Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Producto continuado de polinomios.

Se refiere a una expresión formada por varios factores monomios  y/o polinomios.  Los que se resuelven multiplicando los dos primeros factores y el resultado por el tercer factor y este nuevo resultado por el cuarto factor; y así sucesivamente al número de factores que contenga la expresión.
El producto continuado puede resolverse también agrupando factores, según la Ley asociativa de la Multiplicación, y los resultados se multiplican entre sí.
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Ejemplo:
Efectuar   3x(x+3)(x-2)(x+1)
> Resolviendo:
① 3x(x+3) = 3x²+9x
        
② 
3x²+9x
x-2               .
3x³+9x²
      – 6x²-18x
3x³+3x²-18x
 
③ 
3x³+3x²-18x
x+1                       .
3x⁴+3x³-18x²
      +3x³+ 3x²-18x
3x⁴+3x³-15x²-18x   Solución.
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Ejercicio 46
 
3) Simplificar  2(a-3)(a-1)(a+4)
> Resolviendo:
2(a-3) = 2a-6
 
2a-6
a-1          .
2a²-6a
.     -2a+6
2a²-8a+6
 
2a²-8a+6
a+4                          .
2a³- 8a² + 6a
      +8a² -32a+24
2a³         -26a+24    Solución.
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6)  Simplificar  (a-b)(a²-2ab+b²)(a+b)
a²-2ab+b²
a-b                     .
a³-2a²b+   ab²
    –  a²b+2ab²-b³
a³-3a²b+3ab²-b³
 
a³-3a²b+3ab²-b³
a+b                                    .
a⁴-3a³b+3a²b² –  ab³
    + a³b -3a²b²+3ab³-b⁴
a⁴-2a³b            +2ab³-b⁴   Solución.
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9)  Simplificar (aᵐ -3)(aᵐ⁻¹ +2)( aᵐ⁻¹ -1)
> Resolviendo:
aᵐ-3
aᵐ⁻¹+2                    .
a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹
                      +2aᵐ-6
a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6
 
a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6
aᵐ⁻¹ -1                                                 .
a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+2a²ᵐ⁻¹  -6aᵐ⁻¹
                       –  a²ᵐ⁻¹ +3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6
a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+  a²ᵐ⁻¹  -3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6
 
Ordenando:
a³ᵐ⁻² +a²ᵐ⁻¹ -3a²ᵐ⁻² -2aᵐ -3aᵐ⁻¹ +6   Solución.
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14)  Simplificar  aᵡ(aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²)( aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²)bᵡ
> Resolviendo:
aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²
aᵡ                 .
a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺² ①
 
aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²
bᵡ                 .
aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²   ②
 
a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺²                           ①
aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²                        .   ②
a³ᵡ⁺²bᵡ +a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺²
             – a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺² -aᵡb³ᵡ⁺⁴
a³ᵡ⁺²bᵡ                     -aᵡb³ᵡ⁺⁴  Solución.
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Multiplicación de polinomios con coeficientes fraccionarios.

Procedimiento:
1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.
2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.
3) Los productos de los coeficientes deben simplificarse.
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Ejemplos:
 
a) Multiplicar ½ x² -⅓xy   por   ⅔x -⅘y
½ x² -⅓xy
⅔x -⅘y                      .
⅓x³  –  ²∕₉x²y
        –  ²∕₅x²y +⁴⁄₁₅xy²
⅓x³ -²⁸⁄₄₅x²y+⁴⁄₁₅xy²    Solución.
 
b) Multiplicar ⅓x²+ ½y²-⅕xy   por  ¾x²- ½xy- ¼y²
> Ordenando el primer factor:
⅓x²-⅕xy+½y²
¾x²- ½xy- ¼y²               .
¼ x⁴ – ³∕₂₀x³y  +   ³∕₈x²y²
         –   ¹∕₆x³y +  ¹∕₁₀x²y²  –   ¼ xy³
                         –  ¹∕₁₂x²y ² +¹∕₂₀xy³ -¹∕₈y⁴
¼ x⁴ -¹⁹∕₆₀x³y +⁴⁷∕₁₂₀x²y²  –  ¹∕₅xy³ -¹∕₈y⁴   Solución.
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Ejercicio 44.
Multiplicar:
 
2)  x – ⅖y  por  ⅚y + ⅓x
> Ordenando el segundo factor:
x -⅖y
⅓x +⅚y              .
⅓x²  -²∕₁₅xy
        +  ⅚xy  -⅓y²
⅓x² +⁷∕₁₀xy  -⅓y²   Solución.
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3) ½ x² -⅓xy + ¼ y²  por  ⅔x -³∕₂y
 
½ x² -⅓xy + ¼ y²
⅔x -³∕₂y                  .
⅓x³  –    ²∕₉x²y +⅙xy²
         –    ¾ x²y +½xy² -³∕₈y³
⅓x³  -³⁵∕₃₆x²y +⅔xy² -³∕₈y³   Solución.
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5) ⅖m²+⅓mn- ½n²   por   ³∕₂m²+2n²-mn
> Ordenando el segundo factor:
⅖m²+⅓mn- ½n²
³∕₂m²-mn+2n²               .
⅗m⁴ + ½ m³n  –  ¾ m²n²
          –  ⅖m³n  –   ⅓m²n² +  ½mn³
                          +  ⅘m²n² +  ⅔mn³ – n⁴
⅗m⁴ +¹∕₁₀m³n -¹⁷∕₆₀m²n² +⁷∕₆mn³ – n⁴    Solución.
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Multiplicación de polinomios con exponentes literales.

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.
2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.
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Ejemplos:
 
a) Multiplicar   aᵐ⁺²-4ᵐ-2ᵐ⁺¹ por a²-2a.
> Ordenando los términos:
aᵐ⁺²-2ᵐ⁺¹-4ᵐ
a²-2a                     .
aᵐ⁺⁴-2aᵐ⁺³ -4aᵐ⁺²
        -2aᵐ⁺³+4aᵐ⁺²+8aᵐ⁺¹
aᵐ⁺⁴-4aᵐ⁺³             +8aᵐ⁺¹   Solución.
 
b) Multiplicar   xᵅ⁺²-3xᵅ-xᵅ⁺¹+xᵅ⁻¹  por xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹
> Ordenando los términos de los factores:
xᵅ⁺²-xᵅ⁺¹-3xᵅ+xᵅ⁻¹
xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹             .
x²ᵅ⁺³-x²ᵅ⁺²-3x²ᵅ⁺¹ +  x²ᵅ
          x²ᵅ⁺² – x²ᵅ⁺¹ -3x²ᵅ +   x²ᵅ⁻¹
                   4x²ᵅ⁺¹ -4x²ᵅ -12x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²
x²ᵅ⁺³                      -6 x²ᵅ-11x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²   Solución.
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Ejercicio 43.
Multiplicar:
 
1) aᵡ-aᵡ⁺¹+aᵡ⁺²  por  a+1
> Ordenando el factor trinomio:
aᵡ⁺²-aᵡ⁺¹+aᵡ
a+1                      .
aᵡ⁺³-aᵡ⁺²+aᵡ⁺¹
        aᵡ⁺² -aᵡ⁺¹+aᵡ
aᵡ⁺³                 +aᵡ   Solución.
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2) xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³  por  x²+x
> ordenando el factor binomio:
xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³
x+x²                    .
xⁿ⁺²+2xⁿ⁺³ –  xⁿ⁺⁴
           xⁿ⁺³+2xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵
xⁿ⁺²+3xⁿ⁺³+  xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵   Solución.
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3) mᵅ⁻¹+mᵅ⁺¹+mᵅ⁺²-mᵅ  por  m²-2m+3
> Ordenando el primer factor:
mᵅ⁺²+mᵅ⁺¹-mᵅ+mᵅ⁻¹
m²-2m+3                    .
. mᵅ⁺⁴+  mᵅ⁺³-  mᵅ⁺²+  mᵅ⁺¹
           -2mᵅ⁺³-2mᵅ⁺²+2mᵅ⁺¹-2mᵅ
                        3mᵅ⁺²+3mᵅ⁺¹-3mᵅ+3mᵅ⁻¹
. mᵅ⁺⁴ – mᵅ⁺³             +6mᵅ⁺¹-5mᵅ+3mᵅ⁻¹    Solución.
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Mutiplicación de Polinomios por Monomios

Procedimientos:

Multiplicar 3x^2-6x+7 por 4ax^2

a) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales indicados; luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener el producto total.

–> 3x^2(4ax^2) -6x(4ax^2) +7(4ax^2) = 12ax^4 -24ax^3 +28ax^2

b) Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, colocando los productos parciales debajo de la línea.

–>  3x^2 -6x +7

.     4ax^2

.    ____________________

.    12ax^2 -24ax^3 +28ax^2 

NOTA: recuerda aplicar la Ley de signos para la multiplicación y la Ley de Signos de los Exponentes, que dice que en la multiplicación se suman los exponentes.

En los ejercicios se aplicará el procedimiento b), que es el utilizado en el Álgebra y solamente en los ejercicios que tienen exponentes literales y numéricos se aplicará el procedimiento a), para su mejor desarrollo.

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EJERCICIO 39

Multiplicar:

1) 3x^3 -x^2 por -2x –>

3x^3 -x^2

-2x

——————

-6x^4 -2x^3

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2) 8x^2y  -3y^2 por 2ax^3 –>

8x^2y -3y^2

2ax^3

—————————

16ax^5y -6x^2y^2

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3) x^2 -4x +3   por   -2x

x^2 -4x +3

-2x

———————-

-2x^3 +8x^2 -6x

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6) x^5 -6x^3 -8x  por  3a^2x^2

x^5 -6x^3 -8x

3a^2x^2

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3a^2x^7 -18a^2x^5 -24a^2x^3

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10) a^m -a^(m-1) +a^(m-2)   por   -2a

-2a(a^m)  -2a{-a^(m-1)}  -2a{a^(m-2)} = -2a^(m+1) +2a^m -2a^(m-1)

— 1º Producto -2a(a^m) = -2a^(m+1)

Se multiplican los coeficientes de “a”:  -2(1)= -2 ; se copia la literal “a”  ;  y se suman los exponentes (1 de la “a” y la “m”) = (m+1) –> todo es = -2a(m+1) 

— 2º Producto: -2a{-a^(m-1)} = 2a^m

Se multiplican los coeficientes de “a”: -2(-1) = 2 ;  se copia la literal “a” y se suman los exponentes (1 de la “a” y -1 de la “m”) o sea m^(1-1) = m –> todo es = 2a^m

— 3º Producto: -2a{a^(m-2)} = -2a^(m-1)

Se multiplican los coeficientes de “a”:  -2(1) = -2  ;  se copia la literal “a” ;  y se suman los exponentes (1 de la “a” y -2 de la “m”) o sea m^(1-2) = (m-1) –> todo es = -2a^(m-1)

Nota: todo letra o literal que no tenga indicado un exponente, se sobreentiende que está elevada a la potencia (1)

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Producto Continuado. Multiplicación de más de dos monomios.

Procedimiento:

1) Se multiplican los coeficientes.

2) Se copian las letras de los factores , en orden alfabético, elevadas a la suma de los exponentes que tengan esas letras en los factores. Las letras que no tengan otra común en los factores, solo se copian con su mismo exponente.

3) Se efectúan las operaciones para llegar a la solución.

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Ejemplos:

a) Efectuar  (2a)(-3a^2b)(-ab^3)

> Multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes respectivos de cada letra:

= (2)(-3)(-1)a^(1+2+1)b^(1+3)

=6a^4b^4     Solución.

b) Efectuar (-x^2y)(-2/3 x^m)(-3/4 a^2y^n)

> Multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes respectivos de cada letra;

= (1)(-2/3)(-3/4)a^2 x^(2+m)y^(1+n)

= 1/2a^2x^(m+2)y^(n+1)

= 1/2a^2x^m+2y^n+1   Solución.

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EJERCICIO 38

 1)   (a)(-3a)(a^2) = (1)(-3)(1)-3a^(1+1+2) =  –3a^4   Solución.

En este caso el resultado  es negativo, porque hay un número “impar” de factores negativos.

2)      (3x^2)(-x^3y)(-a^2x)=(3)(-1)(-1)a^2x(2+3+1)y^1 = 3a^2x^6y^1  Solución.

En este caso el resultado es positivo, porque hay un número “par” de factores negativos.

 

 

6) (1/2x^3)(-2/3a^2x)(-3/5a^4m) =   1/5a^6mx^4

(1/2)(-2/3)(-3/5) = 1/5

a^(2+4) = a^6

m^1 = m

x^(3+1) = x^4

NOTAS.

–          Recuerda se multiplican los coeficientes, luego se copian las literales y después se suman los exponentes.

–          Cuando un valor no tiene exponente, se entiende que está elevado a la potencia “1” .

–          Para tener un buen orden, las literales se colocan en orden alfabético

Multiplicación de Monomios con exponentes literales y numéricos

EJERCICIO 36
Multiplicar … por …

1) a^m por a^(m+1) –> (a^m)a^(m+1) = a^(2m+1)

En este caso se copia la literal “a” en el producto,
y se suman los exponentes literales y numéricos;
(m + m) = 2m
(0 + 1 ) = 1

3) 4a^nb^x por –ab^(x+1) –> [(4a^nb^x) (-ab(x+1)] = -4a^(n+1)b^(2x+1)

Este otro caso se multiplican los coeficientes de los
monomios; luego se copian las literales base y
después se suman sus exponentes
(4)(-1) = -4
a^(n+1) = a^(n+1)
b^(x+x+1) = b^(2x+1)

5) -3a^(n+4)b^(n+1) por -4a^(n+2)b^(n+3) –>
[-3a^(n+4)b^(n+1)][-4a^(n+2)b^(n+3)] = 12a^(2n+6)b^(2n+4)

(-3)(-4) = 12
a^(n+4)+(n+2) = a^(2n+6)
b^(n+1)+(n+3) = b^(2n+4)

NOTAS

– Cuando la literal base no tiene coeficiente, se sobreentiende
que es “1” , por eso solamente se copia ésta.

– Cuando la literal no tiene semejante también solo se copia
con su respectivo coeficiente y exponente.

Multiplicación de Monomios

EJERCICIO  35              

Multiplicar …  por …

1) 2 por -3 –>  2 X -3 = -6

(Recuerda que se multiplican los números y luego aplicando la ley de signos p/ la multiplicación : signos distintos igual a negativo.)

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 2) -4 por -8 –> -4 X -8 = 32

(Se multiplican los números y como los signos son iguales el resultado es positivo.)

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3) -15 por 16 –> -15 X 16 = -240

(Signos distintos resultado negativo.)

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4) ab por –ab –> (ab) (-ab) = [-a^(1+1)] [ b^(1+1)] = -a^2b^2

(Recuerda: al multiplicar variables, en el resultado se copia la variable y se suman los exponentes de cada una.)

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5) 2x^2 por -3x –> (2x^2) (-3x) =  (2)(-3)x^(2+1) =  -6x^3

(Como se observa se multiplican los coeficientes, se copia la variable y se suman los exponentes de la variable.)

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6) -4a^2por –ab^2   –> (-4a^2b) ( -ab^2) = (-4/-1)a^(2+1)b^(1+2) =                              4a^3b^3

(Signos iguales dan resultado positivo.)

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Mas casos de este Ejercicio (35) y de otros, así como información,

puedes obtenerla solicitándola a mi Email : jorgecarrillom@gmail.com

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