Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, cuando los factores tiene tres elementos.

Ejercicio 65

Procedimiento para (a+b+c)(a+b-c) :

–          Se determina dos elementos o variables comunes en signos, y esas variables (a+b), formarán el minuendo de la diferencia.

–          La tercera variable (c), es la que tiene signos distintos en los factores y es la que constituye el sustraendo de la diferencia.

–          Luego se forman dos factores; uno de  suma  y otro de diferencia.

–          En el primer factor (suma) se colocarán las variables asociadas más la variable que quedó sola [(a+b)+c].  En el segundo factor (diferencia) se colocarán las variables asociadas menos la variable que quedó sola [(a+b)-c].

–          Al multiplicar estos nuevos factores quedará el minuendo elevado al cuadrado menos el sustraendo elevado al cuadrado. Ej. (a+b)² – c²

–          Pero como hay una operación indicada entre paréntesis, (a+b)², es necesario resolver primero el minuendo, aplicando el caso del ejercicio 62 o 63.  Y al resultado, a²+2ab+b², se le agrega la variable que queda sola elevada al cuadrado, -c²;  y la solución final sería  a²+2ab+b² -c².

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1) (x+y+z)(x+y-z)

= [(x+y)+z][(x+y)-z]

= (x+y)² –z²

= x² +2xy +y² –z²

Se forman dos factores asociando en cada uno “x+y” así: [(x+y) + z] y [(x+y)-z]

Y como (x+y)(x+y) = (x+y)² y (+z)(-z) = – z²,  resultaría (x+y)² – z² ;

pero a este resultado hay que resolver el cuadrado de la suma de (x+y)² ,

que sería igual a x²+2xy +y²  , agregando a esto la otra variable – z²;

La solución sería   x²+2xy+y² -z²

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4) (m+n+1)(m+n-1)

= [(m+n) +1][(m+n) -1]

= (m+n)² -1²

= m² +2mn +n² –(1)

= m² +2mn +n² -1

Asociando “m+n” :  [(m+n)+1][(m+n)-1]

–>esto es igual (m+n)² –(1)²

–> (m+n)² = m² +2mn -n²  ;  – (1)² = – 1

La solución sería   m² +2mn +n² -1

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5) (m-n-1)(m-n+1)

= [(m-n) -1][(m-n) +1]

= (m-n)² -1²

= m² -2mn +n² -1

Asociando “ m-1 “  :  [(m-n)-1][(m-n)+1]

–> Esto es igual a  (m-n)² – (1)²

–> (m-n)² = m² -2mn +n²    ;   – (1)² = – 1

La solución sería   m² -2mn +n² – 1

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6) (x+y-2)(x-y+2)

= [x +(y-2)][x -(y-2)]

= x² –(y-2)²

= x² –{y² –[2(y)(2)] +2²}

= x² –(y²-4y+4) = x² –y² +4y -4

Asociando «y-2» :  [x+(y-2)][x-(y-2)]

..> Esto es igual a  x² – (y-2)²

..> x² = x²    ;

– (y-2)²

= -y² – [2(y)(2)]+2²

= -(y² -4y+4)

=  –y²+4y-4

La solución sería  x² -y²+4y -4

En este caso al formar los factores de suma y de diferencia; se toma el primer término de los polinomios como minuendo de cada uno de los nuevos factores (x) ; y se asocian el segundo y tercer término para formar el sustraendo (y-2);  pero al asociar el sustraendo en el factor de diferencia [x-(y+2)] ; los términos asociados se colocan dentro del paréntesis con diferente signo.

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8) (a²-2a+3)(a²+2a+3) = a^4+2a²+9

Asociando «a²» y «3» : (a²+3) –> [(a²+3)-2a][(a²+3) +2a]

–> Esto es igual a : (a²+3)² – (2a)²

–> Operando los cuadrados : = [(a²)² + 2(a²)(3) +3²] – 4a² =

–> simplificando :  = (a^4+6a²+9) – 4a² = a^4 +6a² +9 -4a² =

–> Operando términos  comunes : = a^4 +2a² +9 <– Solución.

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9) (m²-m-1)(m²+m-1) =

Asociando ¨m²» y ¨-1¨  : (m² -1) –> [(m² -1) -m][(m² -1) +m]

–> Esto es igual a: (m²-1)² – (m)²

–> Operando cuadrados: = [(m²)² -2(m²)(1) +(-1)²] – m²

–> Simplificando: = (m^4 -2m² +1) -m² = m^4 -2m² +1 -m² =

–> Operando términos comunes = m^4 -3m² +1 <–  Solución.

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10) (2a-b-c)(2a-b+c)

= [(2a-b)-c][(2a-b)+c]

=(2a-b)² –c²

= (2a)² -2(2a)(b) +(b)² –c²

= 4a^² -4ab +b^² –c²

Asociando «2a-b» : [(2a-b)-c][(2a-b)+c]

–> Esto es =  (2a-b)²-c²

Resolviendo lo del paréntesis : (2a)²-2(2a)(b)+b² = 4a^4-4ab+b²

Al resultado del paréntesis se le agrega el 3° término al cuadrado c² :

así   4a^4 -4ab +b² -c²   es la Solución

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12) (x²-5x+6)(x²+5x-6)

= [x²–(5x-6)][x²+(5x-6)

= (x²)²-(5x-6)²

= x^⁴–[(5x)² -2(5x)(6) +6²]

= x^⁴ -25x² +60x -36

Asociando «»5x-6» :  [x²-(5x-6)][x²-(5x-6)]= (x²)²-(5x-6)²

Minuendo : (x²)² = x^4   ;

Sustraendo : -(5x-6)² = -(5x)²-2(5x)(6)+6²] = -(25x² -60x+36)

La solución sería :  x^4 -25x² +60x-36

Toma en cuenta que para resolver el sustraendo,  este viene entre paréntesis antecedido de signo negativo » -( ) «, por lo que los términos se sacan con signo cambiado hacia la solución.

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–  En el caso 1: (x+y)² y en el caso 4 : (m+n)² ;  se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la suma de dos números : (Ejercicio 62)

 –  En el caso 5 : (m-n)² ; en el caso 6 : (y-2)²;  el caso 10 : (2a-b)² ; y en el caso 12 : (5x-6)²,  (se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la diferencia de dos números: (Ejercicio 63)

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Email: jorgecarrillom@gmail.com