Caso VI. Trinomio de la forma x^2 +bx +c

El Trinomio de la forma x² ±bx ±c, debe cumplir las siguientes condiciones:

1) El coeficiente del 1° término debe ser 1.

2) El 1° término debe ser una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3) El 2° término tiene la misma letra que el 1° con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4) El 3° término es una cantidad cualquiera positiva o negativa, sin letra como el 1° y el 2° término.

___________________________________________________________

Procedimiento para factorar   x² +bx +c

1°) Se descompone el trinomio en 2 factores binomios, cuyo 1° término en ambos factores, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. (x   )(x   )

2°) En el 1° factor después de la letra se escribe el signo del 2° término del trinomio ( x+  ), y en el 2° factor después de la letra se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del 3° término del trinomio.  (x)(x) = x –> (x+  )

3°) Si los factores binomios tienen el mismo signo después de la letra (x+  )(x+  ) se buscan 2 números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3° término del trinomio.  Y estos 2 números se colocan como 2° términos dentro de los factores binomios.

4°) Si los 2 factores binomios tienen signos distintos después de la letra  (x+  )(x-  )   ó (x-  )(x+  ) se buscan 2 números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficientes del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3°término del trinomio.   El mayor de estos 2 números es el 2° término del primer factor binomio y el menor es el 2° término del 2° factor binomio.

__________________________________________________________

Ejemplos:

a) Factorar x²+5x +6

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x  –>  (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio :  signo del 2° término del trinomio es «+»

.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(+) = «+» –-> (x+  )(x+  )

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.     números buscados: 3 y 2 porque :

.     3+2 = 5   que es igual al 2° término del trinomio.

.     (3)(2) = 6  que es igual al 3° término del trinomio.

–>  (x+3)(x+2),  Solución

 

b) Factorar   x² -7x +12

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x –> (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio : signo del 2° término del trinomio es «-«

.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(+) = «-« –> (x-  )(x-  )

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.      números buscados : 4 y 3 porque:

.      -4 -3 = -7 que es igual al 2° término del trinomio.

.      (-4)(-3) = 12  que es igual al 3° término del trinomio

–> (x-4  )(x-3  ), Solución.

 

c) Factorar  x² +2x -15

1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x  –> (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio: signo del 2° término del trinomio es : «+»

.     2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(-) = » -» –> (x +)(x -)

3°) Como los signos de los binomios no son iguales:

.     números buscados : 5 y -3 porque:

.     5 -3 = 2 que es igual al 2° término del trinomio.

.     (5)(-3) = -15  que es igual al 3° término del trinomio

–> (x +5)(x -3) , Solución.

 

d) Factorar    x² -5x -14

1°) Descomponer el trinomio en 2 factores binomios:

–> raíz cuadrada de x² = x –>  (x   )(x   )

2°) Signos de los binomios:

.     1° binomio: signo del 2° término del trinomio es :  «-«

.     2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(-) = » +»  –> (x – )(x +)

3°) Como los signos de los binomios son iguales:

.      Números buscados : -7 y 2  porque:

.     -7 +2 = -5   que es igual al 2° término del trinomio.

.     (-7)(2) = -14   que es igual al 3° término del trinomio.

–> (x -7)(x +2), Solución.

__________________________________________________________

Ejercicio 98.

1) Factorar x² +7x +10

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2°término del trinomio es  «+»

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+ )(+ ) = «+»

Los números buscados : 5 y 2 porque

5 +2 = 7   y  (5)(2) = 10

–>  (x +5)(x +2),     Solución.

__________________________________________________________

2) Factorar   x² -5x +6

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2° término del trinomio es «-«

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (- )(+ ) = «-«

Los números buscados : -3  y -2   porque

-3  -2 = -5   y  (-3)(-2) = 6

–>  =  (x -3)(x -2),   Solución.

__________________________________________________________

3) Factorar   x² +3x -10

Raíz cuadrada de x² = x

El signo del 2° término del trinomio es  » + «

El producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio es (+)(-)= » – «

Los números buscados : 5  y  -2  porque

5-2 = 3   y   (5)(-2) = –10

–> =  (x+5)(x-2),    Solución.

_________________________________________________________

8) Factorar     x² -6 -x

= x² -x -6  (ordenado)

Raíz cuadrada de x² = x

Signo del 2° término del trinomio es   » – «

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio : (-)(-) = » + «

Números buscados: -3  y  2   porque

-3  +2 = -1x = -x    y   (-3)(2) = -6

–>  =  (x-3)(x+2),     Solución.

___________________________________________________________

22) Factorar  28 +a² -11a

= a² -11a +28    (ordenado)

Raíz cuadrada de a² = a

Signo del 2° término del trinomio es  » –  «

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio: (-)(+) = » – »

Números buscados:  -7   y  -4   porque

-7 -4 = -11    y    (-7)(-4) = 28

–>  = (a-7)(a-4) ,    Solución.

___________________________________________________________

46)  Factorar   n² +43n +432

Raíz cuadrada de n² = n

Signo del 2° término del trinomio es  » + «

Producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio: (+)(+) = » + «

Números buscados:  27  y  16   porque

27 + 16 = 43    y    (27)(16) = 432

–> =  (n+27)(+16) ,    Solución.

Nota: Para buscar los números, cuando las coeficientes del 2° y 3° términos del trinomio, son más grandes, se puede hacer descomponiendo el 3° término del trinomio en sus factores primos, así:

432 | 2

216 | 2

108 | 2

54   | 2

27   | 3

9     | 3

3     | 3

1     |       –> (2^4)(3³) = (16)(27) = 432   y también 16 +27 = 43

___________________________________________________________

48)  Factorar  m² -8m -1008

Raíz cuadrada de m² = m

Signo del 2° término del trinomio es  » – «

Producto de los signos del 2° y 3° término del trinomio es: (-)(-) = » + «

Números buscados:  -36    y  28   porque

-36 +28 = -8     y     (-36)(28) = -1008

–>=  (m-36)(m+28) ,     Solución.

Nota:  En este caso también para encontrar los números buscados, se descompone el 3° término del trinomio en sus factores primos; como se explicó en el problema 46.

___________________________________________________________

Prof. Jorge A. Carrillo M.