Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Reducir fracciones al mínimo común denominador es convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que este sea el menor posible.

Procedimiento:

1.  Se simplifican las fracciones dadas, si es posible.

2.  Se halla el m.c.m.  de los denominadores, que sera el denominador común.

3.  Se divide el denominador común encontrado entre cada denominador y el cociente se multiplica por el numerador respectivo.

4.  Se efectúan las operaciones indicadas para encontrar la Solución.

Ejemplo A)  Reducir  2/a , 3/2a^2 ,  5/4x^2

>Simplificando las fracciones (En este caso no es necesario)

> Hallando el mínimo común denominador de las fracciones  a , 2a^2 , 4x^2 ,  que es  4a^2x^2, porque:

4a^2x^2 dividido entre  a  =  4ax^2 ,  multiplicado por (2)  =  8ax^2

4a^2x^2 dividido entre  2a^2  =  2x^2, multiplicado por  (3)  =  6x^2

4a^2x^2 dividido entre  4x^2  =  a^2,  multiplicado por  (5)  =  5a^2

–> La Solución es  8ax^2 /4a^2x^2  ,  6x^2 /4a^2x^2  ,  5a^2 /4a^2x^2

Nota:  Para encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes (1 , 2 y 4),

puedes utilizarse la tabla del m.c.m.

(También puedes hacerlo de otra manera efectiva que conozcas)

|1|2|4|2

|1|1|2|2   |–> el m.c.m. es =  (2)(2)  =  4a^2x^2

|1|1|1|     |  Las letras “a”  y la “x” se agregan con su mayor exponente : “a^2”  y  “x^2”

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Ejemplo B)  Reducir   1/3x^2  ,   x-1/6x  ,  2x-3/9x^3

> Hallando el mínimo común denominador de  3x^2  ,  6x  ,  9x^3 , que es  18x^3 , porque

18x^3 dividido entre  3x^2  =  6x  multiplicado por  1  =  6x

18x^3 dividido entre  6x  =  3x^2  multiplicado por x-1 =  3x^3-3x^2

18x^3 dividido entre  9x^3  = 2  multiplicado por 2x-3  =  4x-6

–>  La solución es :   6x /18x^3  ,  3x^3x^2 /18x^3  ,  4x-6 /18x^3

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Ejemplo C)  Reducir   a-b /ab  ,  2a /ab+b^2  ,  3b /a^2+ab

Simplificando los denominadores

ab  =  ab             ;          ab+b^2 =  b(a+b     ;     a^2+ab = a(a+b)

Hallando el mínimo común denominador de ab  ,  b(a+b)  ,  a(a+b) que es   ab(a+b) porque:

ab(a+b)  dividido entre  ab =  (a+b) y multiplicado por  (a-b) = a^2-b^2

ab(a+b)  dividido entre  b(a+b)  =  “a”  y multiplicado por 2a = 2a^2

ab(a+b)  dividido entre  a(a+b)  =  “b”  y multiplicado por 3b  =  3b^2

–>  La Solución es   a^2-b^2 /ab(a+b)  ,  2a^2 /ab(a+b)  ,  3b^2 /ab(a+b)

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Ejemplo D)  Reducir   x+3 /x^2-1  ,  2x /x^2+3+2  ,  x+4 /x^2+x-2

Simplificando los denominadores por factorización:

x^2-1  =  (x+1)(x-1)        ;       x^2+3+2 = (x+2)(x+1)       ;      x^2+x-2 = (x+2)(x-1)

Hallando el mínimo común denominador de

(x+1)(x-1)  ,  (x+2)(x+1)  ,  (x+2)(x-1) que es  (x+1)(x-1)(x+2), porque

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre   (x+1)(x-1) = (x+2) por (x+3) = x^2+5x+6

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre  (x+2)(x+1) = (x-1) por (2x) = 2x^2-2x

(x+1)(x-1)(x+2) divido entre (x+2)(x-1) = (x+1) por (x+4) = x^2+5x+4

–>  La Solución es  

x^2+5x+6 /(x+1)(x-1)(x+2)   ,  2x^2-2x /(x+1)(x-1)(x+2)  ,  x^2+5x+4 /(x+1)(x-1)(x+2)

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EJERCICIO 125

1) Reducir a/b  ,  1/ab

Hallando el mínimo común denominador de “b”   y  “ab” , que es ab  –>

ab b  =  a, –>  a(a) /ab  =  a^2 /ab

ab ÷  ab  =  1,  –>  1(1) /ab  = 1 /ab

–> La Solución es   a^2/ab    ,     1/abT

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2) Reducir    x/2a    ,   4/3a^2x

Hallando el mínimo común denominador de   2a   , 3a^2x,  que es 6a^2x   –>

6a^2x ÷ 2a  =   3ax , –> 3ax(x) /6a2x  =  3ax^2/6a^2x

6a^2x ÷ 3a^2x  =  2,  –> 2(4) /6a^2x  = 8 /6a^2x

–>  La Solución es   3ax^2/6a^2x    ,    8/6a^2x

________________________________________________________

3) Reducir     1/2x^2    ,    3/4x   ,   5/8x^3

Hallando el mínimo común denominador de   2x^2  ,  4x  ,  8x^3 ,  que es  8x^3  –>

8x^3 ÷ 2x^2  =  4x,  –>  4x(1) /8x^3  = 4x /8x^3

8x^3 ÷ 4x  =  2x^2,  –>  2x^2(3) /8x^3  =  6x^2 /8x^3

8x^3 ÷ 8x^3  = 1,   –>  1(5) /8x^3  =  5 /8x^3

–> La Solución  es   4x/8x^3  ,  6x^2/8x^3  ,  5/8x^3

________________________________________________________

4) Reducir   3x/ab^2   ,   x/a^2b   ,   3/a^3

Hallando el mínimo común denominador de  ab^2  ,  a^2b  ,  a^3  que es  a^3b^2  –>

a^3b^2 ÷ ab^2  =  a^2,  –>   a^2(3x) /a^3b^2  =  3a^2x /a^3b^2

a^3b^2 ÷ a^2b  =  ab,  –>  ab(x) /a^3b^2  =  abx /a^3b^2

a^3b^2 ÷ a^3  =  b^2,  –>  b^2(3) /a^3b^2  =  3b^2 /a^3b^2

–>  La Solución  es    3a^2x/a^3b^2  ,  abx/a^3b^2  ,  3b^2/a^3b^2

________________________________________________________

5) Reducir   7y/6x^2   ,  1/9xy   ,   5x/12y^3

Hallando el mínimo común denominador de  6x^2  ,  9xy  ,  12y^3   que  es  36x^2y^3  –>

36x^2y^3 ÷ 6x^2  =  6y^3,  –>  6y^3(7y) /36x^2y^3  = 42y^4 /36x^2y^3

36x^2y^3 ÷ 9xy  =  4xy^2  –> 4xy^2(1) /36x^2y^3  =  4xy^2 /36x^2y^3

36x^2y^3 ÷ 12y^3 =  3x^2  –> 3x^2(5x) /36x^2y^3  =  15x^3 /36x^2y^3

–>  La Solución es   42y^4/36x^2y^3  ,   4xy^2/36x^2y^3  ,  15x^3/36x^2y^3

Para encontrar el mínimo común múltiplo de los coeficientes (6, 9 y 12),

puedes hacer uso de la tabla.  ( Si consideras que la necesitas)

|6|9|12|3

|2|3|  4|2

|1|3|  2|2

|1|3|  1|3  –> el m. c.m. denominador es (3)(2)(3)(2) = 36x^2y^3

|1|1|  1|     –>  Las letras “x”  y  la “y” se copian con su mayor exponente : x^2  ,  y^3

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10) Reducir 2a-b/3a^2   ,   3b-a/4b^2  ,   a-3b/2

Hallando el mínimo común denominador de   3a^2  ,  4b^2  ,  2, que es   12a^2b^2 –>

12a^2b^2 ÷ 3a^2  =  4b^2,  –>  4b^2(2a-b) /12a^2b^2 = 8ab^2-4b^3 /12a^2b^2

12a^2b^2 ÷ 4b^2  =  3a^2,  –>  3a^2(3b-a) /12a^2b^2 = 9a^2b-3a^3 /12a^2b^2

12a^2b^2 ÷ 2  =  6a^2b^2,  –>  6a^2b^2(a-3b) = 6a^3b^2-18a^2b^3 /12a^2b^2

–>  La Solución es    8ab^2-4b^3/12a^2b^2  ,   9a^2b-3a^3/12a^2b^2  ,  6a^3b^2-18a^2b^3/12a^2b^2 

__________________________________________________________

13) Reducir   x/x^2-1   ,   1/x^2-x-2

Se simplifican los denominadores , factorándolos.

x^2 -1  = (x-1)(x+1)  <–  Se aplicó (Caso IV de Factorización)

x^2 -x -2 = (x-2)(x+1)  <–  Se aplicó (Caso VI de Factorización)

Hallando  el mínimo común denominador de

(x-1)(x+1)   y   (x-2)(x+1)  es  (x-1)(x+1)(x-2) –>

(x-1)(x+1)(x-2)÷(x-1)(x+1) = (x-2), –>  (x-2)(x)/(x-1)(x+1)(x-2) =  x^2-2x /(x-1)(x+1)(x-2)

(x-1)(x+1)(x-2)÷(x-2)(x+1)  = (x-1), –> (x-1)(1)/(x-1)(x+1)(x-2)  =  x-1 /(x-1)(x+1)(x-2)

–>  La Solución es    x^2-2x/(x-1)(x+1)(x-2)   ,    x-1 /(x-1)(x+1)(x-2)    ó

.                                      x^2-2x / (x^2-1)(x-2)        ,     x-1 / (x^2-1)(x-2)

_________________________________________________________

29)  Reducir  a+3/a^2 +a -20    ,   5a/a^2 -7a +12   ,   a+1/a^2 +2a-15

Simplificando los denominadores, factorándolos

a^2 +2 -20 = (a+5)(a-4)     (Se aplicó  Caso VI)

a^2 -7a +12  =  (a-4)(a-3)  (Se aplicó Caso VI)

a^2 +2a -15  =  (a+5)(a-3)  (Se aplicó Caso VI)

Hallando el mínimo común denominador de

(a+5)(a-4)  ,   (a-4)(a-3)  ,  (a+5)(a-3)  que es  (a-3)(a-4)(a+5)  –>

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a+5)(a-4) = (a-3), –> (a-3)(a+3)/(a-3)(a-4)(a+5) = a^2-9 /(a-3)(a-4)(a+5)

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a-4)(a-3) = (a+5), –> (a+5)5a/(a-3)(a-4)(a+5) = 5a^02+25a/(a-3)(a-4)(a+5)

(a-3)(a-4)(a+5)÷(a+5)(a-3) = (a-4), –> (a-4)(a+1)/(a-3)(a-4)(a+5)  = a^2-3a-4 /(a-3)(a-4)(a+5)

–> La Solución  es  

a^2 -9 /(a-3)(a-4)(a+5)   ,    5a^2+25a /(a-3)(a-4)(a+5)   ,   a^2-3a-4 /(a-3)(a-4)(a+5)

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