⁄³b²⁄³+b   Solución.

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15) (x⁻²-y⁻¹⁄³)⁴

= (x⁻²)⁴-4(x⁻²)³(y⁻¹⁄³)+6(x⁻²)²(y⁻¹⁄³)²-4(x⁻²)(y⁻¹⁄³)³+(y⁻¹⁄³)⁴

= x⁻⁸-4x⁻⁶y⁻¹⁄³+6x⁻⁴y⁻²⁄³-4x⁻²y⁻¹+y⁻⁴⁄³   Solución.

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16) (x¹⁄³+y⁻³⁄⁴)⁵

= (x¹⁄³)⁵+5(x¹⁄³)⁴(y⁻³⁄⁴)+10(x¹⁄³)³(y⁻³⁄⁴)²+10(x¹⁄³)²(y⁻³⁄⁴)³+5(x¹⁄³)(y⁻³⁄⁴)⁴+(y⁻³⁄⁴)⁵

= x⁵⁄³+5x⁴⁄³y⁻³⁄⁴+10xy⁻³⁄²+10²⁄³y⁻⁹⁄⁴+5x¹⁄³y⁻³+y⁻¹⁵⁄⁴   Solución.

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18) (a²-2√m)⁶

= (a²-2m¹⁄²)    <– Se convirtió la raíz de “√m” en potencia de “m¹⁄²”.

= (a²)⁶-6(a²)⁵(2m¹⁄²)+15(a²)⁴(2m¹⁄²)²-20(a²)³(2m¹⁄²)³+15(a²)²(2m¹⁄²)⁴-6(a²)(2m¹⁄²)⁵+(2m¹⁄²)⁶

= a¹²-12a¹⁰m¹⁄²+60a⁸m-160a⁶m³⁄²+240a⁴m²-192a²m⁵⁄²+64m³   <– Solución.

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20) (a⁻²+3a⁻¹+2)²

= (a⁻²)²+(3a⁻¹)²+(2)²+2(a⁻²)(3a⁻¹)+2(a⁻²)(2)+2(3a⁻¹)(2)

= a⁻⁴+9a⁻²+4+6a⁻³+4a⁻²+12a⁻¹

= a⁻⁴+6a⁻³+9a⁻²+4a⁻²+12a⁻¹+4   <– Ordenado

= a⁻⁴+6a⁻³+13a⁻²+12a⁻¹+4 <–  Reducidos los términos

= a⁻⁴+6a⁻³+13a⁻²+12a⁻¹+4   Solución.

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25) (x¹⁄²+x¹⁄⁴-1)³

= (x¹⁄²+x¹⁄⁴-1)³

= (x¹⁄²)³+(x¹⁄⁴)³+(-1)³+3(x¹⁄²)²(x¹⁄⁴)+3(x¹⁄²)²(-1)+3(x¹⁄⁴)²(x¹⁄²)+3(x¹⁄⁴)²(-1)+3(-1)²(x¹⁄²)+3(-1)²(x¹⁄⁴)+6(x¹⁄²)(x¹⁄⁴)(-1)

= x³⁄²+x³⁄⁴-1+3x⁵⁄⁴-3x+3x-3⁻¹⁄²+3x¹⁄²+3x¹⁄⁴-6x³⁄⁴

= x³⁄²+3x⁵⁄⁴+x³⁄⁴-6x³⁄⁴-3x+3x-3x¹⁄²+3x¹⁄²+3x¹⁄⁴-1   <–  Ordenado

= x³⁄²+3x⁵⁄⁴-5x³⁄⁴+3x¹⁄⁴-1  <– Reducidos los términos

= x³⁄²+3x⁵⁄⁴-5x³⁄⁴+3x¹⁄⁴-1  <–  Solución.

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