Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Producto de dos Binomios de la forma (x+a)(x+b)

EJERCICIO   67

Procedimiento: (x+a) (x+b) = (x)^2+(a+b)x+(a)(b) = x^2+(a+b)x+ab

1) El primer termino del producto, es el producto de los primeros términos de los binomios;

2) El coeficiente del segundo término del producto, es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, multiplicada por el primer término de los binomios;

3) El tercer término del producto, es el producto de los segundos términos de los binomios.

1) (a+1)(a+2) = (a)^2 + (1+2)a + (1)(2) = a^2+3a+2

Primer término : (a)(a) = (a)^2 = a^2

Segundo término : (1+2)a = 3a

Tercer término : (1)(2) =

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3) (x+5)(x-2) = (x)^2 +(5-2)x +(5)(-2) = x^2 +3x -10

Primer término : (x)(x) = (x)^2 = x^2

Segundo término : (5-2)x = 3x

Tercer término : (5)(-2) = - 10

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7) (x-3)(x-1) = (x)^2 +(-3-1)x +(-3)(-1) = x^2 -4x +3

Primer término: (x)(x) = (x)^2 = x^2

Segundo término : (-3-1)x = -4x

Tercer término : (-3)(-1) = 3

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9) (a-11)(a+10) = (a)^2 +(-11+10)a +(-11)(10) = a^2 –a -110

Primer término : (a)(a) = (a)^2 = x^2

Segundo término: (-11+10)a = -a

Tercer término : (-11)(10) = -110

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15) (x^3+7)(x^3-6) = (x^3)^2 +(7-6)x^3 +(7)(-6) = x^6 +x^3 -42

Primer término: (x^3)(x^3) = (x^3)^2 = x^6

Segundo término : (7-6)x^3 = x^3

Tercer término : (7)(-6) = - 42

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19) (ab+5)(ab-6) = (ab)^2 +(5-6)ab +(5)(-6) = a^2b^2 -ab -30

Primer término: (ab)(ab) = (ab)^2 = a^2b^2

Segundo término: (5-6)ab = - ab

Tercer término: (5)(-6) = - 30

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Recuerda aplicar la ley de signos para la suma y para la multiplicación

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Cubo de un Binomio

EJERCICIO   66

Procedimiento:

(a +b)^3 = al cubo de la primera cantidad, más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.

(a –b)^3 = al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda.

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1) (a+2)^3 = a^3 +3(a^2)(2) +3(a)(2^2) +2^3 = a^3 +6a^2 +12a +8

Porque:

El cubo de la primera cantidad :  (a)^3 = a^3

más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda : 3(a)^2(2) = 6a^2

más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda : 3(a)(2)^2 = 12a

más el cubo de la segunda cantidad:  (2)^3  = 2^3 =

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4) (n-4)^3 = n^- 3(n^2)(4) + 3(n)(4)^2 – 4^3 = n^3 -12n^2 +48n -64

El cubo de la primera cantidad : (n)^3 = n ^3

menos el triplo del cuadrado de la 1° por la 2° :  -3(n)^2(4) = -12n^2

más el triplo de la 1° por la 2° al cuadrado :  3(n)(4)^2 = 48n

menos el cubo de la segunda cantidad :   – (4)^3 = -4^3 = -64

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7) (2+y^2)^3 = (2)^3 +3(2)^2(y^2) +3(2)(y^2)^2 +(y^2)^3 =

= 8 +3(4)(y^2) +3(2)(y^4) +y^6 = 8 +12y^2 +6y^4 +y^6

El cubo de la primera cantidad :   (2)^3 =2^3 = 8

más el tripo de la 1° al cuadrado por la 2°  : 3(2)^2(y^2) = 12y^2

más el triplo de la 1° por el cuadrado de la 2° :  3(2)(y^2)^2 = 6y^4

más el cubo de la segunda cantidad : (y^2)^3 = y^6

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10) (a^2-2b)^3 = (a^2)^3 -3(a^2)^2(2b) +3(a^2)(2b)^2 –(2b)^3 =

= a^6 -3(a^4)(2b) +3(a^2)(4b^2) -8b^3 =

 = a^6 -6a^4b +12a^2b^2 -8b^3

El cubo de la 1° cantidad: (a^2)^3 = a^6

menos el triplo de la 1° al cuadrado por la 2° :

-3(a^2)^2(2b) = -3(a^4)(2b) = -6a^4b

más el triplo de la 1° por la 2° al cuadrado :

3(a^2)(2b)^2 = 3(a^2)(4b^2) = 12a^b^2

menos el cubo de la 2° cantidad : -(2b)^3 = -8b^3

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Te recuerdo que:

Al elevar una potencia a otra potencia; se eleva al cubo el coeficiente, se copia la base y se multiplican los exponentes.

-

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, cuando los factores tiene tres elementos.

Ejercicio 65

Procedimiento para (a+b+c)(a+b-c) :

-          Se determina dos elementos o variables comunes en signos, y esas variables (a+b), formarán el minuendo de la diferencia.

-          La tercera variable (c), es la que tiene signos distintos en los factores y es la que constituye el sustraendo de la diferencia.

-          Luego se forman dos factores; uno de  suma  y otro de diferencia.

-          En el primer factor (suma) se colocarán las variables asociadas más la variable que quedó sola [(a+b)+c].  En el segundo factor (diferencia) se colocarán las variables asociadas menos la variable que quedó sola [(a+b)-c].

-          Al multiplicar estos nuevos factores quedará el minuendo elevado al cuadrado menos el sustraendo elevado al cuadrado. Ej. (a+b)^2 – c^2

-          Pero como hay una operación indicada entre paréntesis, (a+b)^2, es necesario resolver primero el minuendo, aplicando el caso del ejercicio 62 o 63.  Y al resultado, a^2+2ab+b^2, se le agrega la variable que queda sola elevada al cuadrado, -c^2;  y la solución final sería  a^2+2ab+b^2 -c^2.

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1) (x+y+z)(x+y-z) = [(x+y)+z][(x+y)-z] = (x+y)^2 –z^2 =

x^2 +2xy +y^2 –z^2

Se forman dos factores asociando en cada uno “x+y” así: [(x+y) + z] y [(x+y)-z]

Y como (x+y)(x+y) = (x+y)^2  y (+z)(-z) = – z^2,  resultaría (x+y)^2 – z^2 ;

pero a este resultado hay que resolver el cuadrado de la suma de (x+y)^2 ,

que sería igual a x^2 +2xy +y^2  , agregando a esto la otra variable - z^2;

La solución sería x^2+2xy+y^2 -z^2

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4) (m+n+1)(m+n-1) = [(m+n) +1][(m+n) -1] = (m+n)2 -12 =

= m^2 +2mn +n^2 –(1)  = m^2 +2mn +n^2 -1

Asociando “m+n” :  [(m+n)+1][(m+n)-1]

–>esto es igual (m+n)^2 –(1)^2

–> (m+n)^2 = m^2 +2mn -n^2   ;  – (1)^2 = - 1

La solución sería   m^2 +2mn +n^2  -1

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5) (m-n-1)(m-n+1) = [(m-n) -1][(m-n) +1] = (m-n)^2 -1^2 =

= m^2 -2mn +n^2 -1

Asociando “ m-1 “  :  [(m-n)-1][(m-n)+1]

–> Esto es igual a  (m-n)^2 –(1)^2

–> (m-n)^2 = m^2 -2mn +n^2    ;   – (1)^2 = – 1

La solución sería   m^2 -2mn +n^21

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6) (x+y-2)(x-y+2) = [x +(y-2)][x -(y-2)] = x^2 –(y-2)^2 =

= x^2 –{y^2 –[2(y)(2)] +2^2} = x^2 –(y^2-4y+4) = x^2 –y^2 +4y -4

Asociando “y-2″ :  [x+(y-2)][x-(y-2)]

..> Esto es igual a  x^2 – (y-2)^2

..> x^2 = x^2    ;    – (y-2)^2 = -(y^2 – [2(y)(2)]+2^2 = -(y^2 -4y+4) =

=  -y^2+4y-4

La solución sería  x^2 -y^2+4y -4

En este caso al formar los factores de suma y de diferencia; se toma el primer término de los polinomios como minuendo de cada uno de los nuevos factores (x) ; y se asocian el segundo y tercer término para formar el sustraendo (y-2);  pero al asociar el sustraendo en el factor de diferencia [x-(y+2)] ; los términos asociados se colocan dentro del paréntesis con diferente signo.

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8) (a^2-2a+3)(a^2+2a+3) = a^4+2a^2+9

Asociando “a^2″ y “3” : (a^2+3) –> [(a^2+3)-2a][(a^2+3) +2a]

–> Esto es igual a : (a^2+3)^2  – (2a)^2

–> Operando los cuadrados : = [(a^2)2 + 2(a^2)(3) +3^2] – 4a^2 =

–> simplificando :  = (a^4+6a^2+9) – 4a^2 = a^4 +6a^2 +9 -4a^2 =

–> Operando términos  comunes : = a^4 +2a^2 +9 <– Solución.

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9) (m^2-m-1)(m^2+m-1) =

Asociando ¨m^2″ y ¨-1¨  : (m^2 -1) –> [(m^2 -1) -m][(m^2 -1) +m]

–> Esto es igual a: (m^2-1)^2 – (m)^2

–> Operando cuadrados: = [(m^2)^2 -2(m^2)(1) +(-1)^2] – m^2

–> Simplificando: = (m^4 -2m^2 +1) -m^2 = m^4 -2m^2 +1 -m^2 =

–> Operando términos comunes = m^4 -3m^2 +1 <–  Solución.

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10) (2a-b-c)(2a-b+c) = [(2a-b)-c][(2a-b)+c] =(2a-b)^2 –c^2  =

= (2a)^2 -2(2a)(b) +(b)^2 –c^2 = 4a^2 -4ab +b^2 –c^2

Asociando “2a-b” : [(2a-b)-c][(2a-b)+c]

–> Esto es =  (2a-b)^2-c^2

Resolviendo lo del paréntesis : (2a)^2-2(2a)(b)+b^2 = 4a^4-4ab+b^2

Al resultado del paréntesis se le agrega el 3° término al cuadrado c^2 :

así   4a^4 -4ab +b^2 -c^2    es la Solución

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12) (x^2-5x+6)(x^2+5×-6) = [x^2–(5x-6)][x^2+(5×-6) =

= (x^2)^2-(5×-6)^2 = x^4–[(5x)^2 -2(5x)(6) +6^2] =

= x^4 -25x^2 +60x -36

Asociando “”5×-6″ :  [x^2-(5x-6)][x^2-(5x-6)]= (x^2)^2-(5×-6)^2

Minuendo : (x^2)^2 = x^4   ;

Sustraendo : -(5×-6)^2 = -(5x)^2-2(5x)(6)+6^2] = -(25x^2 -60x+36)

La solución sería :  x^4 -25x^2 +60×-36

Toma en cuenta que para resolver el sustraendo,  este viene entre paréntesis antecedido de signo negativo ” -( ) “, por lo que los términos se sacan con signo cambiado hacia la solución.

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-  En el caso 1: (x+y)^2   y en el caso 4 : (m+n)^2 ;  se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la suma de dos números : (Ejercicio 62)

 –  En el caso 5 : (m-n)^2  ; en el caso 6 : (y-2)^2;  el caso 10 : (2a-b)^2 ; y en el caso 12 : (5×-6)^2,  (se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la diferencia de dos números: (Ejercicio 63)

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Email: jorgecarrillom@gmail.com

Actualizado al 6-07-12

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Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

Ejercicio 64   

Procedimiento:  (a+b)(a-b) = al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo: a^ 2 – b^2. 

El minuendo y el sustraendo se identifican mejor  en el factor que tiene una diferencia o resta (a-b).

3) (a-x)(x+a) = (a-x)(a+x) = a^2 – x^2

En este caso la diferencia es (a-x)  –>

El cuadrado del minuendo “ a “ es              :    a^2

Menos el cuadrado del sustraendo “ x ” es : – x^2

Nota: el segundo factor (x+a) se ordenó a (a+x)

5) (2a-1)(1+2a) = (2a-1)(2a+1) = (2a)^2 –(1)^2 = 4a^2 -1

En este caso la diferencia es (2a-1)  –>

El cuadrado del minuendo “ 2a “ es            : (2a)^2 = 4a^2

Menos el cuadrado del sustraendo “ 1 “ es : – (1)^2 = - 1

 

7) (1-3ax)(3ax+1) = (1-3ax)(1+3ax) = 1 – 9a^2x^2

En este caso la diferencia es  (1-3ax) –>

El cuadrado del minuendo “ 1” es                   : (1)^2 = 1

Menos el cuadrado del sustraendo “ 3ax” es : – (3ax)^2 = - 9a^2x^2

9) (a^3 –b^2)(a^3+b^2) = (a^3)^2 –(b^2)^2 = a^6 – b^4

En este caso la diferencia es (a^3 – b^2) –>

El cuadrado del minuendo “ a^3 “ es               : (a^3)^2 = a^6

Menos el cuadrado del sustraendo “ b^2 ”  es : – (b^2)^2 = - b^4

Recuerda:

La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

-

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Ejercicio 63

Procedimiento:

  (x – y)2 = El primer término al cuadrado, menos el duplo del 1º. por el 2º. término, más el cuadrado del 2º. término.

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1) (a-3)^2 = (a)^2 -2(a)(3) +(3)^2 = a^2 -6a +9

El primer término al cuadrado   : (a)^2 = a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : – 2(a)(3) = - 6a

Más el cuadrado del 2° término :  (3)^2 = 9

4) (2a-3b)^2 = (2a)^2 -2(2a)(3b) +(3b)^2 = 4a^2 -12ab +9b^2

El primer término al cuadrado   :  (2a)^2 = 4a^2

Menos el duplo del 1° por el 2°   : – 2(2a)(3b) = - 12ab

Más el cuadrado del 2° término :  (3b)^2 = 9b^2

9) (x^5-3ay^2)^2 = (x^5)^2 -2(x^5)(3ay^2) +(3ay^2)^2 =

= x^10 – 6ax^5y^2 +9a^2y^4

El primer término al cuadrado   : (x^5)^2 = x^10

Menos el duplo del 1° por 2°        : – 2(x^5)(3ay ^2) = - 6ax^5y^2

Más el cuadrado del 2° término  : (3ay^2)^2 = 9a^2y^4

(más…)

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