Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Procedimiento:

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV).

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Ejemplo:  Factorar    x^4 +x^2y^2 +y^4

1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:

raíz cuadrada de x^4 = x^2      ;     Raíz cuadrada de y^4 = y^2

el 2º  término debiera ser  2(x^2)(y^2) = 2x^2 y^2

Comparando 2º término (2x^2y^2) – (x^2y^2) = x^2y^2  lo que le falta

2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado  perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así:

x^4   +  x^2y^2  + y^4                     (Trinomio original)

.       +  x^2y^2              – x^2y^2     (sumando y restando lo que le hace falta)

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x^4 +2x^2y^2 +y^4  -x^2y^2  = (x^4 +2x^2y^2 +y^4) -x^2y^2 (resultado de convertir el trinomio)

3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:

(x^4 +2x^2y^2 +y^4)  – x^2y^2 =  (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2

4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:

(x^2 + y^2)^2 – x^2y^2  = (x^2 +y^2 +xy)(x^2y^2 -xy)

Ordenado sería = (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) <– Solución

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EJERCICIO 96

1) Factorar a^4+a^2+1 = 

>  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de a^4 = a^2     ;   raíz cuadrada de 1 = 1

El 2º término debe ser: 2(a^2)(1) =  2a^2

>  Comparando los 2ºs términos:  2a^2 – a^2 = a^2  <–lo que falta.

>  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):

a^4  +  a^2  + 1

.      +  a^2        -a^2

—————————–

a^4 +2a^2 + 1 -a^2  =  (a^4 +2a^2 +1) – a^2

>  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:

(a^4 +2a^2 +1) – a^2 =  (a^2 +1)^2 – a^2

>  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos:

(a^2 +1)^2 – a^2 = (a^2 +1 +a)(a^2 +1 -a)  

ordenado quedaría así (a^2 +a+1)(a^2-a+1)  <–Solución

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2) Factorar m^4+m^2n^2+n^4 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz^2 de  m^4 = m^2    ;   raíz^2 de n^4 = n^2

–> el 2º término debe ser: 2(m^2)(n^2) = 2m^2n^2

Comparando los 2ºs términos:  2m^2n^2 – m^2n^2 = m^2n^2 <– le falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

m^4  +   m^2n^2  +  n^4

.        +  m^2n^2              – m^2n^2

——————————————–

m^4  + 2m^2n^2 + n^4 – m^2n^2  =  (m^4+2m^2n^2) -m^2n^2

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III

(m^4+2m^2n^2+n^4) – m^2n^2  =  (m^2 + n^2)^2  – m^2n^2

>> Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV)

(m^2+ n^2)^2 – m^2n^2 = (m^2 +n^2 +mn)(m^2 +n^2 -mn)

ordenado quedaría así :  (m^2 +mn+n^2)(m^2 -mn+n^2) Solución

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3) Factorar x^8 +3x^4 +4

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz^2 de x^8 = x^4   ;   raíz^2 de 4 = 2

–> el 2º término debería ser :  2(x^4)(2) = 4x^4

Comparando los 2ºs términos:   4x^4  –  3x^4 = x^4  Es lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

x^8 +3x^4 +4

.         x^4       -x^4

———————-

x^8 +4x^4 +4 -x^4  =   (x^8 +4x^4 +4) -x^4

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(x^8 +4x^4 +4)  – x^4  =  (x^4 +2)^2  - x^4

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(x^4 +2)^2 -x^4  =  (x^4 +2 +x^2)(x^4 +2 -x^2)

ordenando quedaría así :  (x^4 +x^2 +2)(x^4 -x^2 +2)  Solución

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4) Factorar    a^4 +2a^2 +9 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz^2 de a^4 = a^2     ;      raíz^2 de 9 = 3

–> el 2° término sería:  2(a^4)(3) = 6a^2

–> comparando los 2° términos :   6a^2   –   2a^2 = 4a^2  lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

a^4 +2a^2 +9

.      +4a^2       -4a^2

_________________

a^4 +6a^2 +9 -4a^2   =   (a^4 +6a^2 +9) – 4a^2

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(a^4 +6a^2 +9) -4a^2 = (a^2 +3)^2  – 4a^2

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(a^2 +3)^2 – 4a^2 = (a^2 +3 +2a)(a^2 +3 -2a)

ordenado quedaría así:  (a^2 +2a +3)(a^2 -2a +3)   Solución

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17) Factorar  25x^4-139x^2y^2+81y^4

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto

25x^4 = 5x^2

81y^4 = 9y^2

El 2° término debe ser  -2(5x^2)(9y^2) =  -90x^2y^2

Comparando los dos 2° términos:

-139x^2y^2  ( trinomio original)

-  90x^2y^2  (como debería ser)

-  49x^2y^2   ( es lo que se pasa)

Entonces a la ecuación original debemos quitarle +49x^2y^2

>> Convirtiendo la expresión a trinomio cuadrado perfecto,

por adición y sustracción, se hace así:

25x^4 -139x^2y^2 +81y^2

.                  49x^2^2                     -49x^2y^2

25x^4 -90x^2y^2 +81y^4 -49x^2y^2

= (25x^4-90x^2y^2+81y^4) – 49x^2y ^2

>> Factorando el trinomio cuadrado como (Caso III)

= (5x^2-9y^2)^2 – (7xy)^2

>> Factorando toda la expresión como diferencia de cuadrados (Caso IV)

(5x^2-9y^2+7xy)(5x^2-9y^2-7xy)

>> Ordenando los factores:

= 5x^2+7xy-9y^2)(5x^2-7xy-9y^2) <–  Solución.

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Comentarios en: "Caso V. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción." (15)

  1. Anónimo dijo:

    gracias sus ejercicios estan bien claros

  2. Anónimo dijo:

    gracias me sirvió de mucha ayuda para mi exposicion

  3. Anónimo dijo:

    Será que me puede ayudar no entiendo
    Mi face esta como lakky alvarez

  4. bn mal esta consulta

  5. victor argoti dijo:

    Porfa ayudame a entender muy bien tengo 14 años y no entiendo porfa mi facebook es victor argoti tengo un anime en mi foto de perfil y mi hotmail es niokun2011@hotmail.com
    Porfa ayudame

  6. muchas gracias por explicarme lo que no havia entendido

  7. Gracias me sako de aguas

  8. the best dijo:

    grasias por su gran ayuda por esto no voy a gracasar

  9. karoll gallego dijo:

    No me ayuda en nada por que es una casa que no esta bien explicada

  10. Anónimo dijo:

    gracias por su ayuda :D ;)

  11. Anónimo dijo:

    no me gusta la matematica

  12. Anónimo dijo:

    Gracias Fue De Una Gran Ayuda

  13. Emily Ponce dijo:

    no entiendo nada -___-

  14. que vakano …graciiias ♦♦♦

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