Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Simplificación cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.

Caso II. 

Simplificación de Radicales

Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.

Procedimiento:

1) Se factoriza la cantidad subradical para dejar los factores con exponente.

2) Se dividen los factores subradicales entre el índice de la raíz, convirtiéndolos en potencias con exponente fraccionario.

3) Se simplifican las potencias resultantes convirtiéndolas en raíces con un índice común.

.    Ej. 2¹⁄² = ²√2¹ = √2    ;    3¹⁄³= ³√3¹ = ³√3   :   3¹⁄³*a²⁄³= ³√3¹ *³√a² = ³√3a²

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Ejemplos:

 

a) Simplificar ⁴√4a²

> Factorando la cantidad subradical:

⁴√4a² = ⁴√2²*a²

> Dividiendo los exponentes de los factores subradicales entre el índice:

⁴√2²*a² = 2²⁄⁴ *a²⁄⁴ = 2¹⁄²  * a¹⁄²

> Simplificando las potencias resultantes:

2¹⁄² * a¹⁄² = √2*√a = √2a   Solución.

 

b) Simplificar ⁶√9a²x²

> Factorando la cantidad subradical

⁶√9a²x² = ⁶√3²a²x²

> Dividiendo los exponentes de los factores subradicales entre el índice:

⁶√3²a²x² = 3²⁄⁶*a²⁄⁶*x²⁄⁶ = 3¹⁄³*a¹⁄³*x¹⁄³

> Simplificando las potencias resultantes:

3¹⁄³*a¹⁄³*x¹⁄³ = ³√3*³√a*³√x = ³√3ax  Solución.

 

c) Simplificar ¹⁵√27x³y⁶

> Factorando la cantidad subradical:

¹⁵√27x³y⁶ = ¹⁵√3³*x³*y⁶

> Dividiendo los exponentes de los factores entre el índice:

¹⁵√3³*x³*y⁶ = 3³⁄¹⁵*x³⁄¹⁵*y⁶⁄¹⁵ = 3¹⁄⁵*x¹⁄⁵*y²⁄⁵

> Simplificando las potencias resultantes:

3¹⁄⁵*x¹⁄⁵*y²⁄⁵ = ⁵√3 *⁵√x *⁵√y²= ⁵√3xy²   Solución.  Solución

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Ejercicio 233.

1) Simplificar ⁴√9

> Factorando la cantidad subradical

⁴√9 = ⁴√3²

> Dividiendo el exponente del factor entre el índice:

⁴√3² = 3²⁄⁴ = 3¹⁄²

> Simplificando la potencia resultante:

3¹⁄² = √3   Solución.

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2) Simplificar  ⁶√4

> Factorando la cantidad subradical:

⁶√4 = ⁶√2²

> Dividiendo el exponente del factor entre el índice:

⁶√2² = 2²⁄⁶ = 2¹⁄³

> Simplificando la potencia resultante:

2¹⁄³ = ³√2  Solución.

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5) Simplificar  3 ¹²√64

> Factorando la cantidad subradical:

3 ¹²√64 = 3 ¹²√2⁶

> Dividiendo el exponente del factor entre el índice:

3 ¹²√2⁶ = 3(2⁶⁄¹²)

> Simplificando la potencia resultante:

3(2⁶⁄¹²) = 3(2¹⁄²) = 3 √2

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7) Simplificar  5 ⁶√49a²b⁴

> Factorando la cantidad subradical:

5 ⁶√49a²b⁴ = 5 ⁶√7²a²b⁴

> Dividiendo  el exponente del factor entre el índice:

5 ⁶√7²a²b⁴ = 5(7²⁄⁶a²⁄⁶b⁴⁄⁶) = 5(7¹⁄³a¹⁄³b²⁄³)

> Simplificando la potencia resultante:

5(7¹⁄³a¹⁄³b²⁄³) = 5 ³√7ab²   Solución.

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12) Simplificar  ¹⁵√m¹⁰n¹⁵x²⁰

> Factorando la cantidad subradical:

¹⁵√m¹⁰n¹⁵x²⁰ = ¹⁵√m¹⁰n¹⁵x¹⁵x⁵

> Dividiendo el exponente entre el índice:

¹⁵√m¹⁰n¹⁵x¹⁵x⁵ = m¹⁰⁄¹⁵n¹⁵⁄¹⁵x¹⁵⁄¹⁵x⁵⁄¹⁵

> Simplificando la potencia resultante:

m¹⁰⁄¹⁵n¹⁵⁄¹⁵x¹⁵⁄¹⁵x⁵⁄¹⁵ = m²⁄³n¹x¹x¹⁄³

= nx ³√m²x   Solución.

 

Nota:  En esta solución “ n¹  y  x¹ ”, que son igual a  “n  y  1”  y además como su exponente no es fraccionario, se sacan de la raíz como números enteros, multiplicando a  lo que queda en la raíz.

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Simplificación cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.

Caso I.

Simplificación  

Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.

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Ejemplos:

 a) Simplificar √9a³

> Se factoriza la cantidad subradical para dejar factores con exponente igual al índice y poder sacarlos del radical:

√9a³ = √3²a²a = √3² * √a² * √a

> Sacando factores con exponente igual al índice del radical:

= 3a√a,  que es la solución.

 

b) Simplificar  2√75x⁴y⁵

> Factorizando la cantidad subradical:

2√75x⁴y⁵ =

= 2√5²*3(x²)²(y²)²*y

= 2√5²*√3*√(x²)²*√(y²)²*√y

= 2*5*x²*y²√3y

= 10x²y²√3y   Solución.

 

c) Simplificar  ¹⁄₇√49x³y⁷

> Factorizando la cantidad subradical:

¹⁄₇ √49x³y⁷ =

= ¹⁄₇ √7²x²x(y³)²y

= ¹⁄₇ √7²*√x²*√x*√(y³)²*√y

= ¹⁄₇*7*x*y³*√xy =

= xy³√xy  Solución.

 

d) Simplificar  4  ³√250a³b⁸

> Factorizando la cantidad subradical:

4 ³√250a³b⁸ =

= 4 ³√5³*2a³(b²)³b²

= 4* ³√5³ * ³√2 * ³√a³ * ³√(b²)³ * ³√b²

= 4*5*a*b² * ³√2b²

= 20ab² ³√2b²  Solución.

 

e) Simplificar  ³⁄₂  ⁴√32mn⁸

> Factorizando la cantidad subradical:

³⁄₂  ⁴√32mn⁸

= ³⁄₂  ⁴√2⁴*2m(n²)⁴

= ³⁄₂ ⁴√2⁴ * ⁴√2 * ⁴√m * ⁴√(n²)⁴

= ³⁄₂*2*n²  ⁴√2m

= 3n²  ⁴√2m  Solución.

 

f) Simplificar  √4a⁴-8a³b

> Factorizando  la cantidad subradical:

√4a⁴-8a³b =

= √4a³(a-2b)

=√2²*a²*a(a-2b)

= (2a)√a(a-2b)

= (2a)√(a²-2ab)  Solución.

 

g) Simplificar  √3x²-12x+12

> Factorizando la cantidad subradical:

√3x²-12x+12

= √3(x²-4x+4)

= √3(x-2)²

= (x-2)√3  Solución.

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Ejercicio 231.

 

1) Simplificar  √18

> Factorizando la cantidad subradical:

√18 =

= √3²*2

= √3²*√2

= 3√2  Solución.

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5) Simplificar  2 ⁴√243

> Factorizando la cantidad subradical:

2 ⁴√243 =

= 2 ⁴√3⁴*3

= 2 ⁴√3⁴*⁴√3

= 2*3*⁴√3

= 6 ⁴√3  Solución.

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6) Simplificar  √50a²b

> Factorizando la cantidad subradical:

√50a²b =

= √5²*2*a²*b

= √5²*√2*√a²*√b

= (5a)√2b  Solución.

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8)  Simplificar  ½ √108a⁵b⁷

> Factorizando la cantidad subradical:

½ √108a⁵b⁷

= ½ √6²*3*(a²)²*a*(b³)²*b

= ½ √6²*√3*√(a²)²*√a*√(b³)²*√b

= ½ *6*a²*b³√3ab

= 3a²b²√3ab  Solución.

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