Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Cocientes Notables.

Son aquellos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por Simple Inspección o también pueden desarrollarse paso a paso para llegar al mismo resultado.

Reglas:

1) Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

a)  a^2-b^2 / a+b = a-b

El cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

b)  a^2-b^2 / a-b = a+b

El cociente de la diferencia de los cuadrados  de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

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2) Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

a)  a^3+b^3 / a+b = a^2 -ab +b^2

El cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades es igual a el cuadrado de la primera cantidad menos el producto de las dos cantidades más el cuadrado de la segunda cantidad.

b)  a^3-b^3/ a-b = a^2 +ab +b^2

El cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a el cuadrado de la primera cantidad más el producto de las cantidades más el cuadrado de la segunda cantidad.

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3) Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

a) a^4-b^4 / a-b = a^3 +a^2b +ab^2 +b^3  (Potencias Pares)  

El cociente de la diferencia de potencias pares iguales de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a el cubo de la primera cantidad, más el cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad.

b) a^4-b^4 / a+b = a^3 -a^2b +ab^2 -b^3  (Potencias pares)

El cociente de la diferencia de potencias pares iguales de dos cantidades entre la suma de las cantidades es igual a el cubo de la primera cantidad, menos el cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

c) a^5-b^5 /a – b = a^4 +a^3b +a^2b^2 +ab^3 +b^4  (Potencias impares)

d) a^5+b^5 /a+b = a^4  -a^3b +a^2b^2  -ab^3 +b^4  (Potencias impares)

e) a^4+b^4 / a+b        y      a^4+b^4 / a-b    <– ( en estos dos cocientes no es exacta la división)

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Ejemplos y ejercicios de estos cocientes notables los encontrarás en esta misma página.  Puedes buscarlos por categoría, por tema o por número de ejercicio.

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

 

Caso I) a^4-b^4 / a-b = a^3+a^2b+ab^2+b^3 ,.              a^5-b^5 / a-ba^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4

Caso II)  a^4-b^4 /a+b = a^3-a^2b+ab^2-b^3    

Caso III) a^5+b^5 / a+b = a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4

PROCEDIMIENTO: 

1) El cociente tendrá un número de términos igual al número de unidades

    que tienen los exponentes de las letras en el dividendo.

2) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término

    del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de “a”

    disminuye 1 en cada término.

3) El exponente de “b” en el segundo término del cociente es 1 y este

     exponente aumenta en 1 en cada término posterior a este.

4) Cuando el divisor es “a-b” todos los signos del cociente son +, y cuando

    el divisor es “a+b”, los signos del cociente son alternativamente “+” y “-“. 

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EJERCICIO 71

1) x^4-y^4 / x-y      =     x^3 +x^2y +xy^2 +y^3

Primer término: x /x = x –>  x^(4-1) = x^3

Segundo término: x^(3-1) = x^2;     y^1= y –> x^2y

Tercer término : x^(2-1) = x^1 = x ;    y^(1+1) = y^2 –>  xy^2

Cuarto término : x^(1-1) = x^0 = 1 ;  y^(2+1) = y^3

Observa que el segundo término del dividendo, o sea la “y” , se empieza a

colocar a partir del segundo término del cociente, elevado a la potencia “1” ;

pero toda potencia a la “1” es igual a su base : Ejemplo y^1 = y.

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3) a^5-n^5 / a-n              =         a^4 +a^3n +a^2n^2 +an^3 +n^4

Primer término: a /a = a –>   a^(5-1) = a^4

Segundo término : a^(4-1) = a^3 ;   n^1 = n –> a^3n

Tercer término : a^(3-1) = a^2  ;   n^(1+1) = n^2 –> a^2n^2

Cuarto término : a^(2-1) = a^1 = a   ;  n^(2+1) = n^3 –> an^3

Quinto término : a^(1-1) = a^0 = 1   ;  n^(3+1) = n^4 –> 1n^4 = n^4

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4) x^6-y^6 / x+y     =      x^5 -x^4y +x^3y^2 -x^2y^3 +xy^4 -y^5

Primer término: x/x = x –> x^(6-1) = x^5

Segundo término: x^(5-1) = x^4    ;  y^1 = y  –> x^4y

Tercer término :  x^(4-1) = x^3    ;    y^(1+1) = y^2 –> x^3y^2

Cuarto término:  x^(3-1) = x^2    ;    y^(2+1) = y^3 –> x^2y^3

Quinto término:  x^(2-1) = x^1 = x   ;  y^(3+1) = y^4 –>  xy^4

Sexto término:   x^(1-1) = x^0 = 1   ;  y^(4+1) = y^5 –> 1y^5 = y^5

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6) x^7+y^7 / x+y  =  x^6 –x^5y +x^4y^2 –x^3y^3 +x^2y^4 –xy^5 +y^6

Primer término:  x/x = x  –> x^(7-1) = x^6

Segundo término: x^(6-1) = x^5   ;  y^1 = y  –> x^5y

Tercer término:    x^(5-1) = x^4  ;   y^1+1) = y^2   –> x^4y^2

Cuarto término:   x^(4-1) = x^3  ;   y^(2+1) = y^3  –> x^3y^3

Quinto término:   x^(3-1) = x^2  ;   y^(3+1) = y^4  –> x^2y^4

Sexto término :   x^(2-1) = x^1 = x  ;  y^(4+1) = y^5  –> xy^5

Séptimo término: x^(1-1) = x^0 = 1  ;  y^(5+1) = y^6 –> 1y^6 = y^6

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13) 1-n^5 / 1-n =

(1)^4 +(1)^3n +(1)^2n^2 +1n^3 +n^4 = 1 +n +n^2 +n^3 +n^4

Primer término: 1/1 = 1 –> 1^(5-1) = 1^4 = 1

Segundo término : 1^(4-1) = a^3 = 1  ;  n^1 = n –> 1n = n

Tercer término : 1^(3-1) = 1^2 = 1  ;  n^(1+1) = n^2 –> 1n^2 = n^2

Cuarto término : 1^(2-1) = 1^1 = 1  ;  n^(2+1) = n^3 –> 1n^3 = n^3 

Quinto término :  1^(1-1) = 1^0 = 1  ;  n^(3+1) = n^4 –> 1n^4 = n^4

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27) 64m^6-729n^6 / 2m+3n = (2m)^6-(3n)6 / 2m+3n

=(2m)^5–(2m)^4(3n)+(2m)^3(3n)^2–(2m)^2(3n)^3+(2m)(3n)^4–(3n)^5

= 32m^5 -48m^4n +72m^3n^2 -108m^2n^3 +162mn^4 -243n^5

1er. término : (2m)^(6-1) = (2m)^5 = 32m^5

2° término : (2m)^(5-1) = (2m)^4 = 16m^4  ; (3n)^1 = 3n

–> (16m^4)(3n) = (16)(3)m^4n = 48m^4n

3er. término:(2m)^(4-1) =(2m)^3 =8m^3  ; (3n)^(1+1)=3n^2 =9n^2

–> (8m^3)(9n^2) = (8)(9)m^3n^2 = 72m^3n^2

4° término: (2m)^(3-1) =(2m)^2 =4m^2 ; (3n)^(2+1)= (3n)^3 =27n^3

–> (4m^2)(27n^3) = (4)(27)m^2n^3 = 108m^2n^3

5° término:(2m)^(2-1) = (2m)^1 = 2m  ;  (3n)^(3+1) = (3n)^4 =81n^4

–> (2m)(81n^4) = (2)(81)mn^4 = 162mn^4

6° término: (2m)^(1-1) =(2m)^0 = 1  ;  (3n)^(4+1) =(3n)^5 = 243n^5

–> (1)(243n^5) = 243m^5

Nota: El cociente original 64m^6-729n^6 se cambia por (2m)^6-(3n)^6,

dado que 64m^2 es igual a (2m)^6 y 729n^6 es igual (3n)^6; –> se

usan para el desarrollo los términos del divisor “2m” y “3n” , siguiendo

los pasos que se han utilizado en el desarrollo de los anteriores casos.

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Recuerda:

El número de término del cociente depende del exponente del dividendo.

Ej.  x^6 –> 6 términos.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

EJERCICIO  70 

Procedimiento:

1) a^3 + b^3 / a+b –> Es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la raíz cúbica de la primera cantidad por la raíz cúbica de la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

2) a^3 – b^3 / a-b –>  Es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el producto de la raíz cúbica de la primera cantidad por la raíz cúbica de la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Nota: Se entiende por cantidad, la raíz cúbica de los términos:

la raíz cúbica de a^3 es “a” y la raíz cúbica de b^3 es “b”

–> la raíz cúbica de a^3+b^3 = a+b   y la raíz cúbica de a^3-b^3 = a-b

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1) 1+a^3 / 1+a = (1)^2 –(1)(a) +a^2 = 1 –a +a^2

Cuadrado de la 1° cantidad : (1)^2 = 1^2 = 1

( – ) Producto de la raíz cúbica de la 1° por la raíz cúbica de la 2° :  (1)(a) = a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad : (a)^2 = a^2

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4) 8a^3 -1 /2a-1 = (2a)^2 +(2a)(1) +(1)^2 = 4a^2 +2a +1 

Cuadrado de la 1° cantidad : (2a)^2 = 4a^2    ( la raíz^3 de 8a^3 = 2a)

(-) Producto de la raíz^3 de la 1° por la raíz^3 de la 2° :  (2a)(1) = 2a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad : (1)^2 = 1^2 = 1

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7) 64a^3+343 / 4a+7  = (4a)^2 –(4a)(7) +(7)^2 = 16a^2 – 28a +49

Cuadrado de la 1° cantidad: (4a)^2 = 16a^2

(-) Producto de la raíz^3 de la 1° por la raíz^3 de la 2° : (4a)(7) = 28a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad: (7)^2 = 49

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Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

EJERCICIO   69

Procedimiento:

a^2-b^2   1)  La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida 

   a+b         por la “suma” de las cantidades es igual a la “diferencia” de la

                  raíz cuadrada de las cantidades.

                  

  a^2-b^2   2)  La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida 

   a-b           por la “diferencia” de las cantidades es igual a la “suma” de la

                   raíz cuadrada de las cantidades.

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1) x^2-1 / x+1 = (x^2/x)+(-1/1) = x-1

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor : x^2 / x = x

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor :  -1 / 1 = -1

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2) 1-x^2 / 1-x = (1/1)+(x^2/-x) = 1-x

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor : 1 / 1 = 1

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor : x^2 / -x = -x

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5) x^2 -4 / x+2 = (x^2 / x)+(-4 / 2) = x -2

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor : x^2 / x = x

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor : -4 / 2 = -2

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8) 25-36x^4 / 5-6x^2 = (25 / 5)+(-36x^4 / -6x^2) = 5 +6x^2 

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor: 25 / 5 = 5

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor:

-36x^4 / -6x^2 = 6x^2

(Recuerda que (-) entre (-) da positivo (+) : -36/-6 = 6) y que (al dividir potencias,

se copia la base y se restan los exponentes(x^4 / x^2 = x^(4-2) = x^2)

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10) 36m^2-49n^2x^4 / 6m-7nx^2 = (36m^2 / 6m)+(-49n^2x^4 / -7nx^2) =

= 6m +7nx^2

 El 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor: 36m^2 / 6m = 6m

El 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor: -49n^2x^4 / -7nx^2 =

7nx^2

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