Caso VIII. Cubo Perfecto de Binomios

Condiciones que debe cumplir la expresión para ser un Cubo Perfecto de Binomios:

Sea la expresión:  a³ +3a²b  +3ab² +b³ = (a+b)³

a) Debe tener 4 términos

b) Que el 1° y 4° término sean cubos perfectos. (a³) y (b³)

c) Que el 2° término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del 4°  término ( 3a²b)

d) Que el 3° término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término (3ab²)

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Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:

Sea el ejemplo:  8x³ +12x² +6x +1

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:

raíz cúbica de  8x³ = 2x       y    raíz cúbica de  1 = 1  

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:   3(2x)²(1) = 3(4x²)(1) = 12x²

3° término:  3(2x)(1)² = 3(2x)(1) = 6x

>> Como todos los términos de la expresión son positivos la el binomio resultante de la expresión es:

8x³ +12x² +6x +1 = (2x +1)³ ,   que es la Solución.

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Otro ejemplo: 8x^6 +54x²y^6 -27y^9 -36x^4y³

>> En este caso se ordena la expresión en relación a la letra «x» y quedaría así:

8x^6  -36x^4y³ +54x²y^6  -27y^9  –>

>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:

raíz cúbica de  8x^6 = 2x²       ;   raíz cúbica de  27y^9 = 3y³

>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:  3(2x²)²(3y³) = 3(4x^4)(3y³) = 36x^4y³

3° término:  3(2x²)(3y³)² = 3(2x²)(9y^6) = 54x²y^6

>> Como los términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos ( +, -, +, –) el binomio resultante de la expresión es:   

8x^6  -36x^4y³ +54x²y^6  -27y^9  =  (2x² -3y³)³ que es la Solución

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NOTA:  Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 :  8x^6 –>   raíz cúbica de 8 es  2     y    6/3 = 2  –>  = 2x²

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Ejercicio 102.

1)  Factorar   a³ +3a² +3a  +1

Raíz cúbica de  a³ = a      ;       raíz cúbica de   1    =  1

2° término:   3(a)²(1) = 3(a²)(1) = 3a²  OK

3° término:   3(a)(1)² = 3(a)(1) = 3a  OK

Signos positivos –>  (a+1)³

–>  (a+1)³ Solución.

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2) Factorar     27 -27x +9x² -x³  (Está ordenado de menor a mayor grado)

Raíz cúbica de     27 = 3       ;       raíz cúbica de   x³ =  x

2° término:  3(3)²(x) =3(9)(x) = 27x  OK

3° término :  3(3)(x)² = 3(3)(x²) = 9x² OK

Signos alternos (x, -, +, -)

–>  (3 -x)³      Solución

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3) Factorar   m³ +3m²n  +3mn² +n³

Raíz cúbica de m³ = m       ;       n³ = n

2° término:  3(m)²(n) = 3(m²)(n) = 3m²n  OK

3° término:  3(m)(n)² = 3(m)(n²) = 3mn² OK

Signos positivos

–>  (m+n)³ Solución

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4) Factorar    1  -3a  +3a² -a³

Raíz cúbica de  1 = 1       ;      raíz cúbica de  a³ = a

2° término:  3(1)²(a) = 3(1)(a) = 3a  OK

3° término:  3(1)(a)² = 3(1)(a²) = 3a²   OK

Signos alternos (+, -, +, -)

–> (1 -a)³    Solución.

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Prof. Jorge A. Carrillo M.