Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Divisibilidad de un polinomio entero en “x” entre un binomio de la forma “x-a”

Teoremas:

1) Para comprobar si un polinomio dividido entre “x-a” es exacto, se divide el término independiente del polinomio entre el término independiente del binomio, sin tomar en cuenta los signos; y si el resultado es cero (0), es exacta.

2) Para comprobar si un polinomio entero en “x” es divisible entre un binomio de la forma “x-a”; se sustituye el valor de “x” del polinomio con el valor opuesto del segundo término del binomio, y si el resultado es igual a cero, o sea que se anula, el polinomio si es divisible entre x-a.

NOTA: Aún cuando el resultado de dividir los términos independientes sean exacto (Paso 1), no es condición suficiente para afirmar que el polinomio es divisible entre el binomio (Paso 2).

Ejemplos:

Para Paso 1)  Hallar, sin efectuar la división, si es exacta la división de x^3 -4x^2 +7x -6  entre x-2.

–> 6 / 2 = 3   –> la división es exacta.

Para Paso 2) Hallar, sin efectuar la división, si x^3 -4x^2+7x -6

es divisible entre x-2.

- Opuesto del 2º término del binomio (-2) = 2

- Sustituyendo:

x^3 -4x^2 +7x -6 = (2)^3 -4(2)^2 +7(2) -6 = 8 -16 +14 -6 = 32-32 = 0

por lo tanto el polinomio es divisible entre “x-2″.

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EJERCICIO 76

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas las divisiones siguientes:

1) x^2 -x -6 entre x-3

–> 6 /2 = 2  <–> es exacta.

Sustituyendo la “x” con el opuesto de (-3) = +3 en el polinomio:

x^2 -x -6 = (3)^2 -(3) -6 = 9 -3 -6 = 9 -9 = 0   –> exacta y si es divisible.

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2) x^3 +4x^2 -x -10 entre x+2

–> 10 / 2 = 5  <–> es exacta.

Sustituyendo la “x” con el opuesto de (+2) = -3 en el polinomio:

x^3+4x^2-x-10 = (-2)^3+4(-2)^2-(-2)-10 = -8+16+2-10 =

= -16+16 = 0 –> exacta y si es divisible.

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3) 2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3 entre x-1

–> 3 / 1 = 3 <–> es exacta.

Sustituyendo la “x” con el opuesto de (-1) = 1 en el polinomio:

2x^4 -5x^3 +7x^2 -9x +3 = 2(1)^4 -5(1)^3 +7(1)^2 -9(1) +3 =

= 2 -5 +7 -9 +3 = 12 -14 = -2 –> inexacta porque no es divisible.

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4) x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8 entre x+3

–> 8 / 3 = 2. 2/3  –> no es exacta.

Sustituyendo la “x” con el opuesto de (+3) = -3 en el polinomio:

x^5 +x^4 -5x^3 -7x +8 = (-3)^5 +(-3)^4 -5(-3)^3 -7(-3) +8 =

= -243 +81 +135 +21 +8 = -243 +245 = 2 –> inexacta.

En este caso cuando en la primera comprobación es inexacta, no es necesario realizar la segunda comprobación.

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5) 4x^3 -8x^2 +11x -4 entre 2x-1

–> 4 / 1 = 4  –> es exacta.

Sustituyendo “x ” con el opuesto de (-1/2) = +1/2 en el polinomio:

4x^3 -8x^2 +11x -4 = 4(1/2)^3 -8(1/2)^2 +11(1/2) -4 =

= 1/2 -2 +11/2 -4 = 6 -6 = 0  –> si es exacta.

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6) 6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 entre 3x+1

–> 3/1 = 3 –> es exacta.

Sustituyendo “x” con el opuesto de (1/3) = -1/3 en el polinomio:

6x^5 +2x^4 -3x^3 -x^2 +3x +3 =

= 6(-1/3)^5 +2(-1/3)^4 -3(-1/3)^3 -(-1/3)^2 +3(-1/3) +3 =

= -2/81 +2/81 +1/9 -1/9 -1 +3 = -92/81 +254/81 = 2 –> inexacta.

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Sus comentarios son importantes.

Prof. Jorge A. Carrillo M.

jorgecarrillom@gmail.com

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División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x-a”

EJERCICIO 75 

Procedimiento:

Teniendo:  x^3 -5x^2 +3x +14  / x-3
1) 1er. Termino del cociente :  Se escribe el coeficiente del primer termino del polinomio (1), abajo se pone el mismo coeficiente (1)  y como primer término del cociente también será el mismo.
2) 2º. Termino del cociente es :  el coeficiente del 2º término del polinomio (-5),  sumado con el producto del primer coeficiente del cociente encontrado (1) por el inverso del coeficiente del 2º término del divisor (+3), que es, (1)3=3  por lo que el segundo término del cociente es  -5 +3 = -2
3) 3er. Termino del cociente es : el coeficiente del 3er. término del polinomio (3),  sumado con el producto del 2º  coeficiente del cociente encontrado (-2) por el inverso del coeficiente del coeficiente del 2º término del divisor (+3), que es  (-2)3 = -6  , por lo que el tercer término del cociente es 3 -6 = -3

4) 4o término del cociente es : el coeficiente del 4o término del polinomio (14),  sumado con el producto del 2º  coeficiente del cociente encontrado (-3) por el inverso del coeficiente del coeficiente del 2º término del divisor (+3), o sea (-3)3 = -9 ; por lo que el 4o término del cociente es 14 -9 = 5

Dividendo      1                -5                   +3           +14

Divisor             1   (1)3   = 3   (-2)3  =  -6  (-3)3  = – 9

.                         ______________________________

Cociente         1                 -2                  - 3             5   =  x^2 -2x +3   Residuo 5

5) A los coeficientes del cociente encontrado se les agrega la variable así :

-  El primer término del cociente encontrado =  al primer coeficiente (1) por el término es la variable (x) en un grado menor al del primer término del polinomio dividido (x^3) , o sea, (x^2) –> 1x^2 = x^2 ;

-  El segundo término del cociente encontrado = al segundo coeficiente encontrado (-2) por la variable en forma descendente de grado (x^1) = x  –> -2(x) = -2x  ;

-  El 3er. término del cociente encontrado = a el 3er. coeficiente encontrado (+3) por la variable  en forma descendente de grado (x^0) = 1  –>    1(-3) = -3 

-  El último coeficiente del cociente encontrado será el residuo ( 5 )

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Ver varios ejercicios en :   División sintética.  Cociente y Residuo de la  división de un polinomio entero en “x” entre “x-a”  (2a.  Parte)

Prof. Jorge A. Carrillo M.     Email.: jorgecarrillom@gmail.com

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División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x-a” (2a. Parte)

En la Parte 1, está el Procedimiento General.

EJERCICIO 75

1) x^2 -7x +5   entre   x -3 –>

1             -7              + 5

1  (1)3 =  3   (-4)3= -12

____________________

1            -4               - 7        –>  Cociente =  x -4,   Residuo -7

En este caso el factor para encontrar el cociente es el inverso del término independiente del divisor (x -3) = +3.

1º  término del cociente es : coef. ( 1 ) y variable x^(2-1) = x^1 = x –> 1x = x

2º  término del cociente es: coef. (-4) y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –> -4(1) = -4

El último de los coeficientes ( -7) es el residuo. –>

La solución es  x -4   con residuo de -7

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3) x^3 -x^2 +2x -2   entre   x +1 –>

1              -1                   2                  -2

1   1(-1) = -1  (-2)(-1) =  2   (4)(-1) = -4

_______________________________

1              -2                   4                  -6         –> Cociente = x^2 -2x +4  Residuo = -6

Factor : inverso de +1 = -1

1º término : coef. (1)  y  variable x^(3-1) = x^2 –>  1(x^2) = 1(x^2) = x^2

2º término:  coef. (-2)  y variable x^(2-1) = x^1 = x –> = -2x

3º término:  coef. (4)  y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –>  4(1) = 4

Residuo : el último coeficiente del cociente = -6

Solución :  Cociente   x^2 -2x  +4  y Residuo  6

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5) a^3  -3a^2  -6 entre a +3 –>

1               -3                     0                      - 6

1  1(-3) =  -3   (-6)(-3) = 18   (18)(-3) = -54

__________________________________

1              -6                    18                   -60     Cociente = a^2-6a+18   Residuo = -60

Factor : inverso de +3 = -3

1º término: coef. (1)  y variable a^(3-1) = a^2  –> 1(a^2) = a^2

2º término: coef. (-6) y variable a^(2-1) = a^1 = a –>  -6(a) = 6a

3º término: coef. (18) y variable a^(1-1) = a^0 = 1  –> 18(1) = 18

Residuo : el último coeficiente del cociente = -60

Solución:  Cociente   a^2 +6a +18   Residuo  -60

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6) n^4 -5n^3 +4n -48   entre   n+2 –>

1          -5                    0                      4                  -48

1(-2)=  -2   (-7)(-2)= 14   (14)(-2)= -28   (-24(-2)= 48

__________________________________________

1          -7                   14                  -24                     0

Cociente = n^3 -7n^2 +14n -24   Residuo = 0

–> Factor: inverso de +2 = -2

1º término: coef . (1)  y variable n^(4-1) = n^3 –>  1(n^3) = n^3

2º término: coef. (-7) y variable n^(3-1) = n^2 –>  -7(n^2) = -7n^2

3º término: coef. (14) y variable n^(2-1) = n^1 = n –>  14(n) = 14n

4º término: coef. (-24) y variable n^(1-1) = n^0 = 1  –> -24(1) = -24

Residuo: el último coeficiente del cociente = 0

Solución :  Cociente   n^3 -7n^2 +14n -24      Residuo = 0

En este caso al escribir los coeficientes del polinomio a dividir; después de -5n^3, no tiene ningún término elevado al cuadrado, por lo que en la división sintética se coloca un cero (0), y se continua con el siguiente término que es 4n.   Además esta división es exacta, porque su residuo es cero (0).

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Residuo de la división de un polinomio entero y racional en “x” por un binomio de la forma “x±a” ó “bx±a”

Ejercicio 74

Procedimiento:

El residuo se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la “x” por la fracción que resulta de dividir el segundo término del binomio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del binomio.  Ejemplo:   x^2 -7x +6 entre x -4

Se encuentra la división del 2° término del binomio entre el 1° término del binomio :  4/1 = 4

El resultado de la fracción se sustituye por la “x” en el polinomio dado:

x^2 -7x +6 –> (4)^2 -7(4) +6 = 16 -28 +6 = -6   Esta es la solución

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Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:

1) x^2 -2x +3 entre x-1

Encontrando la fracción :   1/1 = 1

Sustituyendo en : x^2 -2x +3 –> (1)^2 -2(1) +3 = 1 -2 +3 = 2   Residuo

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3) x^4 -x^3+5 entre x -2

Encontrando la fracción :  2/1 = 2

Sustituyendo en:  x^4 -x^3 +5 –>  (2)^4 -(2)^3 +5 = 16 -8 +5 = 3  Residuo

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6) x^5 +3x^4 -2x^3 +4x^2 -2x +2 entre x +3

(el 3 se pasa a dividir con signo cambiado o sea -3)

Encontrando la fracción :  -3/1 = -3

Sustituyendo en  x^5 +3x^4 -2x^3 +4x^2 -2x +2 –>

(-3)^5 +3(-3)^4 -2(-3)^3 +4(-3)^2 -2(-3) +2 =

= -243+243+54+36+6+2= 98    Residuo

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8) 6x^3 +x^2 +3x +5 entre 2x +1

Encontrando la fracción : -1/2 = -1/2

Sustituyendo en 6x^3 +x^2 +3x +5 –>

6(-1/2)^3 +(-1/2)^2 +3(-1/2) +5 =

= 6(-1/8) + 1/4 -3/2 +5 = -3/4 +1/4 -3/2 +5 =  3   Residuo

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Recuerda aplicar la ley de los signos para la suma.

Haz un comentario es muy importante.  

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