Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, cuando los factores tiene tres elementos.

Ejercicio 65   

Procedimiento para (a+b+c)(a+b-c) :

-          Se determina dos elementos o variables comunes en signos, y esas variables formarán el minuendo de la diferencia: (a+b).

-          La tercera variable es la que tiene signos distintos en los factores y es la que constituye el sustraendo de la diferencia ” c “.

-          Luego se forman dos factores; uno de  suma  y otro de diferencia.

-          En el primer factor (suma) se colocarán las variables asociadas más la variable que quedó sola [(a+b)+c].  En el segundo factor (diferencia) se colocarán las variables asociadas menos la variable que quedó sola [(a+b)-c].

-          Al multiplicar estos nuevos factores quedará el minuendo elevado al cuadrado menos el sustraendo elevado al cuadrado. Ej. (a+b)^2 – c^2

-          Pero como hay una operación indicada entre paréntesis, (a+b)^2, es necesario resolver primero el minuendo, aplicando el caso del ejercicio 62 o 63.  Y al resultado, a^2+2ab+b^2, se le agrega la variable que queda sola elevada al cuadrado, -c^2;  y la solución final sería  a^2+2ab+b^2 -c^2.

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1) (x+y+z)(x+y-z) = [(x+y)+z][(x+y)-z] = (x+y)^² –z^² =

x^² +2xy +y^² –z^²

Se forman dos factores asociando en cada uno “x+y” así: [(x+y) + z] y [(x+y)-z]

Y como (x+y)(x+y) = (x+y)^2  y (+z)(-z) = – z^2,  resultaría (x+y)^2 – z^2 ;

pero a este resultado hay que resolver el cuadrado de la suma de (x+y)^2 ,

que sería igual a x^2 +2xy +y^2  , agregando a esto la otra variable - z^2;

La solución sería x^2+2xy+y^2 -z^2

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4) (m+n+1)(m+n-1) = [(m+n) +1][(m+n) -1] = (m+n)² -1² =

= m^² +2mn +n^² –(1)  = m^² +2mn +n^² -1

Asociando “m+n” :  [(m+n)+1][(m+n)-1]

–>esto es igual (m+n)^2 –(1)^2

–> (m+n)^2 = m^2 +2mn -n^2   ;  – (1)^2 = - 1

La solución sería   m^2 +2mn +n^2  -1

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5) (m-n-1)(m-n+1) = [(m-n) -1][(m-n) +1] = (m-n)^² -1^² =

= m^² -2mn +n^² -1

Asociando “ m-1 “  :  [(m-n)-1][(m-n)+1]

–> Esto es igual a  (m-n)^2 –(1)^2

–> (m-n)^2 = m^2 -2mn +n^2    ;   – (1)^2 = – 1

La solución sería   m^2 -2mn +n^2 – 1

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6) (x+y-2)(x-y+2) = [x +(y-2)][x -(y-2)] = x^² –(y-2)^² =

= x^² –{y^² –[2(y)(2)] +2^²} = x^² –(y^²-4y+4) = x^² –y^² +4y -4

Asociando “y-2″ :  [x+(y-2)][x-(y-2)]

..> Esto es igual a  x^2 – (y-2)^2

..> x^2 = x^2    ;    - (y-2)^2 = -(y^2 – [2(y)(2)]+2^2 = -(y^2 -4y+4) =

=  -y^2+4y-4

La solución sería  x^2 -y^2+4y -4

En este caso al formar los factores de suma y de diferencia; se toma el primer término de los polinomios como minuendo de cada uno de los nuevos factores (x) ; y se asocian el segundo y tercer término para formar el sustraendo (y-2);  pero al asociar el sustraendo en el factor de diferencia [x-(y+2)] ; los términos asociados se colocan dentro del paréntesis con diferente signo.

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8) (a^2-2a+3)(a^2+2a+3) = a^4+2a^2+9

Asociando “a^2″ y “3″ : (a^2+3) –> [(a^2+3)-2a][(a^2+3) +2a]

–> Esto es igual a : (a^2+3)^2  - (2a)^2

–> Operando los cuadrados : = [(a^2)2 + 2(a^2)(3) +3^2] – 4a^2 =

–> simplificando :  = (a^4+6a^2+9) – 4a^2 = a^4 +6a^2 +9 -4a^2 =

–> Operando términos  comunes : = a^4 +2a^2 +9 <– Solución.

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9) (m^2-m-1)(m^2+m-1) =

Asociando ¨m^2″ y ¨-1¨  : (m^2 -1) –> [(m^2 -1) -m][(m^2 -1) +m]

–> Esto es igual a: (m^2-1)^2 – (m)^2

–> Operando cuadrados: = [(m^2)^2 -2(m^2)(1) +(-1)^2] – m^2

–> Simplificando: = (m^4 -2m^2 +1) -m^2 = m^4 -2m^2 +1 -m^2 =

–> Operando términos comunes = m^4 -3m^2 +1 <–  Solución.

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10) (2a-b-c)(2a-b+c) = [(2a-b)-c][(2a-b)+c] =(2a-b)^² –c^²  =

= (2a)^² -2(2a)(b) +(b)^² –c^² = 4a^² -4ab +b^² –c^²

Asociando “2a-b” : [(2a-b)-c][(2a-b)+c]

–> Esto es =  (2a-b)^2-c^2

Resolviendo lo del paréntesis : (2a)^2-2(2a)(b)+b^2 = 4a^4-4ab+b^2

Al resultado del paréntesis se le agrega el 3° término al cuadrado c^2 :

así   4a^4 -4ab +b^2 -c^2    es la Solución

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12) (x^²-5x+6)(x^²+5x-6) = [x^²–(5x-6)][x^²+(5x-6) =

= (x^²)^²-(5x-6)^² = x^⁴–[(5x)^² -2(5x)(6) +6^²] =

= x^⁴ -25x^² +60x -36

Asociando “”5x-6″ :  [x^2-(5x-6)][x^2-(5x-6)]= (x^2)^2-(5x-6)^2

Minuendo : (x^2)^2 = x^4   ;

Sustraendo : -(5x-6)^2 = -(5x)^2-2(5x)(6)+6^2] = -(25x^2 -60x+36)

La solución sería :  x^4 -25x^2 +60x-36

Toma en cuenta que para resolver el sustraendo,  este viene entre paréntesis antecedido de signo negativo ” -( ) “, por lo que los términos se sacan con signo cambiado hacia la solución.

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-  En el caso 1: (x+y)^2   y en el caso 4 : (m+n)^2 ;  se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la suma de dos números : (Ejercicio 62)

 -  En el caso 5 : (m-n)^2  ; en el caso 6 : (y-2)^2;  el caso 10 : (2a-b)^2 ; y en el caso 12 : (5x-6)^2,  (se aplicó el procedimiento para el cuadrado de la diferencia de dos números: (Ejercicio 63)

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Email: jorgecarrillom@gmail.com

Actualizado al 6-07-12

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