Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Propiedades de las raíces de la ecuación de 2° grado.

Cuando  la ecuación general de 2° grado es  ax²+bx+c = 0:
 
1) Suma de las raíces:  es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado partido por el coeficiente del primer término  -b/a.
 
2) El producto de las raíces: es igual al tercer término de la ecuación con su propio signo partido por el coeficiente del primer término  c/a.
 
Cuando la ecuación es de la forma x²+bx+c = 0:
 
Podemos decir que: toda ecuación de 2° grado en que el coeficiente del primer término es 1; 
1) La suma de sus raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado.
2) El producto de las raíces es igual al tercer término con su propio signo.
 
Ahora bien, la ecuación general de 2° grado (ax²+bx+c = 0)  puede cambiarse a la forma x²+bx+c = 0; dividiendo todos sus términos entre el coeficiente del primer término. Y proceder a encontrar la suma y el producto como si fuera de la forma x²+bx+c = 0.
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Ejemplos:
 
a) Hallar si 2 y -5 son raíces de la ecuación x²+3x-10 = 0
> Aplicando las propiedades:
x₁+x₂ = 2+(-5) = 2-5 = -3 –> cambiando signo es = 3
x₁x₂ = (2)(-5) = -10
–>  2 y -5 si son raíces de la ecuación  x²+3x-10 = 0
 
b) Hallar si -3 y –½ son raíces de la ecuación 2x²+7x+3 = 0
> Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0,
Dividiéndola entre el coeficiente de x², que es 2:
x²+7/2x+3/2 = 0
 
> Aplicando las propiedades de la suma y del producto:
x₁+x₂= -3+(-½) =-3 – ½ = -7/2, Cambiando signo es = 7/2
x₁x₂ = (-3)(-½) = 3/2   
–> -3  y  –½  si son raíces de la ecuación convertida.
 
c) Hallar si 1  y  -2/3 son raíces de 3x²+x-2 = 0
> Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0
Dividiéndola entre el coeficiente de x², que es 3:
x²+1/3x – 2/3 = 0
 
> Aplicando las propiedades de la suma y el producto:
x₁+x₂= 1+(-2/3) = 1 – 2/3 = 1/3,  cambiando signo es = -1/3  (Atención)
x₁x₂ = (1)(-2/3) = – 2/3  
Respuesta: 1  y  -2/3 no son raíces de la ecuación dada, porque -1/3
.                    no es igual a (+1/3) de la ecuación convertida)
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Ejercicio 277.
Determinar por las propiedades de las raíces, si
 
1) 2 y -3 son raíces de la ecuación x²+x-6 = 0
> Aplicando las propiedades:
2+(-3) = 2-3 = -1, cambiando signo = 1
(2)(-3) = -6
Solución: sí, son las raíces de la ecuación.
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2) 1 y 5 son raíces de x²-4x-5 = 0
> Aplicando las propiedades:
1+5 = 6, cambiando signo = -6
(1)(5) = 5
Solución:  no son las raíces de la ecuación.
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3) 1 y -1/2 son raíces de 2x²-x-1 = 0
> Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0
2x²-x-1 ÷ 2 =
x²-1/2x-1/2 = 0
x²-1/2x-1/2 = 0
 
> Aplicando las propiedades:
1+(-1/2) = 1 -1/2 = ½ , cambiando signo = – ½
(1)(-1/2) = – ½
Solución: Sí, son las raíces de la ecuación convertida.
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4) -3 y 1/3 son raíces de 3x²+8x-3 = 0
> Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0
3x²+8x-3 = 0 ÷ 3 =
x²+8/3x-3/3 = 0
x²+8/3x-1 = 0
 
> Aplicando las propiedades:
-3+1/3 = -8/3 , cambiando signo = 8/3
(-3)(1/3) = – 1
Solución: sí, son las raíces de la ecuación convertida.
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