Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Procedimiento:

1) Se resuelve el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, haciendo tres combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las incógnitas, pero que esta incógnita sea la misma en las tres combinaciones.  Esto nos dará como resultado 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

2) Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y procedemos a hacer dos combinaciones de 2 ecuaciones, para eliminar cualquiera de las incógnitas, pero que  esta incógnita sea la misma.  El resultado nos dará dos ecuaciones con 2 incógnitas.

3) Formamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y procedemos a eliminar una cualquiera de las incógnitas y encontrar el valor de la otra incógnita.

4) Sustituimos el valor de la incógnita obtenido en la otra ecuación del sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnita y encontraremos el valor de la otra incógnita.

5) Sustituimos el valor de las 2 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 3 ecuaciones con 3 incógnitas para encontrar el valor de una tercera incógnita.

6) Sustituimos el valor de las 3 incógnitas obtenidas en una cualquiera de las 4 ecuaciones con 4 incógnitas para encontrar el valor de la cuarta incógnita.

7) La solución general será el valor de las cuatro incógnitas obtenidos.

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Ejemplo:  Resolver el sistema

x+y+z+u = 10        (1)

2x-y+3z-4u = 9     (2)

3x+2y-z+5u = 13  (3)

x-3y+2z-4u = -3    (4)

>> Combinando ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

>> Combinamos la (1) y (2)

Para eliminar la x,  Multiplicamos (1) por 2  y la (2) por -1:

2x+2y+2z+2 = 20

-2x+y-3z+4u = -9

.      3y – z+6u = 11  (5) Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y (3)

Para eliminar la x, multiplicamos la (1) por 3 y la (3) por -1:

3x+3y+3z+3u = 30

-3x-2y+ z -5u = -13

.         y+4z-2u = 17  (6)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1)  con la (4)

Para eliminar la x, multiplicamos la (4) por -1 :

x +  y + z + u = 10

-x+3y-2z+4u = 3

.     4y – z+5u = 13  (7)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con  3 incógnitas:

3y-z+6u = 11  (5)

y+4z-2u = 17  (6)

4y-z+5u = 13   (7)

>> Combinamos la (5) y (6)

Para eliminar la z, multiplicamos la (5) por 4 :

12y-4z+24u = 44

.   y+4z –  2u = 17

13y        +22u = 61  (8)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Combinamos la (5) y (7)

Para eliminar la z, multiplicamos la (7) por -1 :

3y – z+6u =  11

-4y+z-5u = -13

.  -y     + u =  -2  (9)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

13y+22u = 61  (8)

 –  y +     u = -2  (9)

>> Resolvemos este sistema multiplicando la (9) por 13 :

13y +22u =   61

-13y+13y = -26

.           35u = 35

u = 35/35

u = 1  <–  SOLUCIÓN.

>> Sustituimos el valor de u en en la (9):

-y+u = -2

-y+(1) = -2

-y+1 = -2

-y = -2-1

-y = -3

y = 3  <– SOLUCIÓN

>> Sustituimos el valor de (y, u) en la ecuación de 3 incógnitas, la (5) :

3y-z+6u = 11

3(3)-z+6(1) = 11

9-z+6 = 11

15-z = 11

-z = 11-15

-z = -4

z = 4   <– SOLUCIÓN

>> Por último sustituimos el valor de (y, z, u) en la ecuación de 4 incógnitas, en la  (1) :

x+y+z+u = 10

x+(3)+(4)+(1) = 10

x+8 = 10

x = 10-8

x = 2  <–  SOLUCIÓN

La solución General es :   (x = 2 , y = 3 , z = 4 , u = 1)

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 Ejercicio 192

1) Resolver el sistema

.  x+  y+   z+u = 4  (1)

.  x+2y+3z -u = -1  (2)

3x+4y+2z+u = -5  (3)

.  x+4y+3z- u = -7  (4)

>> Combinamos las ecuaciones para encontrar 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (2)

Eliminamos la u, únicamente sumando las ecuaciones:

x+  y +  z+u = 4

x+2y+3z- u = -1 

2x+3y+4z    = 3   (5) Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (3)

Eliminamos la u, multiplicando la  (2) por -1 :

.   x+  y+ z+u = 4

-3x-4y-2z -u = 5

-2x-3y- z     = 9   (6)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Combinamos la (1) y la (4)

Eliminamos la u, únicamente sumando:

x+  y+   z+u =  4

x+4y+3z -u = -7

2x+5y+4z = -3   (7)  Ecuación con 3 incógnitas.

>> Formamos un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

2x+3y+4z =   3   (5)

-2x -3y –  z =   9   (6)

2x+5y+4z = -3    (7)

>Combinamos la (5) y la (6)

Eliminamos la z, multiplicando la (6) por 4 :

2x+3y+4z = 3

-8x-12y-4z = 36

-6x-9y        = 39  (8)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Combinamos la (6) y la (7)

Eliminamos la z, multiplicando la (6) por 4 :

-8x-12y-4z = 36

2x +5y+4z =  -3

-6x-7y         = 33   (9)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formamos un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

-6x-9y = 39  (8)

-6x-7y = 33   (9)

Eliminamos la “x”, multiplicando la (9) por -1 :

-6x-9y =   39

6x +7y = -33

.       -2y =   6

y = 6/-2

y = -3  <–  Solución

>> Sustituyendo el valor de “y” en la (8) :

-6x-9y = 39

-6x-9(-3) = 39

-6x+27 = 39

x = 39-27/-6

x = -2   <–  Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, y) en la ecuación de 3 incógnitas (5) :

2x+3y+4z = 3

2(-2)+3(-3)+4z = 3

-4-9+4z = 3

z = 3+13/4

z = 4   <– Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, y. z) en la ecuación de 4 incógnitas (1) :

x+y+z+u = 4

(-2)+(-3)+(4)+u = 4

-2-3+4+u = 4

-1+u = 4

u = 4+1

u = 5  <–  Solución.

La Solución General es  (x =-2  ,  y = -3  ,  z = 4  ,  u = 5)

______________________________________

2) resolver el sistema

x + y+ z+  u = 10  (1)

2x- y-2z+2u = 2  (2)

x -2y+3z – u = 2  (3)

x+2y-4z+2u = 1  (4)

>> Combinando (1) y la (2)

Para eliminar la “y”, únicamente sumamos :

x +y+ z +  u = 10

2x-y-2z+2u =  2

3x    -z+3u = 12  (5)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Combinando la (1) con la (3)

Eliminando la “y”, multiplicamos la (1) por 2 :

2x+2y+2z+2u = 20

.  x- 2y+3z –   u =  2

3x      +5z +u = 22  (6)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Combinando la (2) y la (4)

Eliminando la “y”, multiplicamos la (2) por 2 :

4x-2y-4z+4u = 4

.  x+2y-4z+2n = 1

5x     -8z+6u = 5  (7)  Ecuación con 3 incógnitas

>> Se forma un Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

3x -z+3u = 12  (5)

3x+5z+u = 22  (6)

5x -8z+6u = 5  (7)

>> Combinando la (5) y la (6)

Eliminar la u, multiplicando la (6) por -3 :

3x  –   z+3u =  12

-9x-15z-3z = -66

-6x-16z     = -54  (8)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Combinando la (5) y la (7)

Eliminar la u, multiplicando la (5) por -2 :

-6x+2z-6u = -24

5x  -8z+6u =    5

– x -6z       = -19   (9)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formando un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

-6x-16z = -54  (8)

–  x-  6z = -19   (9)

>> Eliminando la x, multiplicando la (9) por -6 :

– 6x-16z =   -54

+6x+36z = 114

.          20z = 60

z= 60/20

z = 3  <–  Solución

>> Sustituyendo el valor de z en la ecuación (8)

-6x-16z = -54

-6x-16(3) = -54

-6x-48 = -54

x = -54+48/-6

x = -6/-6

x = 1  <–  Solución

>> Sustituyendo el valor (x, z) en la ecuación con 3 incógnitas (5) :

3x-z+3u = 12

3(1)-(3)+3u = 12

3-3+3u = 12

3u = 12

u = 12/3

u = 4  <–  Solución

>> Sustituyendo el valor de (x, z, u) en la ecuación con 4 incógnitas (1) :

x+y+z+u = 10

(1)+y+(3)+(4) = 10

y+8 = 10

y = 10-8

y = 2  <–  Solución

La solución General es :  (x = 1  ,  y = 2  ,  z =3  ,  u = 4)

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