Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Productos Notables.

Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, o también escribiendo todos sus pasos hasta llegar al resultado.

Reglas.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades.

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado más el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a+b)² = a² + 2ab + b²

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2) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cuadrado menos el duplo del producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a-b)² = a²  – 2ab + b²
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3) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

(a+b)(a-b) = a² – b²

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4) El cubo de la suma de dos cantidades.

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al primer término al cubo más el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

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5) El cubo de la diferencia de dos cantidades.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al primer término al cubo menos el triplo del producto del primer término al cuadrado por el segundo término más el triplo del producto del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

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Ejemplos y ejercicios de estos productos notables los encontrarás en esta misma página.  Puedes buscarlos por categoría, por tema o por número de ejercicio.

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ÁLGEBRA

Definiciónfondo algebra

Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín álgebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o“cotejo”.

Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.Este origen etimológico permitió que, en tiempos pasados, se conociera como álgebra al arte focalizado en la reducción de huesos que estaban dislocados o quebrados. Este significado, de todas maneras, ha caído en desuso.
El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.

Se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, por otra parte, a un postulado según el cual, en una variable no constante donde hay coeficientes complejos, un polinomio posee tantas raíces como marca su grado, debido a que las raíces se tienen en cuenta con sus multiplicidades. Esto supone que el cuerpo de los números complejos es cerrado para las operaciones del álgebra.

Lee todo en: Definición de álgebra – Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/algebra/#ixzz3NyJkWbwK

Procedimiento General.

1) Agrupar los términos de la expresión algebraica dada en dos grupos; formando uno o más Trinomios Cuadrados  Perfectos (a^2+2ab+b^2). Los términos que no sean T.C.P.  se restan del trinomio.  Cuando se forman dos trinomios se escriben uno menos el otro (a^2+2ab+b^2) – (x^2+2xy+y^2).

2) Se factoriza el trinomio o trinomios para convertirlos en un binomio al cuadrado (a+b)^2

3) Si son dos binomios al cuadrado los encontrados se escriben como Diferencia de Cuadrados Perfectos (a+b)^2 – (x+y)^2.  Si solo es un binomio al cuadrado el encontrado, este se escribe restándole el otro término que no formó parte del trinomio (a+b)^2 – c^2.

Veamos unos ejemplos para su mejor comprensión:

Ejemplo 1)  Descomponer o factorar  a^2 +m^2 -4b^2 -2am

> Formando un trinomio cuadrado perfecto con 3 de los términos de la expresión dada:

a^2 -2am +m^2

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto encontrado:

a^2 -2am +m^2 = (a-m)^2

> Restándole al binomio al cuadrado encontrado el otro término de la expresión dada:

(a-m)^2 – 4b^2

> Esta nueva expresión es una Diferencia de Cuadrados Perfectos y se procede a factorizarla:

(a-m)^2 – 4b^2

= [(a-m)+2b)][(a-m)-2b]

= (a-m+2b)(a-m-2b)   Solución.

Ejemplo 2) Descomponer o factorar  4x^2 -a^2 +y^2 -4xy +2ab -b^2

> Formando trinomios cuadrados perfectos (en este caso se pueden formar dos), buscando el que sería el 2° término de cada trinomio.

-4xy es el resultado de -2(√4x^2)(√y^2) = -2(2x)(y) =  -4xy

2ab  es el resultado de  2(√-a^2)(√-b^2) = 2(-a)(-b) = 2ab

> Los trinomios quedarían así:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

> Convirtiendo los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

(4x^2 -4xy +y^2) – (a^2 -2ab +b^2)

= (2x-y)^2 – (a-b)^2

> Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos encontrada:

(2x-y)^2 – (a-b)^2

= [(2x-y) + (a-b)][(2x-y) – (a-b)]

= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)   Solución.

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Ejercicio 95.

Factorar o descomponer en dos factores:

1) a^2 +2ab +b^2 –x^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto y factorándolo:

(a^2+2ab+b^2)

= (a+b)^2

> Formando una diferencia de cuadrados pefectos:

(a+b)2 – x^2

> Factorizando la la diferencia de cuadrados perfectos:

(a+b)2 – x^2

= [(a+b) +x][(a+b) -x]

= (a+b+x)(a+b-x) Solución.

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2) x^2 -2xy +y^2 –m^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

(x^2 -2xy +y^2)

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

x^2 -2xy +y^2 = (x-y)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(x-y)^2 – m^2

= [(x-y)+m][(x-y) +m]

= (x-y+m)(x-y-m) Solución.

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3) m^2 +2mn +n^2 -1

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

Factorizando la diferencia de cuadrados perfectos:

(m+n)^2 -1

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n+1)(m+n-1)   Solución.

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4) a^2 -2a +1 –b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -2a +1 = (a-1)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

>Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a–1)^2 -b^2

= [(a-1) +b][(a-1) -b]

= (a-1+b)(a-1-b)    ordenado sería:

= (a+b-1)(a-b-1   Solución.

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7) a^2 +4 -4a -9b^2

> Formando un trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4

> Factorando  el trinomio cuadrado perfecto:

a^2 -4a +4 = (a-2)^2

> Formando una diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

> Factorando la diferencia de cuadrados perfectos:

(a-2)^2 -9b^2

= [(a-2) +3b][(a-2) -3b]

= (a-2+3b)(a-2-3b)     ordenado sería:

= (a+3b-2)(a-3b-2)    Solución.

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28) x^2 +4a^2 -4ax –y^2 -9b^2 +6by

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (–y^2+6by-9b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados perfectos:

(x^2 -4ax +4a^2) – (y^2-6by+9b^2)

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

= (x-2a)^2 – (y-3b)^2

= [(x-2a) +(y-3b)][(x-2a) – (y-3b)]

= (x-2a+y-3b)(x-2a-y+3b)    Solución.

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30)  9x^2 +4y^2 -a^2 -12xy -25b^2 -10ab

> Formando trinomios cuadrados perfectos:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

> Factorando los trinomios cuadrados:

(9x^2 -12xy +4y^2) – (a^2 +10ab +25b^2)

= (3x-2y)^2 – (a+5b)^2

> Factorizando los binomios como una diferencia de cuadrados perfectos:

(3x-2y)^2 – (a+5b)^2

= [(3x-2y)+(a+5b)][(3x-2y)-(a+5b)]

= (3x-2y+a+5b)(3x-2y-a-5b)   Solución.

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Procedimiento:

1) Se forma una ecuación, sabiendo el valor de u, a y r.

2) Se aplica la fórmula para “n “por logaritmos.

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Fórmula:  n =  [(log u + colog a) /log r] +1

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Ejemplo:

Cuántos términos tiene la progresión ÷÷2:6:……..:1458?

> Elementos:  a=2  ;  u= 1458  ;   r=6÷2=3

> Aplicando la fórmula para  n:

n = [(log 1458 + Colog 2)/log 3]+1

n = [(3.163757 + -1.698970)/0.477121]+1

n = (2.862727/0.477121)+1

n = 6+1 =7   Solución.

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Ejercicio 302.

Hallar el número de términos de las progresiones:

2) ÷÷2:3:…….:²⁴³⁄₁₆

> Elementos:  u= ²⁴³⁄₁₆  ;  a =2  ;  r=3÷2= ³⁄₂

> Aplicando  la fórmula para  n:

n = [(log ²⁴³⁄₁₆ + Colog 2)/log ³⁄₂]+1

n = [(1.181486 + -1.698970)/0.176091]+1

n = (0.880456/0.176091)+1

n = 5 +1 =6   Solución.

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4) ÷÷6:8:………:²⁰⁴⁸⁄₈₁

> Elementos:  u= ²⁰⁴⁸⁄₈₁  ¸ a= 6  ;  r=8/6= ⁴⁄₃

> Aplicando la fórmula:

n = [(Log ²⁰⁴⁸⁄₈₁ + Colog 6)/log ⁴⁄₃]+1

n = [(1.402845 + -1.221849)/0.124939]+1

n = (0.624694/0.124939)+1

n = 5 +1 = 6   Solución.

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Ecuaciones Exponenciales.

Son las ecuaciones en que la incógnita es el exponente de una cantidad.

Para resolver este tipo de ecuaciones, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

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Procedimiento:

1°) Se aplica la fórmula para el logaritmo de una potencia.

2°) Se busca el logaritmo del otro miembro de la ecuación.

3°) Encontrado los logaritmos se procede a realizar operaciones.

4°) Se despejan la incógnita (el exponente de la potencia).

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Ejemplos:

 a) Resolver la ecuación  3ˣ = 60

> Aplicando logaritmos:

x(Log 3) = Log 60

x(0.477121) = 1.778151

x = 1.778151/0.477121

x = 3.72   Solución.

b) Resolver la ecuación 5²ˣ⁻¹ = 125

> Aplicando logaritmos:

2x-1(Log 5) = Log 125

2x-1(0.698970) = 2.096910

2x = (2.096919/0.698970) +1

x = 3+1 /2

x = 2   Solución.

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Ejercicio 301.

1) Resolver  5ˣ =3

> Aplicando logaritmos:

x(log 5) = log 3

x = log 3/log 5

x = 0.477121/0.698970

x = 0.6826  Solución.

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3) Resolver 0.2ˣ = 0.0016

> Aplicando logaritmos:

x (log 0.2) = log 0.0016

x = log 0.0016/log 0.2

x = -2.795988/-0.698970

x = 4.  Solución.

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5) Resolver 3ˣ⁺¹ = 729

> Aplicando logaritmos:

x+1(log 3) = log 729

x = (log 729/log 3)-1

x = (2.862727/0.477121)-1

x = 6-1 = 5  Solución.

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7) Resolver  2³ˣ⁺¹ = 128

> Aplicando logaritmos:

3x+1(log 2) = log 128

3x+1 = log 128/log 2

x = [(log 128/log 2)-1]/3

x = [(2.107210/0.301030)-1]/3

x = (7-1)/3

x = 6/3 =2  Solución.

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Procedimiento:

1) Se construye un producto de 2 factores, que pueden ser 2 potencias o una; cuyas bases sean los números dados y cuyo resultado sea igual al otro número dado.

2) Luego se aplica la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz.

3) Si los números que nos dan, su producto es mayor que el otro número dado, entonces se forma un cociente con factores que divididos nos den el otro número dado.

4) Para el inciso 3 se aplica la fórmula para logaritmo de un cociente.

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 Ejemplos:

a) dados Log 2 = 0.301030 y Log 3= 0.477121, hallar el Log de 108, sin usar la tabla.

> Descomponiendo 108 en factores que tengan cuadrado perfecto:

2² * 3³ = 4 * 27 = 108

> Formando una ecuación:

108 = 2² * 3³

> Resolviendo por medio de logaritmos:

Log 108 = 2(Log 2) + 3(Log 3)

…………. = 2(0.301030) + 3(0.477121)

…………. = 0.602060 + 1.431363

…………. = 2.033423  Solución.

> Buscamos el log 108 directamente:

Log 108 = 2.0334237

  1. b) Dados log 115 = 2.060698 y log 5 = 0.698970, hallar el log 23.

>Formando una ecuación:

23 = 115/5

> Resolviendo por logaritmos:

Log 23 = Log 115 + Colog 5

……….. = 2.060698 + 1.30103

……….. = 1.361728    Solución

> Buscamos el log 23 directamente:

Log 23 = 1.361728

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Ejercicio 300.

Dados log 2=0.301030 ,  log 3=0.477121,  log 5=0.608970,  log 7=0.845098  Hallar:

1) log 36

> Descomponemos el 36 en dos factores potencias con las bases 2 y 3:

2² * 3² = 4 * 9 = 36

> Formamos la una ecuación:

36 = 2² * 3²

> Resolvemos la ecuación por logaritmos:

Log 36 = 2(log 2) + 2(log 3)

Log 36 = 2(0.301030) + 2(0.477121)

Log 36 = 0.60206 + 0.954242

Log 36 = 1.556302  Solución.

> Buscamos el log 36 directamente:

Log 36 = 1.556302

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2) Log 75

> Descomponemos 75 en dos factores con la base 5:

3 * 5² = 3 * 25 = 75

> Formamos una ecuación:

75 = 3 *5²

> Resolvemos por logaritmos:

Log 75 = log 3 + 2(log 5)

Log 75  = 0.477121 + 2(0.698970)

Log 75 = 0.477121 + 1.39794

Log 75 = 1.875061  Solución

> Buscamos log 75 directamente:

Log 75 = 1.875061

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Aquí se aplican las diferentes fórmulas para logaritmo de un producto, de un cociente, de una potencia y  de una raíz;  de acuerdo con la expresión aritmética dada.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de (3284*0.09132) /715.84

> Aplicando las fórmulas correspondientes:

Log [(3284*0.09132)/715.84] =

= Log (3284*0.09132) + Colog 715.84

= (3.516403 + 2.960566) + 3.145184

= 2.476969 + 3.145184

= 1.622153

> Antilog del resultado es

= 0.418941  Solución.

 

b) Hallar el valor de 100.39*0.03196 / 7.14*0.093

> Aplicando las fórmulas correspondientes:

Log [(100.39*0.03196)/(7.14*0.093)]=

= (Log 100.39 + Log 0.03196) – (Log 7.14 + Log 0.093)

= (2.001690 + 2.504607) – (0.853698 + 2.968483)

= 0.506297 + Colog 1.822181

= 0.506297 + 0.177819

= 0.684116

= Antilog 0.684116

= 4.831878    Solución.

 

c) Hallar por logaritmos el valor de 3^⅖ * 5^⅔

> Aplicando las fórmulas correspondientes:

Log (3^⅖ * 5^⅔) =

= ⅖(Log 3) + ⅔(Log 5)

= ⅖(0.477121) + ⅔(0.698970)

= 0.190848 + 0.46598

= 0.656828

= Antilog 0.656828

= 4.5376  Solución.

 

d) Hallar por logaritmos el valor de ³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)

> Aplicando los fórmulas correspondientes:

Log [³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)] =

= Log [(32.7*0.006)/(0.14*89.17)]/3

= [(Log 32.7 + Log 0.006) – (Log 0.14 + Log 89.17)]/3

= [(1.514548 + 3.778151) + Colog (1.146128 + 1.950219)]/3

= [(1.292699) + Colog (1.096347)]/3

= [1.292699) + 2.903653]/3

= 2.196352/3

= 1.398784

Antilog 1.398784

= 0.25048  Solución.

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Ejercicio 299.

Hallar por logaritmo el valor de las expresiones siguientes:

 

1) 515*78.19 /6.13

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto, y de un cociente:

Log (515*78.19 /6.13) =

= (Log 515 + Log 78.19) – (Log 6.13)

= (2.711807 + 1.893151) + Colog 0.787460

= 4.604958 + 1.21254

= 3.817498

Antilog de 3.817498 = 6568.98

= 6569.    Solución.

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11) 2^⅕ * 3^½ * 5^¾

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia y de un producto:

Log (2^⅕ * 3^½ * 5^¾) =

= ⅕(Log 2) + ½(Log 3) + ¾(Log 5)

= ⅕(0.301030) + ½(0.477121) + ¾(0.698970)

= 0.060206 + 0.238560 + 0.524227

= 0.822993

Antilog de 0.822993 =

= 6.6526   Solución.

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16) √(932.5 * 813.6 * 0.005)

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz:

Log  [√(932.5 * 813.6 * 0.005)]

= (Log 932.5 + Log 813.6 + Log 0.005)/2

= (2.969649 + 2.910411 + 2.301030)/2

= 3.57903 /2

= 1.789515

Antilog 1.789515

= 61.591   Solución.

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20) ⁵√(56813/22117)

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente y de una raíz:

Log ⁵√(56813/22117

= (Log 56813 – Log 22117)/5

= (4.754447 + Colog 4.344726)/5

= (4.754447 + 5.655274)/5

= 0.409721/5

= 0.081944

Antilog 0.081944 =

= 1.20766  Solución.

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