Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Archivo para la Categoría "Fracciones Algebraicas"

Cambio de signos en la suma y resta de fracciones.

Regla:

Si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es impar, se debe cambiar el signo a toda la fracción; pero si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es par, el signo de toda la fracción no se cambia.

__________________________________________________

Ejemplos:

a) Simplificar  2/ x+1 + 3/ x-1 – x+5 / 1-x²

> Cambiando el signo al denominador de la tercera fracción:

= 2/ x+1 + 3/ x-1 + x+5 / x²-1

> Descomponiendo el denominador de la tercera fracción:

=  2/ x+1 + 3/ x-1 + x+5 / (x+1)(x-1)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores:

El m.c.m. de x+1,  x-1,  (x+1)(x-1) es (x+1)(x-1)

> Dividiendo el m.c.m. a los denominadores de las fracciones:

= 2(x-1) + 3(x+1) + x+5 /(x+1)(x-1)

> Resolviendo operaciones:

= 2x-2+3x+3+x+5 / (x+1)(x-1)

> Reduciendo términos semejantes:

= 6x+6 / (x+1)(x-1)

> Descomponiendo el numerador de la fracción:

= 6(x+1) /(x+1)(x-1)

> Simplificando la fracción:

= 6 / x-1   Solución.

 

b) Simplificar   x / x²-5x+6 – 1 / 2-x – 2x / (3-x)(1-x)

> Descomponiendo en factores x²-5x+6:

= x / (x-3)(x-2) – 1 / 2-x – 2x / (3-x)(1-x)

> Cambiando signo a 2-x

> Cambiando signo a (3-x)(1-x) = (x-3)(x-1)

= x / (x-3)(x-2) + 1/ x-2 – 2x/(x-3)(x-1)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : (x-1)(x-2)(x-3)

= x(x-1) + (x-1)(x-3) – 2x(x-2) /(x-1)(x-2)(x-3)

> Resolviendo operaciones:

= x²-x+x²-4x+3-2x²+4x / (x-1)(x-2)(x-3)

> Reduciendo términos en el denominador:

= -x+3 / (x-1)(x-2)(x-3)

> Cambiando signo a  –x+3 = x-3

> Cambiando signo a     x-1 = 1-x

= x-3 / (1-x)(x-2)(x-3)      (?)

> Simplificando la fracción:

= 1/(1-x)(x-2)   Solución.

(?) Se cambió signo a:  –x+3  y a:  x-1 , para poder dejar la fracción como positiva.

_____________________________________________________

Ejercicio 131.

 1) Simplificar   1/ m-n + m/ n²-m²

> Cambiando signo a  n²-m² = m²-n²

= 1/ m-n – m/ m²-n²

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es m²-n²

= 1(m+n) – m(1) / m²-n²

= m+n-m / m²-n²

> Reduciendo términos y simplificando:

= n/ m²-n²   Solución.

____________________________________________________

2) Simplificar   x²/ x²-xy – 2x/ y-x

> Descomponiendo x²-xy:

= x²/ x(x-y) – 2x/ y-x

> Cambiando signo a  y-x = x-y:

= x²/ x(x-y) + 2x/ x-y

> Buscando el m.c.m. de las denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : x(x-y)

= x²(1) + x(2x) / x(x-y)

> Resolviendo operaciones:

= x²+2x²/ x(x-y)

> Descomponiendo el numerador de la fracción:

=x(x+2x) / x(x-y)

> Reduciendo términos y simplificando la fracción:

= 3x/ x-y    Solución.

____________________________________________________

3) Simplificar  1/ 2x-x² + x/ x²-4

> Descomponiendo factores:

2x-x² = x(2-x)

x²-4 = (x+2)(x-2)

= 1/ x(2-x) + x/(x+2)(x-2)

> Cambiando signo a  2-x = x-2

= – 1/x(x-2) + x/(x+2)(x-2)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : x(x+2)(x-2)

= – 1(x+2) + x(x) / x(x+2)(x-2)

> Resolviendo operaciones:

= -x-2+x² / x(x+2)(x-2)

> Ordenando el numerador:

= x²-x-2 / x(x+2)(x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en factores:

= (x-2)(x+1) / x(x+2)(x-2)

Simplificando la fracción:

= x+1 /x(x+2)    Solución.

__________________________________________________

Simplificación de fracciones, cuando hay que cambiar el signo a uno o más factores.

Nota:

1) Cuando al descomponer una fracción vemos que no se puede simplificar porque el numerador no coincide con el denominador; es entonces cuando procedemos a cambiar el signo a un factor, que puede ser en el numerador o en el denominador, para poder simplificar, pero esto implica que para que no varíe la fracción debemos cambiarle el signo a toda la fracción.

2) Ahora bien si cambiamos  el signo a dos factores, que pueden ser un factor del numerador y a un factor del denominador o los dos factores en el numerador o en el denominador, entonces el signo de toda la fracción no varía.

3) Por lo tanto, si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es impar, se debe cambiar el signo a toda la fracción; pero si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es par, el signo de toda la fracción no se cambia.

_____________________________________________________

Ejemplos:

 

a) Simplificar  2a-2b / 3b-3a

> Descomponiendo el numerador y el denominador de la fracción:

(Aplicando Caso I de factorización)

2a-2b / 3b-3a = 2(a-b) / 3(b-a)

> Como un factor del numerador (a-b) no coincide con un factor del denominador (b-a), entonces se procede a cambiarle signo al factor (b-a) del denominador; y por consiguiente cambiarle signo a toda la fracción:

2(a-b) / 3(b-a) = -2(a-b) / 3(a-b)

> Ahora procedemos a la simplificación:

-2(a-b) / 3(a-b) =

= – 2/3  Solución.

(Se elimina (a-b) del numerador y del denominador en la simplificación).

 

b) Simplificar ax²-9a / 3x-3y-x²+xy

> Descomponiendo los factores de la fracción:

(Aplicando Caso I y Caso IV de Factorización en el numerador)

(Aplicando Caso II de factorización en el denominador)

ax²-9a / 3x-3y-x²+xy

= a(x²-9) / (3x-3y)-(x²-xy) =

a(x+3)(x-3) / 3(x-y)-x(x-y) =

= a(x+3)(x-3) / (x-y)(3-x)

> Simplificando, pero antes se cambia signo al factor (3-x) del denominador para poder eliminarlo con el factor (x-3) del numerador:

= a(x+3)(x-3) / (x-y)(x-3)

= a(x+3) / x-y  Solución.

____________________________________________________

Ejercicio 120.

 

1) Simplificar 4-4x / 6x-6

> Descomponiendo los factores de la fracción

(Aplicando el caso 1 de Factorización)

4-4x / 6x-6 = 4(1-x) / 6(x-1)

> Cambiando los signos de (x-1) por (1-x)

4(1-x) / 6(x-1) = – 4(1-x) / 6(1-x)

> Simplificando la fracción:

– 4(1-x) / 6(1-x) =

= – 4/6

= – 2/3   Solución.

____________________________________________________

3) Simplificar  m²-n² / (n-m)²

> Descomponiendo los factores de la fracción:

(Aplicando el Caso IV de factorización para el numerador)

(Aplicando el Producto Notable, Cuadrado de la diferencia de dos

cantidades, para el denominador)

m²-n² / (n-m)² = (m-n)(m+n) / (n-m)(n-m)

> Cambiando el signo a los dos (par) factores del denominador:

(m-n)(m+n) / (n-m)(n-m) = (m-n)(m+n) / (m-n)(m-n)

> Simplificando la fracción:

(m-n)(m+n) / (m-n)(m-n) =

= m+n / m-n  Solución.

(Esta solución es positiva porque se le cambió signo a dos factores)

____________________________________________________

5)  Simplificar  3y-6x / 2mx-my-2nx+ny

> Descomponer los factores de la fracción:

(Aplicando Caso I en el numerador)

(Aplicando Caso II en el denominador)

3y-6x / 2mx-my-2nx+ny = 3(y-2x) / (2mx-2nx)-(my+ny)

= 3(y-2x) / 2x(m-n-)-y(m-n)

= 3(y-2x) / (2x-y)(m-n)

> Cambiando signo a (2x-y)  por (y-2x):

= – 3(y-2x) / (y-2x)(m-n)

> Simplificando la fracción:

= – 3/m-n   Solución.

____________________________________________________

Simplificación de Fracciones Complejas

Fracción Compleja es aquella en la cual el numerador o el denominador, o ambos, son fracciones algebraicas o expresiones mixtas, es una división indicada, como por ejemplo:

a/x – x/a

. 1 + a/x

La raya de la fracción indica que hay que dividir lo que esta encima de la raya por lo que esta debajo de ella.

_____________________________________

Simplificación de Fracciones Complejas.

Regla:

1) Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y en el denominador de la fracción compleja.

2) Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador.

Ejemplo A)  Simplificar    a/x -x/a  ÷  1 + a/x

>> Resolviendo el numerador  a/x – x/a = a^2-x^2/ax

>>Resolviendo el denominador   1 + a/x  = x+a/x

>> La fracción compleja quedaría así:

a^2-x^2/ax  ÷  a+x/x

>> Dividiendo la nueva fracción seria:

a^2-x^2/ax  *  x/a+x  = (a+x)(a-x)/ax  *  x/a+x

>> Simplificando términos comunes del numerador con el denominador, y luego multiplicando:

(a+x)(a-x)/ax  *  x/a+x =  a-x/a * 1 = a-x/a  Solución.

____________________________________

Ejemplo B)  Simplificar    x-1 – 12/x-2  ÷  x+6 + 16/x-2

>> Resolviendo el numerador    x-1 – 12/x-2  = (x-1)(x-2) -12/x-2

= x^2-3x+2-12/x-2  =  x^2-3x-10/x-2

>> resolviendo el denominador    x+6 +16/x-2  = (x+6)(x-2) +16 /x-2

= x^2-+4x-12+16/x-2  = x^2+4x+4/x-2

>> La fracción compleja quedaría así:

x^2-3x-10/x-2  ÷  x^2+4x+4/x-2

>> Dividiendo la nueva fracción seria:

x^2-3x-10/x-2  *  x-2/x^2+4x+4 = (x-5)(x+2)/x-2  * x-2/(x+2)(x+2)

>> Simplificando términos comunes del numerador con el denominador, y luego multiplicando.

(x-5)(x+2)/x-2  * x-2/(x+2)(x+2) = x-5 * 1/x+2 =

= x-5/x+2  <— Solución.

___________________________________

Ejercicio 137

1) Simplificar   a – a/b  entre  b – 1/b

>> Resolviendo el numerador y el denominador

a -a/b ÷  b -1/b = ab-a/b  ÷  b(b)-1/b = ab-a/b  ÷  b^2-1/b

>> Convirtiendo a multiplicación y factorado términos:

ab-a/b * b/b^2-1 = a(b-1)/b  * b/(b+1)(b-1)

>> Reduciendo términos y multiplicando

a(b-1)/b  * b/(b+1)(b-1) = a/1 * 1/b+1 =

= a/b+1  Solución.

____________________________________

2)  Simplificar   x^2 -1/x   entre  1- 1/x

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

x(x^2)-1/x ÷ x(1)-1/x = x^3-1/x ÷ x-1/x

>> Convirtiendo a multiplicación:

= x^3-1/x * x/x-1

>> Reduciendo términos y multiplicando:

x^3-1/x * x/x-1= x^3-1/1 * 1/x-1 = (x^3-1)/x-1

>> Simplificando

(x-1)(x^2+x+1)/x-1 = x^2+x+1   Solución.

_____________________________________

3) Simplificar    a/b -b/a  entre 1 +b/a

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

a(a)/b – b(b)/a ÷ a(1) +b/a = a^2-b^2/ab ÷ a+b/a

>> Convirtiendo a multiplicación:

a^2-b^2/ab * a/a+b = (a-b)(a+b)/ab * a/a+b

>>Simplificando y multiplicando:

(a-b)(a+b)/ab * a/a+b = a-b/b * 1/1 =

= a-b/b <– Solución.

____________________________________

4) Simplificar  1/m +1/n entre 1/m -1/n

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

1(n) +1(m))mn ÷ 1(n) -1(m)/mn = n+m/mn ÷ n-m/mn

>> Convirtiendo a multiplicación:

= n+m/mn * mn/n-m

>> Simplificando y multiplicando:

n+m/mn * mn/n-m = n+m/n-m  o = m+n/n-m  Solución.

______________________________________

5) Simplificar  x +x/2 entre x -x/4

>> Resolviendo el numerador y el denominador:

2(x) +x/2 ÷ 4(x) -x/4 = 2x+x/2 ÷ 4x-x/4 = 3x/2 ÷ 3x/4

>> Convirtiendo a multiplicación:

= 3x/2 * 4/3x

>> Simplificando y multiplicando:

3x/2 * 4/3x = 1/2 * 4/1 = 4/2 = 2  <– Solución.

___________________________________

División de Fracciones Algebraicas

Regla:

Cambiar la segunda fracción (divisor) por su inverso (ejemplo: 3x/6 su inverso es –> 6/3x) y proceder a multiplicar las dos fracciones, aplicando las reglas para la multiplicación de fracciones algebraicas.

____________________________________

Ejemplo A) Simplificar   4a^2/3b^2  entre 2ax/9b^3

>> Cambiando la segunda fracción por su inversa

2ax/9b^3 –> inversa –> 9b^3/2ax

>> Multiplicando las fracciones

4a^2/3b^2 * 9b^3/2ax = (4)(9)(a^2)(b^3)/(3)(2)(a)(b^2)(x) = 36a^2b^3/6ab^2x

>> Simplificando la fracción resultante

36a^2b^3/6ab^2x = 6ab/x  <–  Solución.

Nota:

Para simplificar fracciones se dividen los elementos comunes así:

36/6 =6  ;  a^2/a = a  ;  b^3/b^2 = b ;

en este caso la “x” como no tiene ningún común en el numerador; solo se copia donde esta.

____________________________________

Ejemplo B) Simplificar x^2+4x/8 entre  x^2-16/4

>> Cambiando la división a multiplicación:

x^2-16/4  inverso –> 4/x^2-16

>> Factorizando:

x^2+4x/8  *  4/x^2-16 = x(x+4)/8 * 4/(x-4)(x+4)

>> Simplificando y luego multiplicando:

x(x+4)/8 * 4/(x-4)(x+4) =  x/2 * 1/x-4 = x/2x-8  <– Solución.

_____________________________________

Ejercicio 134

1)  Simplificar  x^2/3y^2  entre  2x/y^3

>> Cambiando la división a multiplicación:

x^2/3y^2 ÷ 2x/y^3 = x^2/3y^2 * y^3/2x

>> Multiplicando y simplificando:

x^2y^3/6xy^2) = xy/6  <–  Solución.

____________________________________

2) Simplificar   3a^2b/5x^2  entre  a^2b^3

>> Cambiando división a multiplicación:

3a^2b/5x^2 ÷ a^2b^3/1 = 3a^2b/5x^2 * 1/a^2b^3

>> Multiplicando y simplificando:

3a^2b/5a^2b^3x^2 = 3/5b^2x^2   <–  Solución.

___________________________________

3) Simplificar  5m^2/7n^3 entre 10m^4/14an^4

>> Cambiando la división a multiplicación:

5m^2/7n^3  ÷  10m^4/14an^4 = 5m^2/7n^3 * 14an^4/10m^4

>> Multiplicando:

5m^2/7n^3 * 14an^4/10m^4 = 70am^2n^4/70n^3m^4

>> Simplificando:

70am^2n^4/70n^3m^4 = an/m^2  <–  Solución.

______________________________________

4) Simplificar  6a^2x^3  entre  a^2x/5

>> Cambiando la división en multiplicación:

6a^2x^3  ÷  a^2x/5 =  6a^2x^3 * 5/a^2x

>> Multiplicando:

6a^2x^3/1 * 5/a^2x = 30a^2x^3/a^2x

Simplificando:

30a^2x^3/a^2x = 30x^2/1 = 30x^2  <–  Solución.

_____________________________________

5) Simplificar  15m^2/19ax^3  entre  20y^2/38a^3x^4

>> Cambiando la división en multiplicación:

15m^2/19ax^3   ÷  20y^2/38a^3x^4 = 15m^2/19ax^3 * 38a^3x^4/2oy^2

>> Multiplicando:

15m^2/19ax^3 * 38a^3x^4/2oy^2  = 570a^3m^2x^4/380ax^3y^2

>> Simplificando:

570a^3m^2x^4/380ax^3y^2 = 3a^2m^2x/2y^2  <–  Solución.

______________________________________

6) Simplificar  11x^2y^3/7m^2  entre  22y^4

>> Cambiando la división en multiplicación:

11x^2y^3/7m^2  ÷  22y^4/1 = 11x^2y^3/7m^2 * 1/22y^4

>> Multiplicando

11x^2y^3/7m^2 * 1/22y^4 = 11x^2y^3/154m^2y^4

>> Simplificando:

11x^2y^3/154m^2y^4 = x^2/14m^2y  <–  Solución.

______________________________________

Multiplicación de expresiones mixtas.

Regla:

Se reducen las expresiones mixtas a fracciones

y luego se multiplican estas fracciones,

aplicando las reglas para la multiplicación.

____________________________________

Ejemplo.  Multiplicar  a+3 – 5/a-1 por  a-2 + 5/a+4

>> Reduciendo las expresiones mixtas a fracciones:

1) a+3 -5/a-1 = (a+3)(a-1)- 5/ a-1 = a^2+2a-3 -5/a-1 = a^2+2a-8/a-1

2) a-2 +5/a+4 = (a+4)(a-2) +5/a+4 = a^2+2a-8 +5/a+4 = a^2+2a-3/a+4

>> Se factorizan las fracciones resultantes (1) y (2)

a^2+2a-8/a-1  *  a^2+2a-3(a+4) = (a+4)(a-2)/a-1 * (a+3)(a-1)/a+4

(al simplificar se elimina el (a+4) de la 1° fracción con el (a+4) de la 2° ;

y el (a-2) de la primera con el (a-2) de la 2°)

>> Se simplifican las fracciones factorizadas

(a-2) (a+3)

>> se multiplican y seria igual a:   a^2+a-6 , que es la Solución.

_____________________________________

Ejercicio 133

1) Multiplicar  a + a/b   por   a – a/b+1

Reduciendo las expresiones a fracciones:

1) a + a/b = ab+a /b

2) a – a/b+1 = a(b+1)-a /b+1

Multiplicando las fracciones resultantes:

(ab+a /b) [a(b+1) -a/b+1] = a^2b+a(b+1)-a/b(b+1)

Simplificando la fracción resultante se eliminan lo siguiente:

la “b”  y (b+1) del numerador de la fracción con

la “b” y (b+1) del denominador de la fracción;

la “a” y la “-a” del numerador por tener el mismo coeficiente y distinto signo.

y queda así:

a^2 +a-a /1 = a^2/1 =   a^2  Solución.

______________________________________

2) Multiplicar  (x – 2/x+1)(x + 1/x+2)

>> Reduciendo las expresiones a fracciones :

1) x – 2/x+1 = x(x+1) -2/x+1 = x^2+x-2 /x+1

2) x + 1/x+2 = x(x+2) +1/x+2 = x^2+2x+1 /x+2

>> Simplificando las fracciones resultantes:

x^2+x-2/x+1  .  x^2+2x+1 /x+2 = (x+2)(x-1)/x+1  .  (x+1)(x+1)/x+2

Eliminando términos comunes queda así:

(x-1)(x+1)

Multiplicando factores es =

x^2-1  <–  Solución.

____________________________________

3) Mulltiplicar  (1- x/a+x)(1+ x/a)

Reduciendo las expresiones a fracciones:

[1(a+x)-x(a+x)/a+x] [a+x/a]

Simplificando las fracciones:

(a+x-x/a+x)(a+x/a)

Eliminado términos comunes queda asi:

(a)(1/a) = 1 <–  Solución.

____________________________________

4) Multiplicar (a+ ab/a-b)(1- b^2/a^2)

Reduciendo las expresiones a fracciones:

[a(a-b)+ab/a-b][1(a^2)-b^2/a^2]

Simplificando las fracciones y eliminando términos comunes

(a^2-ab+ab/a-b)(a^2-b^2/a^2) = (1/a-b)(a^2-b^2/1)

Multiplicando las fracciones:

a^2-b^2/a-b = (a-b)(a+b/a-b)

Simplificando y eliminar términos comunes:

a+b/1 = a+b  <–  Solución.

_____________________________________

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

Regla general para Multiplicar Fracciones.

1) Se descomponen en factores, cuanto sea posible, los términos de las fracciones que se van a multiplicar.

2) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores.

3) Se multiplican entre si las expresiones que queden en los numeradores y los denominadores después de simplificar.

4) El producto que resulte de los numeradores se parte entre el producto que resulte de los denominadores.

______________________________________________

Ejemplo A) Multiplicar 2a/3b^3  por  3b^2/4x  por  x^2/2a^2

>>multiplicando los numeradores y los denominadores:

2(a)(3)(b^2)(x^2)/3(b^3)(4)(x)(2)(a^2) = 6ab^3x^2/24a^2b^3x

>> Suprimiendo los factores comunes en el numerador y el denominador:

x/4ab    que es la Solución.

_____________________________________________

Ejemplo B) Multiplicar  3x-3/2x+4  por  x^2+4x+4/x^2-x

>> Factorando numeradores y denominadores:

3(x-1)/2(x+2)  .   (x+2)(x+2)/x(x-1) =

Suprimiendo factores quedaria asi:

3/2  .  x+2/x

>> Multiplicando la fracción quedaría:

3/2  .  x+2/x = 3x+6/2x  ,  <– Solución.

En la supresión se eliminó (x-1) de la primera fracción con el (x-1) de la 2ª fracción,

y se eliminó (x+2) de la 1ª fracción con el (x+2) de la 2ª fracción.

_____________________________________________

Ejemplo C)  

Multiplicar  a^2-1/a^2+2a  por  a^2-a-6/3a^2+7a+4  por  3a+4/a^2-4a+3

>> Factorando quedaría así:

(a+1)(a-1)/a(a+2) .  (a-3)(a+2)/(a+1)(3a+4)  .  3a+4/(a-1)(a-3)

>> Suprimiendo factores en las fracciones quedaría así:

1/a  .  1/1  .  1/1

>> Multiplicando las fracciones quedaría así:

1/a  , que es la solución.

> Se suprimió (a+1) de la 1ª fracción con (a+1) de la 2ª ; se suprimió (a-1) de la 1ª fracción con (a-1) de la 3ª ; se suprimió (a+2) de la 1ª fracción con (a+2) de la 2ª ; se suprimió (a-3) de la 2ª fracción con (a-3) de la 3ª ; y se suprimió (3a+4) de la 2ª fracción con (3a+4) de la 3ª.   Quedando en la primera fracción  1/a ; en la 2ª  1/1 y en la 3ª  1/1 .

_____________________________________________

Ejercicio 132.

En estos ejercicios omitiré las algunas explicaciones, que ya mencione en los ejemplos, para hacer los ejercicios mas cortos y prácticos.

1) Multiplicar 2a^2/3b  por  6b^2/4a

>>Multiplicando es igual a

12a^2b^2/12ab

>> Simplificando es igual a

ab/1 =  ab  <–  Solución.

__________________________________________

2) Multiplicar x^2y/5  por  10a^3/3m^2  por  9m/x^3

>> Multiplicando es igual a:

90a^3mx^2y/15m^2x^3 =

>> Simplificando es igual a

6a^3y/mx  <–  Solución.

__________________________________________

3) Multiplicar 5x^2/7y^3  por 4y^2/7m^3  por  14m/5x^4

>> Multiplicando es igual a:

280mx^2y^2/245m^3x^4y^3 =

>> Simplificando es igual a

8/7m^2x^2y  <–  Solución.

___________________________________________

7) Multiplicar  2x^2+x/6  por  8/4x+2

>> Factorando la fracción:

x(2x+1)/6  .  8/2(2x+1)

>> Simplificando factores comunes:

x/6  .  8/2 =

>> Multiplicando las fracciones:

x/6  .  8/2 = 8x/12 = 2x/3  <–  Solución.

____________________________________________

8) Multiplicar  5x+25/14  por  7x+7/10x+50

>> Factorando las fracciones:

5(x+5)/14  .  7(x+1)/10(x+5)

>> Simplificando

5/14  .  7(x+1)/10 = 1/2  .  x+1/2

>> Multiplicando

x+1/4  <–   Solución.

__________________________________________

9) Multiplicar  m+n/mn-n^2  por  n^2/m^2-n^2

>> Factorando

m+n/n(m-n)  .  n^2/(m+n)(m-n)

>> Multiplicando

n^2(m+n)/n(m+n)(m-n)^2

>> Simplificando

n/(m-n)^2 = n/m^2-2mn+n^2  <–  Solución.

__________________________________________

Resta de Fracciones con Denominadores Compuestos.

Regla General para Restar Fracciones.

1) Se factorizan los denominadores.

2) Se simplifican las fracciones dadas, si es necesario.

3) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si es necesario.

4) Se efectúan las operaciones indicadas.

5) Se restan los numeradores factorados y simplificados y se parten por el denominador común.

6) Se reducen los términos semejantes en el numerador.

7) Se simplifica el resultado a su mínima expresión.

____________________________________

Ejemplo A)  Restar   a/ab-b^2   –   1/b

>> Factorizando los denominadores

ab-b^2 = b(a-b)

b = b

>> Encontrando el m.c.m.  de   b(a-b)   y  b es = b(a-b) –>

b(a-b) ÷ b(a-b) = 1  –>  1(a) = a

b(a-b) ÷ b = a-b  –> (a-b)1 =  a-b

>> La resta quedaría así:

(a) – (a-b) /b(a-b) =  a-a+b/b(a-b)

>>  Reduciendo términos semejantes y simplificando =

b/b(a-b) = 1/a-b   <–  , que es la solución.

____________________________________

Ejemplo B)  Restar  2/x+x^2   –   1/x-x^2   –    1-3x/x-x^3

>> Factorizando denominadores

x+x^2 = x(1+x)

x-x^2 = x(1-x)

x-x^3 = x(1-x^2) = x(1-x)(1+x)

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es x(1-x)(1+x)  –>

x(1-x)(1+x) ÷ x(1+x)= 1-x   –> (1-x)(2) = 2-2x

x(1-x)(1+x) ÷ x(1-x)=  1+x  –> (1+x)(1) = 1+x

x(1-x)(1+x) ÷ x(1-x)(1+x) =  1   –> (1)(1-3x) = 1-3x

>>  La resta quedaría así:

2-2x -(1+x) -(1-3x) /x(1-x)(1+x) = 2-2x-1-x-1+3x /x(1-x)(1+x) =

>> Reduciendo términos semejantes y simplificando es =

0/x(1-x)(1+x) = 0  <–  Es la solución.

Nota: al reducir los términos en el numerador (-2x-x+3x) y (2-1-1) el resultado es cero; y cualquier fracción con numerador (cero) equivale a (cero).

_____________________________________

Ejemplo C)  Restar  4x^2-1/2x^2-8  –  (x+1)^2/x^2+4x+4  –  x+3/x-2

>> Factorizando los denominadores:

2x^2-8 = 2(x^2-4) = 2(x-2)(x+2)

x^2+4x+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)^2

x-2 = x-2

>> El m.c.m. de los denominadores factorados es = 2(x+2)^2(x-2) –>

2(x+2)^2(x-2) ÷ 2(x-2)(x+2)= x+2   –> (x+2)(4x^2-1)

2(x+2)^2(x-2) ÷ (x+2)^2 = 2(x-2)   –> 2(x-2)(x+1)^2

2(x+2)^2(x-2) ÷ (x-2) = 2(x+2)^2   –> 2(x+2)^2(x+3)

>> La resta quedaría así:

(x+2)(4x^2-1) – 2(x-2)(x+1)^2 – 2(x+2)^2(x+3)/2(x+2)^2(x-2) =

>> Simplificando por factorización:

4x^3+8x^2-x-2 – 2(x-2)(x^2+2x+1) – 2(x^2+4x+4)(x+3)/2(x+2)^2(x-2) =

4x^3+8x^2-x-2 -(2x^3-6x-4) -(2x^3+14x^2+32x+24)/2(x+2)^2(x-2) =

4x^3+8x^2-x-2 -2x^3+6x+4 -2x^3-14x^2-32x-24/2(x+2)^2(x-2) =

>> Reduciendo términos semejantes es =

-6x^2-27x-22/2(x+2)^2(x-1)

>> Cambiando los signos a (-6x^2-27x-22)  y a (x-1) es =

6x^2+27x+22/2(x+2)^2(1-x) , que es la Solución.

____________________________________

Ejercicio 129.

1) De 1/x-4  restar 1/x-3

>>No es necesario simplificar ni factorar la fracción.

>> El m.c.m. de x-4   y   x-3 es =  (x-4)(x-3)  –>

(x-4)(x-3) ÷ x-4 = x-3   –> (x-3)1 = x-3

(x-4)(x-3) ÷ x-3 = x-4   –> (x-4)1 = x-4 –>

>> La resta quedaría así :

(x-3) -(x-4)/(x-4)(x-3) = x-3-x+4/(x-4)(x-3)

>> Reduciendo términos semejantes  es =

x/(x-4)(x-3)  <– que es la Solución.

_____________________________________

2) De  m-n/m+n  restar  m+n/m-n

>> No es necesario simplificar ni factorar.

>> El m.c.m. de m+n   y    m-n es =(m+n)(m-n) –>

(m+n)(m-n) ÷ m+n = m-n   –> (m-n)(m-n) = m^2 -2mn+n^2

(m+n)(m-n) ÷ m-n = m+n   –> (m+n)(m+n)= m^2 +2mn +n^2

>> La resta quedaría así:

m^2-2mn+n^2-(m^2+2mn+n^2)/(m+n)(m-n) =

= m^2-2mn+n^2 -m^2-2mn-n^2/(m+n)(m-n)

>> Reduciendo términos semejantes es =

-4mn/(m+n)(m-n) = -4mn/m^2-n^2 = 4mn/n^2-m^2 ,  Solución.

_____________________________________

3) De 1-x/1+x  restar  1+x/1-x

>> El m.c.m. de 1+x   y   1-x  es = (1+x)(1-x) –>

(1+x)(1-x) ÷ 1+x = 1-x    –> (1-x)(1-x) = 1-2x+x^2

(1+x)(1-x) ÷ 1-x = 1+x   –>  (1+x)(1+x) = 1+2x+x^2

>> La resta quedaría así:

1-2x+x^2 -(1+2x+x^2)/(1+x)(1-x) =

1-2x+x^2-1-2x-x^2/(1+x)(1-x) =

Reduciendo términos semejantes es =

-4x/(1+x)(1-x) =-4x/1-x^2 = 4x/x^2-1 ,  Solución.

______________________________________

4) De  a+b/a^2+ab   restar   b-a/ab+b^2

>> Factorizando denominadores:

a^2+ab = a(a+b)

ab+b^2 = b(a+b)

>> El m.c.m. de  a(a+b)   y   b(a+b) es = ab(a+b) –>

ab(a+b) ÷ a(a+b) = b  –>  b(a+b) = ab+b^2

ab(a+b) ÷ b(a+b) = a  –>  a(b-a) = ab-a^2

>> La resta quedaría así:

ab+b^2 -(ab-a^2) /ab(a+b) = ab+b^2-ab+a^2 /ab(a+b)

>> Reduciendo términos semejantes es =

a^2-b^2 /ab(a+b) , Solución.

____________________________________

5) De  m+n/m-n  restar  m^2+n^2/m^2-n^2

>> Factorizando denominadores:

m-n = m-n

m^2-n^2 = (m+n)(m-n) = m^2-n^2

>> El m.c.m. de  m-n   y   m^2-n^2 es =  m^2-n^2  –>

m^2-n^2 / m-n = m+n   –> (m+n)(m+n) = m^2+2m+n^2

m^2-n^2 / m^2-n^2 = 1   –> 1(m^2+n^2) = m^2+n^2

>>  La resta quedaría así:

m^2+2mn+n^2 -(m^2+n^2)/ m^2-n^2  = m^2+2mn+n^2-m^2-n^2/m^2-n^2

Reduciendo términos semejantes es =

2mn /m^2-n^2 ,  Solución.

____________________________________

6) Restar  1/x-x^2  de  1/x+x^2

Factorizando denominadores:

x-x^2 =  x(1-x)

x+x^2 = x(1+x)  –>

>> El m.c.m. de   x(1-x)   y   x(1+x) es = x(1-x^2)  –>

x(1-x^2) / x(1-x) = 1+x  –> (1-x)(1) = 1-x

x(1-x^2) / x(1+x) = 1-x  –> (1-x)(1) = 1+x

>> La resta quedaría así :

1-x -(1+x) /x(1-x^2)  =  1-x-1-x /x(1-x^2)

>> Reduciendo términos semejantes y simplificando es =

-2x/x(1-x^2) = 2x/x(x^2-1) = 2/x^2-1  Solución.

_____________________________________

A %d blogueros les gusta esto: