Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Simplificación de Fracciones cuyos Términos sean Polinomios.

Regla:

Se descomponen en factores todos los polinomios, utilizando  el Caso correspondiente de factorización o de Productos Notables.   Luego se suprimen los factores comunes del numerador y del denominador, dividiendo tanto el numerador como el denominador por un mismo factor común; de manera de dejarlos en su mínima expresión.

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Ejemplo A)  simplificar   2a^2 /4a^2 -4ab

–> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de Factorización en el denominador)

2a^2 / 4a^2 -4ab  = 2a^2 / 4a(a -b)  = 1 . a /2(a -b)  =  a / 2(a -b)   <–  Solución.

Se dividió   2/4  entre 2/2  =  1/2

Se dividió   a^2 /a  entre  a /a  =  a/1

El factor (a-b), que no tiene común, solo se copia.

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Ejemplo B)  Simplificar   4x^2y^3 / 24x^3y^3 -36x^3y^4

–> Factorizando el denominador del Polinomio:

(Se utiliza el Caso I de factorización)

4x^2y^3 / 24x^3y^3 -36x^3y^4  =  4x^2y^3 / 12x^3y^3(2 -3y)   =  1 . 1. 1 / 3 . x (2 -3y)  =  1 /3x(2 -3y)  <– Solución.

Se dividió   4/12  entre 4/4  =  1/3

Se dividió   x^2/x^3   entre   x^2/x^2  =  1 /x

Se dividió   y^3/y^3   entre  y^3/y^3  =  1/1  = 1

El factor (2 -3y), que no tiene común solo se copia.

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Ejemplo C)  Simplificar   x^2 -5x +6 / 2ax -6a

–>  Factorizando el Polinomio

(El numerador (Caso VI) y el denominador (Caso I)  De Factorización.

x^2-5x+6 / 2ax -6a  =  (x -3)(x -2) / 2a(x -3)  =  x-2 / 2a  <– Solución.

Se dividió  x -3 /x -3  entre   x -3 /x-3  =  1/1  = 1

Los factores no comunes  ( x -2)  y  “2a” , solo se copian.

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Ejemplo D)  Simplificar    8a^3+27 / 4a^2+12a+9

–>  Factorizando el Polinomio.

El numerador (Producto Notable: Cubo de un Binomio)

y el denominador (Producto Notable: Cuadrado de la Suma de dos Cantidades)

8a^3+27 / 4a^2+12a+9  =  (2a +3)(4a^2 -6a +9) / (2a +3)2  =  (2a +3)(4a^2-6a+9) / (2a +3)(2a +3) =  4a^2-6a+9 / 2a +3  <–  Solución.

Se dividió  2a +3 / 2a +3  entre  2a+3 / 2a+3  =  1/1  =  1

Los factores no comunes (4a^2-6a+9)  y  (2a+3), solo se copian.

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EJERCICIO 119.

1) Simplificar  3ab / 2a^2x +2a^3

–> Factorizando el polinomio: (en el denominador Caso I de Factorización)

3ab / 2a^2x+2a^3  =  3ab / 2a^2(x+a) = 3(a)(b) / 2(a^2)(x+a) = 3b / 2a(x+a) <–  Solución.

Se dividió   a/a^2 entre a/a  =  1/a

Los factores no comunes [ 3 , b ,  2 , (x+a) ], solo se copian.

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2) Simplificar   xy / 3x^2y -3x^y2

–> Factorizando el polinomio:  (en el denominador  Caso I de Factorización)

xy / 3x^2y -3x^y2 =  xy / 3xy(x -y)  =  (x)(y) / 3(x)(y)(x -y)  =  1 . 1 / 3(x -y)  =  1 / 3(x -y) <–  Solución.
Se dividió   x/x  entre  x/x  =  1/1
Se dividió   y/y  entre  y/y  =  1/1
Los factores no comunes [ 3 , (x -y) ], solo se copian.
(En este ejercicio como en el numerador el único factor es el “1”  entonces si escribe; en cambio en el denominador como existen otros factores diferentes de “1”, no es necesario escribir dicho factor,  porque este no altera el producto)
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3) Simplificar   2ax +4bx /3ay +6by
–> Factorizado el polinomio  (Caso I de Factorización )
2ax +4bx / 3ay +6by  = 2x(a +2b) / 3y(a +2b)  =  2 . x .1 / 3 . y . 1  =  2x / 3y  <–  Solución.
Se dividió a +2b / a +2b   entre  a +2b /a +2b  =  1 /1
Los factores no comunes ( 2,  x,  3,  y), solo se copian.
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4)  Simplificar   x^2 -2x -3 / x-3
–> Factorizando el numerador  (Caso VI de Factorización)
x^2 -2x -3 / x -3  =  (x-3)(x +1) / x -3  = 1 . (x +1) / 1 = x +1  <–  Solución.
Se dividió  x -3 /x -3  entre  x -3/x -3  =  1/1
Los factores no comunes “(x +1)“,  solo se copian.
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5)  Simplificar   10a^2b^3c /80(a^3 -a^2b)
Factorizando  el denominador  (Caso I de Factorización)
10a^2b^3c / 80(a^3 -a^2b)  =  10a^2b^3c / 80a^2(a -b)  = 1. 1 . b^3 . c / 8 . 1 . (a -b) = b^3c / 8(a -b)  <–  Solución.
Se dividió  10/80  entre  10/10  =   1/8
Se dividió  a^2 /a^2  entre  a^2/a^2  =  1/1
Los factores comunes [ b^3,  c,  (a -b)], solo se copian.
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6) Simplificar   x^2 -4 / 5ax +10a
Factorizando el numerador (Caso IV) y el denominador (Caso I), ambos de Factorización.
x^2 -4 / 5ax +10a  =  (x -2)(x +2) / 5a(x +2) = 1 . (x -2) / 1 . 5 . a  =  x -2 / 5a  <–  Solución.
Se dividió  x +2/x +2  entre  x +2 / x +2  =  1/1
Los factores no comunes [ (x -2),  5,  a ]
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10) Simplificar 3x^2y+15xy/x^2-25
= 3xy(x+5)/(x-5)(x+5)
=3xy/x-5   Solución.
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11) Simplificar a^2-4ab+4b^2/a^3-8b^3

Factorizando el numerador (Caso VI) y el denominador (Caso IX)

a^2-4ab+4b^2/a^3-8b^3 = (a-2b)(a-2b)/(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)
es = a-2b/a^2+2ab+b^2 <– Solución.
Nota: Al simplificar la fracción se eliminó (a-2b) del numerador y (a-2b) del denominador.
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12)  Simplificar  x^3+4x^2-21x/x^3-9x
= x(x^2+4x-21)/x(x^2 – 9)
= x(x+7)(x-3)/x(x+3)(x-3)
= x+7/x+3   Solución.
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13) Simplificar  6x^2+5x-6/15x^2-7x-2
= [6(6x^2+5x-6)] ÷  6  = [(6x)^2+5x(6x)-36]÷  6
    [15(15x^2-7x-2)]÷15     [(15x)^2-7(15x)-30]÷15
= [(6x+9) / 3][(6x-4)  / 2]     = (2x+3)(3x-2)   =  2x+3     Solución.
    [(15x-10)/5][(15x+3)/3]         (3x-2)(5x+1)        5x+1
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14) Simplificar   a^3+1 /a^4-a^3+a-1
= a^3+1/(a^4)+(a-1)
= a^3+1/a^3(a-1)+1(a-1)
= a^3+1/(a-1)(a^3+1)
= 1/a-1     Solución.
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Prof. Jorge A. Carrillo M.
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