Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Mínimo común múltiplo de monomios y polinomios.

Regla:

Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos.  El m.c.m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

Los factores que se repiten en dos o más expresiones se toman solo una vez. Pero sí se toman en cuenta las veces que se repitan en la misma expresión.

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Ejemplos:

a) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x-3

Descomponiendo las expresiones:

6 = 2*3

3x-3 = 3(x-1)

–> el m.c.m. es  2*3(x-1) = 6(x-1) Solución.

 

b) Hallar el m.c.m. de  14a² , 7x-21

> Descomponiendo las expresiones:

14a² = 2*7a²

7x-21 = 7(x-3)

–> el m.c.m. es  2*7a²(x-3) = 14a²(x-3)

 

c) Hallar el m.c.m. de  15x²,  10x²+5x,  45x³  Solución.

> Descomponiendo las expresiones

15x² ( Como está contenido en 45x³, entonces no se toma en cuenta)

10x²+5x = 5x(2x+1)

45x³ = 3² * 5x³

–> el m.c.m. es  3²*5(2x+1) =  45(2x+1)  Solución.

 

d) Hallar el m.c.m. de 8a²b,  4a³-4a,  6a²-12a+6

> Descomponiendo las expresiones:

8a²b = 2³a²b

4a³-4a = 4a(a²-1) = 2²a(a+1)(a-1)

6a²-12a+6 = 6(a²-2a+1) = 2*3(a-1)²

–> el m.c.m. es  2³*3a²b(a-1)²(a+1)

= 24 a²b(a-1)²(a+1)  Solución.

 

e) Hallar el m.c.m. de  24a²x,  18xy²,  2x³+2x²-40x,  8x⁴-200x²

> Descomponiendo las expresiones:

24a²x = 2³ * 3a²x

18xy² = 2 * 3²xy²

2x³+2x²-40x = 2x(x²+x-20) = 2x(x+5)(x-4)

8x⁴-200x² = 8x²(x²-25) = 2³x²(x+5)(x-5)

–> 2³3²a²x²y²(x+5)(x-5)(x-4)

= 72a²x²y²(x+5)(x-5)(x-4)

= 72a²x²y²(x²-25)(x-4)  Solución.

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Ejercicio 116.

 

5) Hallar el m.c.m. de  6a²b,  3a²b²+6ab³

> Descomponiendo las expresiones:

6a²b = 2*3a²b

3a²b²+6ab³ = 3ab²(a+2b)

–> 2*3a²b²(a+2b)

= 6a²b²(a+2b)  Solución.

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15) Hallar el m.c.m. de  9a²,  18b³,  27a⁴b+81a³b²

> Descomponiendo las expresiones:

9a² = 3²a² 

18b³ = 2*3²b³

27a⁴b+81a³b² = 27a³b(a+3b) = 3³a³b(a+3b)

–> el m.c.m. es  2*3³a³b³(a+3b)

= 54 a³b³(a+3b)  Solución.

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20) Hallar el m.c.m. de  x²,   x³+x²-2x,   x²+4x+4

> Descomponiendo las expresiones:

x² = x² 

x³+x²-2x = x(x²+x-2) = x(x+2)(x-1)

x²+4x+4 = (x+2)(x+2)

–> el m.c.m. es  x²(x+2)²(x-1)  Solución.

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Mínimo Común Múltiplo de Polinomios.

Regla General.

Se descomponen cada una de las expresiones dadas en sus factores primos (Caso.  I Factor Común de Polinomios); y el m.c.m.  es el producto de los factores primos  comunes y no comunes , con su mayor exponente.

Ejemplo A)  Hallar el m.c.m. de 4ax^2 -8axy +4ay^2  ,   6b^2x -6b^2y

>> Descomponiendo las expresiones en en sus factores primos (Caso I Factor Común Polinomio)

>4ax^2 -8axy +4ay2  =   4a(x^2 -2xy -y^2)  = 2^2a(x -y)^2

> 6b^2x -6b^2y  =  6b^2(x -y) = (2)(3)b^2(x -y)

–> el m.c.m. es =  (2^2)(3)ab^2(x-y)^2 = 12ab2(x -y)^2      Esta es la solución.

Ejemplo B)  Hallar el m.c.m. de  x^3 +2bx^2  ,  x^3y -4b^2xy  ,  x^2y^2 +4bxy^2 +4b^2y^2

>> Descomponiendo las expresiones en sus factores primos (Caso I  Factor Común Polinomio)

> x^3 +2bx^2   = x^2(x +2b)

> x^3y -4b^2xy = xy(x^2 +4b^2) = xy(x +2b)(x -2b)

> x^2y^2 +4bxy^2 +4b^2y^2  =  y^2(x^2 +4bx +4b^2) = y^2(x +2b)^2

–>  el m.c.m. es =  x^2y^2(x +2b)^2(x -2b)    Esta es la Solución.

Ejemplo C)  Hallar el m.c.m. de    m^2 -mn  ,  mn +n^2  ,  m^2 -n^2

>> Descomponiendo las expresiones en sus factores primos (Caso I  Factor Común Polinomio)

> m^2 -mn  = m(m -n)

> mn +n^2  = n(m +n)

> m^2 -n^2  = (m -n)(m +n)

–> el m.c.m. es =  mn(m +n)(m -n)  = mn(m^2 -n^2)  Esta es la Solución.

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Ejercicio 117.

1) Hallar el m.c.m. de 3x +3   ,  6x -6

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 3x +3  =  3(x +1)

> 6x -6 = 6(x -1) = (3)(2)(x -1)

–> el m.c.m. es =   (3)(2)(x +1)(x -1) = 6(x -1)^2  <–  Solución.

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2) Hallar el m.c.m. de   5x +10   ,   10x^2 -40

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 5x +10 = 5(x +2)

> 10x^2 -40 = (5)(2)(x^2 -4) = (5)(2)(x +2)(x -2)

–> el m.c.m es  =    (5)(2)(x +2)(x -2) = 10(x^2 -4)   <– Solución.

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3)  Hallar el m.c.m. de   x^3 +2x^2y   ,   x^2 -4y^2

>>  Descomponiendo las expresiones dadas:

> x^3 +2x^2y =  x^2(x +2y)

> x^2 -4y^2 = (x +2y)(x -2y)

–>  el m.c.m.  =     x^2(x +2y)(x -2y) = x^2(x^2 -4y^2)   <–  Solución.

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4) Hallar el m.c.m. de   3a^2x -9a^2   ,   x^2 -6x +9

>> Descomponiendo las expresiones dadas:

> 3a^2x -9a^2 =  3a^2(x -3)

> x^2 -6x +9 = (x -3)^2

–> el m.c.m.   =  3a^2(x -3)^2    <–   Solución.

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Prof. Jorge A. Carrillo M.

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Mínimo Común Múltiplo de Monomios

Regla General:  El m.c.m de 2 ó más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones algebraicas dadas.

Por ejemplo:

1) El m.c.m. de   4a   y   6a^2  es 12a ,  porque

12a^2  /  4a  =  3a

12a^2  /  6a^2  =  2

2) El m.c.m. de 6x^3   y   9x^4  es  18x^4 ,  porque

18x^4  /  6x^3  =  3x

18x^4  /  9x^4  =  2

NOTA:  En el ejemplo 1) no hay otra expresión algebraica menor que 12a^2 que divida exactamente a las expresiones dadas.  Así como en el ejemplo 2) 18x^4 es la menor expresión algebraica que  divide exactamente a sus respectivas expresiones dadas.

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Mínimo Común Múltiplo de Monomios.

Procedimiento:

Se encuentra el m.c.m. de los coeficientes y a la par de éste se escriben todas las letras distintas, sean comunes o no, con su exponente de mayor grado que aparezca en cualquiera de las expresiones dadas.

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Ejemplo 1) Hallar el m.c.m. de ax^2   y   a^3x

–> El m.c.m. de los coeficientes es   1.  ( En posteriores casos similares, se puede omitir este paso)

–>   En la letra “a” , el exponente de mayor grado es  =  a^3

–>  En la letra “x” , el exponente de mayor grado es  =  x^2

Por tanto, el m.c.m. de ax^2    y    a^3x  es  =  a^3x^2

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Ejemplo 2)  Hallar el m.c.m. de 8ab^2c    y   12 a^3b^2

–> El m.c.m. de  8   y   12    es  = 24 ,

–> En la letra “a” , el exponente de mayor grado es = a^3

–>  En la letra “b” , el exponente de mayor grado es = b^2

–>  En la letra “c” , el exponente de mayor grado es = c

Por lo tanto, el m.c.m. de 8a^2c   y   12a^3b^2  es  =  24a^3b^2c

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Ejemplo 3)  Hallar el m.c.m. de 10a^3x ,  36a^2mx^2   y   24b^2m^4

–> El m.c.m. de  10, 36 y 24  es

10|36|24|2    <– Primos relativos que dividen a cada uno de los coeficientes que están a su izquierda.

05|18|12|2

05|09|06|3

05|03|02|2

05|03|01|3

05|01|01|5.   –> el m.c.m. es =  (2)(2)(3)(2)(3)(5) = 2^3 * 3^2 * 5 = 8 * 9 * 5 = 360

01|01|01|

Las letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son:  a^3  ,   b^2  ,  m^4 ,  x^2

Por lo tanto, el m.c.m. de  10a^3x ,  36a^2mx^2   y   24b^2m^4  es  =  360a^3b^2m^4x^2

NOTA: Para estos casos donde hay varios coeficientes es recomendable utilizar la tabla del Ejemplo 3).

Si tienes otra manera (mental o numérica) de encontrar el menor de los múltiplos que divida exactamente, puedes utilizarla.

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Ejercicio 115.

1) Hallar el m.c.m. de   a^2   ,   ab^3

Letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son:  a^2    ,   b^3

Por lo tanto, el m.c.m. de a^2    y    ab^3  es =  a^2b^3 , que es la Solución.

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2) Hallar el m.c.m. de   x^2y   ,    xy^2

Las letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son : x^2    ,   y^2

Por lo tanto, el m.c.m. de   x^2y    ,   xy^2  es =  x^2y^2 ,   –> Solución.

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3) Hallar el m.c.m. de   ab^2c     y    a^2bc

–>  Letras comunes con su exponente de mayor grado son :  a^2 ,   b^2 ,    c

Por lo tanto, el m.c.m. de  ab^2c    y   a^2bc  es =  a^2b^2c ,  –>  Solución.

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5) Hallar el m.c.m. de   6m^2n    y    4m^3

–> El m.c.m. de  6    y   4

6|4|2

3|2|2

3|1|3    –> el m.c.m es = (2)(2)(3) = 12

1|1|

–> Las letras comunes con su exponente de mayor grado son:  m^2    y    n

Por lo tanto, el m.c.m. de   6m^2n    y    4m^3 es  =  12m^2n ,   –>  Solución.

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6) Hallar el m.c.m. de     9ax^3y^4    ,     15x^2y^5

–> El m.c.m de   9   y   15  es

9|15|3

3|05|3

1|05|5  –> el m.c.m. es =  (3)(3)(5)  =  45

1|01

–> Las letras comunes y no comunes con exponente de mayor grado son:   a  ,   x^3   ,   y^5

Por lo tanto, el m.c.m. de  9ax^3y^4    ,     15x^2y^5  es  =  45x^3y^5  ,   –>  Solución.

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9) Hallar el m.c.m. de   2ab^2   ,   4a^2b   ,   8a^3

–> El m.c.m. de   2  ,   4   y   8  es

2|4|8|2

1|2|4|2

1|1|2|2  –> el m.c.m. es =  (2)(2)(2)  =  8

1|1|1|

–> Las letras con su exponente de mayor grado son:  a^3    y    b^2

Por lo tanto, el m.c.m. de  2ab^2    ,    4a^2b   ,   8^3   es =  8a^3b^2,  –>  Solución.

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17) Hallar el m.c.m. de   9a^2bx  ,   12ab^2x^2   ,   18a^3b^3x

–>El m.c.m. de  9, 12 y 18 es

9|12|18|3

3|04|06|3

1|04|02|2

1|02|01|2   –> el m.c.m. es = (3)(3)(2)(2) = 36

1|01|01|

–> Las letras con su exponente de mayor grado son  a^3  ,   b^3   ,   x^2

Por lo tanto, el m.c.m. de   9a^2bx  ,   12ab^2x^2   ,   18a^3b^3x  es =  36a^3b^3x^2  <– Solución. 

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20)  Hallar  el m.c.m. de   20m^3n^3   ,   24m^3n   ,   30mn^2

–>  El m.c.m. de  20, 24 y 30 es

20|24|30|2

10|12|15|2

05|06|15|5

01|06|03|2

01|03|03|3  –>  el m.c.m. es =  (2)(2)(2)(3)(5) = 120

01|01|01|

–> Las letras  con su exponente de mayor grado son:  m^3  ,   n^3

Por  lo tanto, el m.c.m. de   20m^3n^3   ,   24m^3n   ,   30mn^2 es  =  120m^3n^3 <–  Solución.

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24)  Hallar el m.c.m. de   15mn^2   ,   10m^2   ,   20n^3   ,   25mn^4

–> El m.c.m. de  15, 10, 20 y 25 es

15|10|20|25|5

03|02|04|05|5

03|02|04|01|3

01|02|04|01|2

01|01|02|01|2  –> el m.c.m.  =  (5)(5)(3)(2)(2) =  300

01|01|01|01|

–> Las letras con su exponente de mayor grado son:   m^2   ,   n^3

Por lo tanto, el m.c.m. de   15mn^2   ,   10m^2   ,   20n^3   ,   25mn^4  =  300m^2n^3   <–  Solución.

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26)  Hallar el m.c.m. de   3a^3   ,   8ab   ,   10b^2  ,  12a^2b^3  ,  16a^2b^2

–> El m.c.m. de  3, 8, 10, 12  y 16

3|8|10|12|16|2

3|4|05|06|08|2

3|2|05|03|04|2

3|1|05|03|02|2

3|1|05|03|01|3

1|1|05|01|01|5  –> el m..c.m.  =  (2)(2)(2)(2)(3)(5) = 240

1|1|01|01|01|

–> Las letras con su exponente de mayor grado  son:  a^3   ,   b^3

Por lo tanto, el m.c.m. de   3a^3   ,   8ab   ,   10b^2  ,  12a^2b^3  ,  16a^2b^2  = 240a^3b^3   >– Solución.

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