Determinar la ecuación de 2° grado, dadas las raíces.

1) Si las raíces son enteras, la ecuación será x²+bx+c = 0 .

Donde el primer término será igual a x²; el segundo será la suma de las raíces dadas, con el signo cambiado; y  el tercer término será igual al producto de las raíces con su  mismo signo.

 

2) Si al menos una de las raíces es fraccionaria, la ecuación será ax²+bx+c = 0.   

La ecuación resultante nos dará x² como primer término; y el 2° y 3° términos después de aplicar las propiedades de las raíces, puede darnos coeficientes fraccionarios; por lo que se procede a convertir la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0, dividiendo está ecuación entre el m.c.m. de los denominadores de los coeficientes del  2° y 3° términos.

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Ejemplos:

 

a)  Determinar la ecuación de 2° grado, dadas sus raíces 3 y -5

> Aplicando las propiedades:

3+(-5) = 3-5 = -2 , cambiando signo = 2

(3)(-5) = -15

Entonces la ecuación será: x²+2x-15 = 0

 

b) Determinar la ecuación de 2° grado, dadas sus raíces 2 y -3/4

> Aplicando las propiedades:

2+(-3/4) =2 -3/4 = 5/4 , cambiando el signo = – 5/4

(2)(-3/4) = – 3/2

Entonces la ecuación será: x²-5/4x-3/2 = 0

 

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0

x²-5/4x-3/2 = 0  ÷ 4    ( 4 es el m.c.m. de 2 y 4)

4×2-5x-6 = 0  Ecuación final.

 

c) Hallar la ecuación cuyas raíces son -4 y -3/5

> Aplicando las propiedades:

-4+(-3/5) = -4 -3/5 = -23/5 , cambiando signo = 23/5

(-4)(-3/5) = 12/5

Entonces la ecuación será x²+23/5x+12/5 = 0

 

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx-c = 0

x²+23/5x+12/5 = 0  ÷ 5

5x²+23x+12 = 0 , que es la ecuación final.

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Ejercicio 278.

Determinar las ecuaciones cuyas raíces son:

 

1) 3 y 4

> Aplicando las propiedades:

3+4 = 7 , cambiando signo = -7

(3)(4) = 12

Entonces la ecuación es:  x²-7x+12 = 0

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2)  -1 y 3

> Aplicando las propiedades:

-1+3 = 2 , cambiando el signo = -2

(-1)(3) = -3

Entonces la ecuación es:  x²-2x-3 = 0

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5) 1 y ½

> Aplicando las propiedades:

1+1/2 = 3/2 ,  cambiando signo = -3/2

(1)(1/2) = 1/2

Entonces la ecuación es:  x²-3/2x+1/2 = 0

 

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+x = 0

x²-3/2x+1/2 = 0  ÷ 2

2x²-3x+1 = 0 , que es la ecuación final.

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9) -1/2  y  3/4

> Aplicando las propiedades:

-1/2+3/4 = ¼  , cambiando signo = -1/4

(-1/2)(3/4) = -3/8

Entonces la ecuación es:  x²-1/4x-3/8 = 0

 

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0

x²-1/4x-3/8 = 0  ÷  8

8x²-2x-3 = 0, que es la ecuación final.

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