Interpolación en una Progresión Aritmética.

Procedimiento:

1) Se halla la razón por medio de la fórmula, tomando en cuenta que “n” será igual a los medios aritméticos que se piden más los extremos (primero y último términos) que son dados.

2) La razón que resulta se suma al primer término para obtener el segundo; luego la razón se suma al segundo término para obtener el tercero, y así sucesivamente, hasta completar la cantidad de medio aritméticos que se piden.

3) Se interpolan los medios aritméticos entre los extremos dados para formar la progresión aritmética.

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Ejemplos:

 

a) Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 3.

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 1  ;   u = 3   ;  n = 6

> Aplicando la fórmula para la razón:

r = u-a /n-1

r = 3-1 /6-1

r = ²̷₅

> Calculando los medios aritméticos:

1 + ²̷₅ = 1²̷₅       2° término

1²̷₅ + ²̷₅ = 1⁴̷₅    3° término

1⁴̷₅ + ²̷₅ = 2¹̷₅    4° término

2¹̷₅ + ²̷₅ = 2³̷₅    5° término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷1. 1²̷₅. 1⁴̷₅. 2¹̷₅. 2³̷₅. 3    Solución.

 

b) Interpolar 5 medios aritméticos entre -2 y 5¼

> Encontrando la razón:

Elementos: a = -2  ;  u = 5¼ ; n = 7

r = u-a /n-1

r = 5¼ -(-2) /7-1

r = 5¼ + 2 /6

r = 7¼/6

r = 29/24

> Calculando los medios aritméticos:

-2 + ²⁹̷₂₄ = -¹⁹̷₂₄      Segundo término

-¹⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ¹⁰̷₂₄   Tercer término

¹⁰̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ³⁹̷₂₄    Cuarto término

³⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁶⁸̷₂₄    Quinto término

⁶⁸̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁹⁷̷₂₄    Sexto término

> Simplificando e interpolando los medios aritméticos:

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ¹⁰̷₂₄. ³⁹̷₂₄. ⁶⁸̷₂₄. ⁹⁷̷₂₄. 5¼

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ⁵̷₁₂. 1⁵̷₈. 2⁵̷₆. 4¹̷₂₄. 5¼    Solución.

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Ejercicio 289.

Interpolar:

 

1)  3 medios aritméticos entre 3 y 11

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 3  ;  u = 11  ;  n = 5

r = u-a /n-1

r = 11-3 /5-1

r = 8/4

r = 2

> Calculando los medios aritméticos:

3+2 = 5   Segundo término

5+2 = 7   tercer término

7+2 = 9   cuarto término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷3. 5. 7. 9. 11   Solución.

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2) 7 medios aritméticos entre 19 y -5

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 19   ;  u = -5   ;  n = 9

r = u-a /n-1

r = -5-(19) /9-1

r = -5-19 / 8

r = -24/8

r = -3

> Calculando los medios aritméticos:

19-3 = 16   segundo término

16-3 = 13   tercer término

13-3 = 10   cuarto término

10-3 = 7     quinto término

7-3 = 4       sexto término

4-3 = 1       séptimo término

1-3 = -2      octavo término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. -2. -5    Solución.

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3) 5 medios aritméticos entre -13 y -73

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -13   ;   u = -73   ; n = 7

r = u-1 /n-1

r = -73-(-13) /7-1

r = -73+13 /6

r = -60/6

r = -10

> Calculando los medios aritméticos:

-13-10 = -23

-23-10 = -33

-33-10 = -43

-43-10 = -53

-53-10 = -63

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-13. -23. -33. -43. -53. -53. -63. -73    Solución

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4)  4 medios aritméticos entre -32 y 53

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -32  ;  u = 53  ;  n = 6

r = 53-(-32) /6-1

r = 53+32 /5

r = 85/5

r = 17

> Calculando los medios aritméticos:

-32+17 = -15

-15+17 = 2

2+17 = 19

19+17 = 36

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-32. -15. 2. 19. 36. 53   Solución.

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11)  5 medios aritméticos entre 2/3 y -1/8

> Encontrando la razón:

Elementos:  a= 2/3  ;  u = -1/8  ;  n = 7

r =  -1/8 -(2/3) / 7-1

r = -1/8 -2/3 / 6

r = -19/24 /6

r = -19/144

> Calculando los medios aritméticos:

2/3 -19/144 = 77/144

77/144 -19/144 = 29/72

29/72 -19/144 = 13/48

13/48 -19/144 = 5/36

5/36 -19/144 = 1/144

> Interpolando los medios aritméticos:

÷2/3 . 77/144 . 29/72 . 13/48 . 5/36 . 1/144 . -1/8   Solución

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