Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Archivo para la Categoría "Ecuaciones de 2° Grado con una Incógnita"

Ecuaciones Incompletas de la forma ax²+bx = 0.

Resueltas por la fórmula  x = -b±b/2(a).
 
Procedimiento:
1) Se hacen las operaciones indicadas, factorización, simplificación necesarias para llegar la ecuación a la forma ax²+bx=0.
2) Se aplica la fórmula.
3) Se encuentran las raíces  x₁ , x₂.
____________________________________
Ejemplos:
 
a) Resolver la ecuación 5x² = -3x
> Ordenando la ecuación:
5x²+3x = 0
 
> Aplicando la fórmula:
x = [-(3)±(3)]/2(5)
x = [-3±3]/10
–>
x₁ = [-3+3]/10 = 0/10 = 0
x₂ = [-3-3]/10 = -6/10 = -⅗
 
b) 3x-1 = 5x+2/x-2
> Realizado operaciones y simplificando:
(3x-1)(x-2) = 5x+2
3x²-7x+2 = 5x+2
3x²-7x-5x+2-2 = 0
3x²-12x = 0
 
> Aplicando la fórmula:
x = [-(-12)± (-12)]/2(3)
x = [12±(-12)]/6
–>
x₁ = [12+(-12)]/6 = [12-12]/6 = 0/6 = 0
x₂ = [12-(-12)]/6 = [12+12]/6 = 24/6 = 4
_____________________________________
Ejercicio  272.
Resolver las ecuaciones:
 
1) x² = 5x
> Ordenando la ecuación:
x²-5x = 0
 
Aplicando la fórmula:
x = [-(-5)± (-5)]/2(1)
x = [5±(-5)]/2
–>
x₁ = [5+(-5)]/2 = [5-5]/2 = 0/2 = 0
x₂ = [5-(-5)]/2 = [5+5]/2 = 10/2 = 5
_____________________________________
2) 4x² = -32x
> Ordenando la ecuación:
4x²+32x = 0
 
> Aplicando la fórmula:
x = [-(32)±(32)]/2(4)
x = [-32±32]/8
–>
x₁ = [-32+32]/8 = 0/8 = 0
x₂ = [-32-32]/8 = -64/8 = -8
_____________________________________
3) x²-3x = 3x²-4x
> Ordenando la ecuación:
x²-3x²-3x+4x = 0
-2x²+x = 0
2x²-x = 0
 
> Aplicando la fórmula:
x = [-(-1)±(-1)]/2(2)
x = [1±(-1)]/4
–>
x₁ = [1+(-1)]/4 = [1-1]/4 = 0/4 = 0
x₂ = [1-(-1)]/4 = [1+1]/4 = 2/4 = ½
_____________________________________
4) 5x²+4 = 2(x+2)
> Realizando operación y ordenando la ecuación:
5x²+4 = 2x+4
5x²-2x+4-4 = 0
5x²-2x = 0
 
> Aplicando la fórmula:
x = [-(-2)±(-2)]/2(5)
x = [2±(-2)]/10
–>
x₁ = [2+(-2)]/10 = [2-2]/10 = 0/10 = 0
x₂ = [2-(-2)]/10 = [2+2]/10 = 4/10 =
_____________________________________
5) (x-3)²-(2x+5)² = -16
> Efectuando factorización y simplificación:
x²-6x+9 –(4x²+20x+25) = -16
x²-6x+9-4x²-20x-25+16 = 0
-3x²-26x = 0
3x²+26x = 0
 
> Aplicando la fórmula:
x = [-(26)±(26)]/2(3)
x = [-26±26]/6
–>
x₁ = [-26+26]/6 = 0/6 = 0
x₂ = [-26-26]/6 = -52/6 = -8⁴̷₆ = -8²̷₃
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Ecuaciones Incompletas de la forma ax²+c = 0.

Procedimiento:
1) Resolver operaciones indicadas.
2) Cuando son fraccionarias, quitar denominadores.
3) Simplificar a la forma ax²+c = 0.
4) Encontrar las raíces x₁ , x₂.
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Ejemplos:
a) Resolver x²+1 = 7x²/9 +3
> Quitando denominadores:
El m.c.m. de 1 y 9  es 9
Aplicando el m.c.m.:
9x²+9 = 7x² +27
 
> Transponiendo y reduciendo términos:
9x²-7x²+9-27 = 0
2x²-18 = 0
 
> Simplificando para encontrar las raíces:
x² = 18/2
x = ±√9
x = ±3
–>
x₁ = 3
x₂ = -3
Las dos raíces son reales y racionales y al multiplicarlas
por sí mismas dan el mismo resultado, que es 9.
 
b) x²+5 = 7
> Trasponiendo términos y simplificando:
x²+5-7 =0
x²-2 = 0
 
> Simplificando para encontrar las raíces:
x = ±√2
–>
x₁ = √2
x₂ = -√2
Las dos raíces son reales e irracionales.
____________________________________<-
c) 5x²+12 = 3x²-20
 
> Transponiendo términos y simplificando:
5x²-3x²+12+20 = 0
2x²+32 = 0
 
> Simplificando para encontrar las raíces:
x² = – 32/2 = -16
x = ±√-16
x = ±4√-1  +ó
x = ±4í
–>
x₁ = 4√-1  ó 4í
x₂ = -4√-1   ó  -4í
Las dos raíces son imaginarias.
______________________________________
Ejercicio 271.
Resolver las ecuaciones:
 
1) 3x² = 48
> Transponiendo términos:
3x²-48 = 0
 
> Simplificando para encontrar las raíces:
x² = 48/3
x² = 16
x = ±√16
x = ±4
–>
x₁ = 4
x₂ = -4
____________________________________
5) (x+5)(x-5) = -7
> Realizando operación:
x²-25 = -7
 
> Transponiendo términos y simplificando;
x²-25+7 = 0
x²-18 = 0
x = ±√18
x = ±√3²(2)
x = ± 3√2
–>
x₁ = 3√2
x₂ = -3√2
____________________________________
6) (2x+3)(2x-3)-135 = 0
> Realizando operación:
4x²-9-135 = 0
4x²-144 = 0
 
> Simplificando para encontrar las raíces:
x² = 144/4
x² = 36
x = ±√36
x = ± 6
–>
x₁ = 6
x₂ = -6
____________________________________
10) 5/2x² – 1/6x² =7/12
> Quitando denominadores:
El m.c.m. de 2x²,  6x²,  12  es  12x²
Aplicando el m.c.m. es:
30-2= 7x²
 
> Ordenando y cambiando signo a la ecuación:
-7x²+28 = 0
7x²-28 = 0
 
> Simplificando para encontrar las raíces:
x² = 28/7
x² = 4
x = ±√4
x =± 2
–>
x₁ = 2
x₂ =-2
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11) 2x-3/x-3 = x-2/x-1
> Simplificando y ordenando la ecuación:
(2x-3)(x-1) = (x-3)(x-2)
2x²-5x+3 = x²-5x+6
2x²-x²+3-6 = 0
x²-3 = 0
 
> Simplificando para encontrar las raíces:
x² = 3
x = ±√3
–>
x₁ = √3
x₂ = -√3
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Ecuaciones Literales de 2° Grado con una Incógnita.

Estas se resuelven igual que las ecuaciones numéricas, por la fórmula general o por descomposición de factores.
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Ejemplos:
a) Resolver, por la fórmula general, la ecuación 3a/x -2x/a = 1
> Quitando denominadores:
El m.c.m. de  x ,  a   es   ax
 
> Aplicando el m.c.m.  es =
3a²-2x² = ax
 
> Simplificando la ecuación:
-2x²-ax+3a²
2x²+ax-3a²
 
> Aplicando la fórmula:
x = [-(a)±√(a)²-4(2)(-3a²)]/2(2)
x = [-a±√a²+24a²]/4
x = [-a±√25a²]/4
x = [-a±5a]/4
Entonces:
x₁ = (-a+5a)/4 = 4a/4 = a
x₂ = (-a-5a)/4 = -6a/4 = -³̷₂a
____________________________________
b) Resolver, por factorización,  2x²-4ax+bx= 2ab
> Transponiendo términos:
2x²-4ax+bx-2ab = 0
 
> Aplicando Caso II (Factor Común por agrupación de términos)
(2x²-4ax)+(bx-2ab) = 0
2x(x-2a)+b(x-2a) = 0
(x-2a)(2x+b)
 
> Igualando los factores a cero (0):
x-2a = 0  –>  x₁ = 2a.
2x+b = 0  –> x₂ = – b/2
____________________________________
Ejercicio 270.
Resolver las ecuaciones:
 
1) x²+2ax-35a²
a)> Aplicando la fórmula general:
x = [-(2a)±√(2a)²-4(1)(-35)]2(1)
x = [-2a±√4a²+140a²]/2
x = [-2a±√144a²]/2
x = [-2a±12a]/2
Entonces:
x₁ = (-2a+12a)/2 = 10a/2 = 5a.
x₂ = (-2a-12a)/2 = -14a/2 = -7a.
 
b) > Por factorización es: (Caso VI de Factorización)
x²+2ax-35a²
(x+7a)(x-5a) = 0
 
>Igualando los factores a cero (0):
x+7a = 0  –>  x₁ = -7a.
x -5a = 0 –>  x₂ = 5a.
_____________________________________
2) 10x² = 36a²-37ax
> Transponiendo términos y ordenando:
10x²+37ax-36a² = 0
 
a) Por la fórmula general :
x = [-(37a)±√(37a)²-4(10)(-36a²)]/2(10)
x = [-37a±√1369a²+1440a²]/20
x = [-37a±√2809a²]/20
x = [-37a±53a]/20
Entonces:
x₁ = (-37a+53a)/20 = 16a/20 = ⅘a
x₂ = (-37a -53a)/20 = – 90a/20 = – ⁹̷₂a
 
b) Por factorización: (caso VII de Factorización)
(10x)²+37a(10x)-360a² = 0
(10x+45a)(10x-8a) = 0
—-  5               2
(2x+9a)(5x-4a) = 0
> Igualando los factores a cero (0):
2x+9a = 0  –>  x₁ = – ⁹̷₂a
5x -4a = 0  –>  x₂ = ⅘a
____________________________________
3) a²x²+abx-2b²
 
> Aplicando la fórmula general:
x = [-(ab)±√(ab)²-4(a²)(-2b²)]/2(a²)
x = [-ab±√a²b²+8a²b²]/2a²
x = [-ab±√9a²b²]/2a²
x = [-ab±3ab]/2a²
Entonces:
x₁ = (-ab+3ab)/2a² = 2ab/2a² = b/a
x₂ = (-ab-3ab)/2a² = -4ab/2a² = -2b/a
_____________________________________
4) 89bx = 42x²+22b²
 
> Ordenando y cambiando signo a la ecuación:
-42x²+89bx-22b² = 0
42x²-89bx+22b² = 0
 
> Aplicando la fórmula general:
x = [-(-89b)±√(-89b)²-4(42)(22b²)]/2(42)
x = [89b±√7921b²-3696b²]/84
x = [89b±√4225b²]/84
x = [89b±65b]/84
Entonces:
x₁ = (89b+65b)/84 = 154b/84 =11b/6
x₂ = (89b-65b)/84 = 24b/84 = 2b/7
____________________________________
 

Ecuaciones de 2° Grado con una Incógnita, por descomposición de factores.

Procedimiento:
1) Se simplifica la ecuación, para llevarla a la forma x²+bx+c = 0 
     ó a la forma  ax²+bx+c=0.
2) Se factoriza el primer miembro de la ecuación, aplicando el Caso de Factorización que corresponda.
3) Se igualan a cero (0) cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones simples que resulten.
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Ejemplo:
 
Resolver x²+5x-24 = 0,  por descomposición de factores.
 
> Factorando el trinomio x²+5x-24:
x²+5x-24
(x+8)(x-3) = 0  (Se usó Caso VI de Factorización)
 
> Igualando a cero (0) los factores:
x+8 = 0  –> x₁ = -8
x -3 = 0  –> x₂ = 3
____________________________________
Ejercicio 269.
Resolver por descomposición de factores:  (Caso VI de Factorización)
 
1)  x²-x-6  = 0
 
> Factorando el trinomio:
x²-x-6
(x-3)(x+2)= 0
 
> Igualando los factores a cero (0):
x-3 = 0  –>  x₁ = 3
x+2 = 0 –>  x₂ = -2
__________________________________________________ 
2) x²+7x = 18
 
> Ordenando la ecuación:
x²+7x-18 = 0
 
> Factorando el trinomio:  (Caso VI de Factorización)
x²+7x-18
= (x+9)(x-2) = 0
 
> Igualando los factores a cero (0):
x+9 = 0  –>  x₁ = -9
x -2 = 0  –>  x₂ = 2
 __________________________________________________
5) 2x²+7x-4 = 0
 
> Factorando el trinomio: (Caso VII de factorización)
2x²+7x-4
= (2x)²+7(2x)-8 = 0
= (2x+8)(2x-1) = 0
—-  2        1
= (x+4)(2x-1) = 0
 
> Igualando los factores a cero (0):
x+4 = 0   –>  x₁ = -4
2x-1 = 0 –>  x₂ = ½
 __________________________________________________
6) 6x²= 10-11x
 
> Ordenando la ecuación:
6x²+11x-10 = 0
 
> Factorizando el trinomio:  (Caso VII de Factorización)
(6x)²+11(6x)-60 = 0
(6x+15)(6x-4) = 0
—  3         2
(2x+5)(3x-2) = 0
 
> Igualando los factores a cero (0):
2x+5 = 0  –>  x₁ =  – ⁵̸₂
3x -2 = 0  –>  x₂ = ⅔
 _________________________________________________
11) (x-2)²-(2x+3)² = -80
 
> Factorizando los binomios:   ( Se usó Caso IV de Factorización y
Cuadrado de la suma de 2 cantidades)
x²-4x+4-(4x²+12x+9)+80 = 0
x²-4x+4-4x²-12x-9+80 = 0
-3x²-16x+75 = 0
3x²+16x-75 = 0
 
> Factorizando el trinomio resultante: (Caso VII de factorización)
(3x)²+16(3x)-225 = 0
(3x+25)(3x-9) = 0
—  1         3
(3x+25)(x-3) = 0
 
> Igualando los factores a cero (0):
3x+25 = 0  –>  x₁ = – 25/3 = – 8⅓
x-3 = 0  –>  x₂ = 3
 __________________________________________________
12) 6/x² -9/x = – 4/3
 
> Quitando denominadores:
El m.c.m. de x², x, 3  es  3x²
Aplicando el m.c.m.:
18-27x= -4x²
 
> Ordenando la ecuación:
4x²-27x+18 = 0
 
> Factorizando el trinomio:  (Caso VII de factorización)
(4x)²-27(4x)+72
(4x-24)(4x-3) = 0
— 4         1
(x-6)(4x-3) = 0
 
> Igualando los factores a cero (0):
x-6 = 0  –>  x₁ = 6
4x-3 = 0  –>  x₂ = ¾
_____________________________________
 

Ecuaciones de 2° Grado con una Incógnita, con denominadores.

Procedimiento:

1) resolver operaciones
2) Quitar denominadores (haciendo uso del m.c.m)
3) Transponer términos semejantes
4) Reducir términos semejantes
5) Aplicar la fórmula general.
___________________________________
Ejemplo:
Resolver 1/3x = 7/5x²-11/60

> Quitando denominadores:
El m.c.m. de 3x, 5x² y 60 es 60x²
Aplicando el m.c.m. :
20x = 84-11x²

> Ordenando la ecuación:
11x²+20x-84 = 0

> Aplicando la fórmula:
x=[-b±√(b)^2-4ac]/2a
x=[-(20)±√(20)^2-4(11)(-84)]/2(11)
x=[-20±√400+3696]/22
x=[-20±√4096]/2a
x=(-20±64)/22
x1=(-20+64)/22=44/22=2
x2=(-20-64)/22=-84/22=-42/11=-3  9/11
___________________________________
Ejercicio 268.
Resolver las siguientes ecuaciones:

1) x²/5 – x/2 = 3/10

> Quitando denominadores:
– El m.c.m. de 5, 2 y 10 es 10

> Aplicando el m.c.m. la ecuación quedaría:
2x²-5x = 3

> Ordenando la ecuación:
2x²-5x-3 = 0

> Aplicando la fórmula general:
x = [-b±√b²-4ac]/2ª
x = [-(-5)±√(-5)²-4(2)(-3)]/2(2)
x = [5±√25+24]/4
x = [5±√49]/4
x = [5±7]/4
> Entonces:
x₁ = 5+7/4 = 12/4 = 3
x₂ = 5-7/4 = -2/4 = -1/2
_____________________________________
2) 4x – 13/x = 3/2

> Quitando denominadores:
– El m.c.m. de x, 2 es 2x

> Aplicando el m.c.m., quedaría así:
8x²-26 =3x

> Ordenando la ecuación:
8x²-3x-26 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = [-(-3)±√(-3)²-4(8)(-26)]/2(8)
x = [3±√9+832]/16
x = [3±√841]/16
x = [3±29]/16

> Entonces:
x₁ = (3+29)/16 = 32/16 = 2
x₂ = (3-29)/16 = 26/16 = 13/8 = 1⅝
____________________________________
3) x²/6 – x/2 = 3(x-5)
> Realizando operaciones:
x²/6 – x/2 = 3x-15

> Quitando denominadores:
– El m.c.m. de 6, y 2 es 6

> Aplicando el m.c.m.:
x²-3x = 18x-90

> Reduciendo términos y ordenando la ecuación:
x²-21x+90 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = [-(-21)±√(-21)²-4(1)(90)]/2(1)
x = [21±√441-360]/2
x = [21±√81]/2
x = [21±9]/2
Entonces:
x₁ = (21+9)/2 = 30/2 = 15
x₂ = (21-9)/2 = 12/2 = 6
___________________________________
4) ¼(x-4)+⅖(x-5) = ⅕(x²-53)

> Quitando denominadores:
– El m.c.m. de 4 y 5 es 20

> Aplicando el m.c.m.:
5(x-4)+8(x-5) = 4(x²-53)

> Realizando operaciones:
5x-20+8x-40 = 4x²-212

> Trasladando términos semejantes:
-4x²+5x+8x = -212+40+20

> Reduciendo términos, ordenando y cambiando signo:
-4x²+13x = -152
-4x²+13x+152 = 0
4x²-13x-152 = 0

> Aplicando la fórmula:
x = [-(-13)±√(-13)²-4(4)(-152)]/2(4)
x = [13±√169+2432]/8
x = [13±√2601]/8
x = [13±51]/8
Entonces:
x₁ = (13+51)/8 =64/8 = 8
x₂ = (13-51)/8 = – 38/8 = – 19/4 = – 4¾
__________________________________

 

Ecuaciones de 2° Grado con una Incógnita. Fórmula Particular.

Ecuaciones de 2° Grado de la forma x²+mx+n=0, resueltas por la Fórmula Particular.
Fórmula Particular: x=-m/2±√(m^2/4 -n)
__________________________________
Ejemplo:
Resolver la ecuación 3x²-2x(x-4) = x-12

> Simplificando la ecuación a la forma x²+mx+n
3x²-2x²+8x = x-12

> Transponiendo términos:
3x²-2x²+8x-x+12 = 0

> Reduciendo términos:
x²+7x+12 = 0 <– donde m=7 y n = 12

> Aplicando la fórmula:
x=-m/2±√(m^2/4 -n)
x=-7/2±√(7^2/4 -12)
x=-7/2±√(49/4 -12)
x=-7/2±√(1/4)
x=-7/2±1/2
x₁=-7/2+1/2= -6/2= -3
x₂=-7/2-1/2= -8/2=-4
_____________________________________________
Ejercicio 267.
Resolver las ecuaciones por la fórmula particular:

1) x²-3x+2 = 0

> Aplicando la fórmula:
x=-m/2±√[m^2/4 -n]
x=-(-3)/2±√[(-3)^2/4 -2)
x=3/2±√[9/4 -2]
x=3/2±√(1/4)
x=3/2±1/2
x1 = 3/2+1/2=4/2=2
x2 = 3/2-1/2=2/2=1
______________________________________________
3) x²-19x = -88

> Convirtiendo la ecuación:
x²-19x+88 = 0

> Aplicando la fórmula:
x=-m/2±√[m^2/4 -n]
x=-(-19)/2±√[(-19)^2/4 -88 ]
x=19/2±√[361/4 -88]
x=19/2±√(9/4)
x=19/2±3/2
x1 = 19/2+3/2=22/2=11
x2 = 19/2-3/2=16/2=8
__________________________________
5) 5x(x-1)-2(2x²-7x)=-8

> Efectuando operaciones:
5x²-5x-4x²+14x = -8

> Reduciendo términos:
x²+9x+8 = 0

> Aplicando la fórmula:
x=-(9)/2±√[(9)^2/4 -8]
x=-9/2±√[81/4 -8]
x=-9/2±√(49/4)
x=-9/2±7/2
x₁=-9/2+7/2=-2/2=-1
x₂=-9/2-7/2=-16/2=-8
__________________________________
9) 2x²-(x-2)(x+5) = 7(x+3)

> Efectuando operaciones:
2x²-(x²+3x-10) = 7x+21
2x²-x²-3x+10 = 7x+21

> Transponiendo y reduciendo términos:
2x²-x²-3x-7x+10-21 = 0
x²-10x-11 = 0

> Aplicando la fórmula:
x=-(-10)/2±√[(10)^2/4 -(-11)]
x=5±√[100/4 +11]
x=5±√36
x=5±6
x₁ = 5+6=11
x₂ = 5-6=-1
__________________________________

 

Ecuaciones de 2° Grado con una Incógnita. Fórmula General.

La Fórmula General es utilizada generalmente en Ecuaciones de la forma ax²±bx+c = 0.

____________________________________
Ejemplos:

E1) Resolver la ecuación 3x²-7x+2 = 0

> Se sustituyen los valores de “a”, “b” y “c” en la fórmula:

x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a

x=[-(-7)±√(-7)^2-4(3)(2)]/2(3)

=[7±√49-24]/6

=[7±√25]/6 =(7± 5)/6

–> x₁=(7+ 5)/6 =12/6 =2

–> x₂=(7- 5)/6 =2/6 =1/3

> Para comprobar las raíces encontradas se sustituyen los valores en la ecuación original:
> Sustituyendo “x” por el valor 2
3x²-7x+2 = 0
3(2)²-7(2)+2 = 0
12-14+2 = 0
0 = 0
> Sustituyendo “x” por el valor 1/3
3(1/3)²-7(1/3)+2 = 0
1/3 -7/3 +2 = 0
0 = 0
___________________________________
E2) Resolver la ecuación 6x-x²-9 = 0

> Ordenando la ecuación:
-x²+6x-9 = 0

> Cambiando signos:
x²-6x+9 = 0

> Aplicando la fórmula general (tomando en cuenta que “a”, el coeficiente de x², es 1)

x=[-b±√b^2-4ac]/2a

x=[-(-6)±√((-6)^2-4(1)(9]/2(1)

x=[6±√36-36]/2

x=(6±√0)/2 =6/2 = 3

En este tipo caso “x” solo tiene un valor “3”, para las 2 raíces resultantes,
porque 6+0/2 = 6/2= 3 y 6-0/2 = 6/2 = 3
por lo tanto x₁ = 3   y  x₂ = 3
____________________________________
Ejercicio 265
Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general:

1) 3x²-5x+2= 0

> Aplicando la fórmula general:

x=[-(-5)±√(-5)^2-4(3)(2)]/2(3)

=[5±√25-24]/6

=[5±√1]/6  = (5±1)/6
–> x₁=(5+ 1)/6 =6/6  = 1
–> x₂=(5- 1)/6 =4/6  = 2/3
_________________________________
2) 4x²+3x-22 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x=[-(3)±√(3)^2-4(4)(-22)]/2(4)

x=[-3±√9-352]/8

x=[-3±√361]/8

x=(-3±19)/8

–> x₁ = (-3+ 19)/8 =16/8 = 2
–> x₂ = (-3- 19)/8 =(-22)/8 = -11/4
__________________________________
3) x²+11x = -24

> Ordenando:
x²+11x+24 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x=[-(11)±√(11)^2-4(1)(24)]/2(1)

x= [-11±√(121-96)]/2

x= [-11±√25]/2

x= (-11±5)/2
–> x₁=(-11+ 5)/2 =(-6)/2  = -3
–> x₂=(-11- 5)/2 =(-16)/2  = -8
____________________________________
5) 12x-4-9x² = 0

> Ordenando:
-9x²+12x-4 = 0

> Cambiando los signos:
9x²-12x+4 = 0

> Aplicando la fórmula general:

x=[-(-12)±√(-12)^2-4(9)(4)]/2(9)

x= [12±√(144-144)]/18

x= [12±√0/18

x= (12±0)/18

x= (12±0)/18
–> x₁= (12+0)/18 =12/18 = 2/3
–> x₂= (12- 0)/18 =12/18 = 2/3
_____________________________________

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