Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

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Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

EJERCICIO 71

Caso I) a^4-b^4 / a-b = a^3+a^2b+ab^2+b^3 ,

.              a^5-b^5 / a-ba^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4

Caso II)  a^4-b^4 /a+b = a^3-a^2b+ab^2-b^3    

Caso III) a^5+b^5 / a+b = a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4

PROCEDIMIENTO: 

1) El cociente tendrá un número de términos igual al número de unidades

    que tienen los exponentes de las letras en el dividendo.

2) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término

    del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de “a”

    disminuye 1 en cada término.

3) El exponente de “b” en el segundo término del cociente es 1 y este

     exponente aumenta en 1 en cada término posterior a este.

4) Cuando el divisor es “a-b” todos los signos del cociente son +, y cuando

    el divisor es “a+b”, los signos del cociente son alternativamente “+” y “-”. 

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1) x^4-y^4 / x-y      =     x^3 +x^2y +xy^2 +y^3

Primer término: x /x = x –>  x^(4-1) = x^3

Segundo término: x^(3-1) = x^2;     y^1= y –> x^2y

Tercer término : x^(2-1) = x^1 = x ;    y^(1+1) = y^2 –>  xy^2

Cuarto término : x^(1-1) = x^0 = 1 ;  y^(2+1) = y^3

Observa que el segundo término del dividendo, o sea la “y” , se empieza a

colocar a partir del segundo término del cociente, elevado a la potencia “1″ ;

pero toda potencia a la “1″ es igual a su base : Ejemplo y^1 = y.

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3) a^5-n^5 / a-n              =         a^4 +a^3n +a^2n^2 +an^3 +n^4

Primer término: a /a = a –>   a^(5-1) = a^4

Segundo término : a^(4-1) = a^3 ;   n^1 = n –> a^3n

Tercer término : a^(3-1) = a^2  ;   n^(1+1) = n^2 –> a^2n^2

Cuarto término : a^(2-1) = a^1 = a   ;  n^(2+1) = n^3 –> an^3

Quinto término : a^(1-1) = a^0 = 1   ;  n^(3+1) = n^4 –> 1n^4 = n^4

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4) x^6-y^6 / x+y     =      x^5 -x^4y +x^3y^2 -x^2y^3 +xy^4 -y^5

Primer término: x/x = x –> x^(6-1) = x^5

Segundo término: x^(5-1) = x^4    ;  y^1 = y  –> x^4y

Tercer término :  x^(4-1) = x^3    ;    y^(1+1) = y^2 –> x^3y^2

Cuarto término:  x^(3-1) = x^2    ;    y^(2+1) = y^3 –> x^2y^3

Quinto término:  x^(2-1) = x^1 = x   ;  y^(3+1) = y^4 –>  xy^4

Sexto término:   x^(1-1) = x^0 = 1   ;  y^(4+1) = y^5 –> 1y^5 = y^5

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6) x^7+y^7 / x+y  =  x^6 –x^5y +x^4y^2 –x^3y^3 +x^2y^4 –xy^5 +y^6

Primer término:  x/x = x  –> x^(7-1) = x^6

Segundo término: x^(6-1) = x^5   ;  y^1 = y  –> x^5y

Tercer término:    x^(5-1) = x^4  ;   y^1+1) = y^2   –> x^4y^2

Cuarto término:   x^(4-1) = x^3  ;   y^(2+1) = y^3  –> x^3y^3

Quinto término:   x^(3-1) = x^2  ;   y^(3+1) = y^4  –> x^2y^4

Sexto término :   x^(2-1) = x^1 = x  ;  y^(4+1) = y^5  –> xy^5

Séptimo término: x^(1-1) = x^0 = 1  ;  y^(5+1) = y^6 –> 1y^6 = y^6

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13) 1-n^5 / 1-n =

(1)^4 +(1)^3n +(1)^2n^2 +1n^3 +n^4 = 1 +n +n^2 +n^3 +n^4

Primer término: 1/1 = 1 –> 1^(5-1) = 1^4 = 1

Segundo término : 1^(4-1) = a^3 = 1  ;  n^1 = n –> 1n = n

Tercer término : 1^(3-1) = 1^2 = 1  ;  n^(1+1) = n^2 –> 1n^2 = n^2

Cuarto término : 1^(2-1) = 1^1 = 1  ;  n^(2+1) = n^3 –> 1n^3 = n^3 

Quinto término :  1^(1-1) = 1^0 = 1  ;  n^(3+1) = n^4 –> 1n^4 = n^4

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27) 64m^6-729n^6 / 2m+3n = (2m)^6-(3n)6 / 2m+3n

=(2m)^5–(2m)^4(3n)+(2m)^3(3n)^2–(2m)^2(3n)^3+(2m)(3n)^4–(3n)^5

= 32m^5 -48m^4n +72m^3n^2 -108m^2n^3 +162mn^4 -243n^5

1er. término : (2m)^(6-1) = (2m)^5 = 32m^5

2° término : (2m)^(5-1) = (2m)^4 = 16m^4  ; (3n)^1 = 3n

–> (16m^4)(3n) = (16)(3)m^4n = 48m^4n

3er. término:(2m)^(4-1) =(2m)^3 =8m^3  ; (3n)^(1+1)=3n^2 =9n^2

–> (8m^3)(9n^2) = (8)(9)m^3n^2 = 72m^3n^2

4° término: (2m)^(3-1) =(2m)^2 =4m^2 ; (3n)^(2+1)= (3n)^3 =27n^3

–> (4m^2)(27n^3) = (4)(27)m^2n^3 = 108m^2n^3

5° término:(2m)^(2-1) = (2m)^1 = 2m  ;  (3n)^(3+1) = (3n)^4 =81n^4

–> (2m)(81n^4) = (2)(81)mn^4 = 162mn^4

6° término: (2m)^(1-1) =(2m)^0 = 1  ;  (3n)^(4+1) =(3n)^5 = 243n^5

–> (1)(243n^5) = 243m^5

Nota: El cociente original 64m^6-729n^6 se cambia por (2m)^6-(3n)^6,

dado que 64m^2 es igual a (2m)^6 y 729n^6 es igual (3n)^6; –> se

usan para el desarrollo los términos del divisor “2m” y “3n” , siguiendo

los pasos que se han utilizado en el desarrollo de los anteriores casos.

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Recuerda:

El número de término del cociente depende del exponente del dividendo.

Ej.  x^6 –> 6 términos.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

EJERCICIO  70 

Procedimiento:

1) a^3 + b^3 / a+b –> Es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la raíz cúbica de la primera cantidad por la raíz cúbica de la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

2) a^3 – b^3 / a-b –>  Es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el producto de la raíz cúbica de la primera cantidad por la raíz cúbica de la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Nota: Se entiende por cantidad, la raíz cúbica de los términos:

la raíz cúbica de a^3 es “a” y la raíz cúbica de b^3 es “b”

–> la raíz cúbica de a^3+b^3 = a+b   y la raíz cúbica de a^3-b^3 = a-b

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1) 1+a^3 / 1+a = (1)^2 –(1)(a) +a^2 = 1 –a +a^2

Cuadrado de la 1° cantidad : (1)^2 = 1^2 = 1

( – ) Producto de la raíz cúbica de la 1° por la raíz cúbica de la 2° :  (1)(a) = a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad : (a)^2 = a^2

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4) 8a^3 -1 /2a-1 = (2a)^2 +(2a)(1) +(1)^2 = 4a^2 +2a +1 

Cuadrado de la 1° cantidad : (2a)^2 = 4a^2    ( la raíz^3 de 8a^3 = 2a)

(-) Producto de la raíz^3 de la 1° por la raíz^3 de la 2° :  (2a)(1) = 2a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad : (1)^2 = 1^2 = 1

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7) 64a^3+343 / 4a+7  = (4a)^2 –(4a)(7) +(7)^2 = 16a^2 – 28a +49

Cuadrado de la 1° cantidad: (4a)^2 = 16a^2

(-) Producto de la raíz^3 de la 1° por la raíz^3 de la 2° : (4a)(7) = 28a

(+) Cuadrado de la 2° cantidad: (7)^2 = 49

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Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades.

EJERCICIO   69

Procedimiento:

a^2-b^2   1)  La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida 

   a+b         por la “suma” de las cantidades es igual a la “diferencia” de la

                  raíz cuadrada de las cantidades.

                  

  a^2-b^2   2)  La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida 

   a-b           por la “diferencia” de las cantidades es igual a la “suma” de la

                   raíz cuadrada de las cantidades.

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1) x^2-1 / x+1 = (x^2/x)+(-1/1) = x-1

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor : x^2 / x = x

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor :  -1 / 1 = -1

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2) 1-x^2 / 1-x = (1/1)+(x^2/-x) = 1-x

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor : 1 / 1 = 1

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor : x^2 / -x = -x

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5) x^2 -4 / x+2 = (x^2 / x)+(-4 / 2) = x -2

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor : x^2 / x = x

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor : -4 / 2 = -2

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8) 25-36x^4 / 5-6x^2 = (25 / 5)+(-36x^4 / -6x^2) = 5 +6x^2 

Se divide el 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor: 25 / 5 = 5

Se divide el 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor:

-36x^4 / -6x^2 = 6x^2

(Recuerda que (-) entre (-) da positivo (+) : -36/-6 = 6) y que (al dividir potencias,

se copia la base y se restan los exponentes(x^4 / x^2 = x^(4-2) = x^2)

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10) 36m^2-49n^2x^4 / 6m-7nx^2 = (36m^2 / 6m)+(-49n^2x^4 / -7nx^2) =

= 6m +7nx^2

 El 1° término del dividendo entre el 1° término del divisor: 36m^2 / 6m = 6m

El 2° término del dividendo entre el 2° término del divisor: -49n^2x^4 / -7nx^2 =

7nx^2

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