Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Notas: Para multiplicar polinomios primero hay que ordenar los términos en orden ascendente o descendente con relación a una letra, tomando en cuenta lo siguiente:

1°.  En el orden ascendente, el exponente entero negativo o el fraccionario negativo que irá primero será aquel que esté menos próximo a cero.  Ejemplo: -1 es menor que -1/2, porque está menos próximo a cero (0)

2°.  En el orden descendente, el exponente entero negativo o el fraccionario negativo que irá primero será aquel que esté más próximo a cero.  Ejemplo:  -3/7 es mayor que -3/8, porque está más próximo a cero (0)

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Veamos unos ejemplos de la multiplicación de polinomios:

a) 2x⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹  por  x⁻¹- x⁻¹⁄²y⁻¹⁄²+ y⁻¹

>Ya están ordenados en orden ascendente en relación a la letra “x”.

2x⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻¹⁄² + y⁻¹

x⁻¹    -    x⁻¹⁄²y⁻¹⁄²  + y⁻¹

2x⁻² + 3x⁻³⁄²y⁻¹⁄² +  x⁻¹y⁻¹

.       – 2x⁻³⁄²y⁻¹⁄² – 3x⁻¹y⁻¹   -  x⁻¹⁄²y⁻³⁄²

                           + 2x⁻¹y⁻¹ + 3x⁻¹⁄²y⁻³⁄² + y⁻²

2x⁻²  +  x⁻³⁄²y⁻¹⁄²                  +2x⁻¹⁄²y⁻³⁄² + y⁻²    Solución.

 

b) ab⁻¹ – a¹⁄³b + a²⁄³   por  a¹⁄³b⁻³ – b⁻² – a⁻¹⁄³b⁻¹

> Ordenando en orden descendente en relación a la letra “a”:

ab⁻¹ + a²⁄³ – a¹⁄³b

a¹⁄³b⁻³ – b⁻² – a⁻¹⁄³b⁻¹

a⁴⁄³b⁻⁴ + ab⁻³ – a²⁄³b⁻²

.          -  ab⁻³ – a²⁄³b⁻² + a¹⁄³b⁻¹

.                     – a²⁄³b⁻²  - a¹⁄³b⁻¹ + 1

a⁴⁄³b⁻⁴            -3a²⁄³b⁻²              + 1  Solución.

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Ejercicio 224.

Multiplicar, ordenando previamente:

1)  a⁻⁴+2+3a⁻²  por  a⁻⁴-a⁻²+1

a⁻⁴+3a⁻²+2

a⁻⁴ -a⁻² +1

a⁻⁸+3a⁻⁶+2a⁻⁴

.     -  a⁻⁶ -3a⁻⁴  -2a⁻²

.                  a⁻⁴ +3a⁻² +2

a⁻⁸+2a⁻⁶               a⁻² +2  Solución.

 

2) x²-1+x⁻²  por  x²+2-x⁻²

x² -1 +x⁻²

x² +2 -x⁻²

x⁴ – x² +x⁰

.    2x²        -2 +2x⁻²

.           -x⁰           x⁻² -x⁻⁴

x⁴+ x²         -2  +3x⁻² -x⁻⁴   Solución.

 

3) x+x¹⁄³+2x²⁄³  por  x¹⁄³+x⁻¹⁄³-2

x +2x²⁄³+x¹⁄³

x¹⁄³  -2+x⁻¹⁄³

x⁴⁄³+2x +  x²⁄³

.      -2x -4x²⁄³ – 2x¹⁄³

.             + x²⁄³+ 2x¹⁄³+x⁰

x⁴⁄³         -2x²⁄³           +1  Solución.

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La Ley de los Exponentes en la multiplicación, dice que para multiplicar potencias de igual base, se multiplican los coeficientes, se copia la base y se suman los exponentes.  Esto se aplica también cuando las bases tienen exponentes negativos o fraccionarios.

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Ejemplos:

1) a⁻⁴ * a = a⁻⁴⁺¹ = a⁻³

 

2) a³ * a⁻⁵ = a³⁻⁵  = a⁻²

 

3) a⁻¹ * a⁻² = a⁻¹⁻² = a⁻³

 

4) a³ * a⁻³ = a³⁻³ = a⁰ = 1

 

5) a¹⁄² * a³⁄⁴ = a¹⁄²⁺³⁄⁴ = a⁵⁄⁴

 

6) a⁻³⁄⁴ * a¹⁄² = a⁻³⁄⁴⁺¹⁄² = a⁻¹⁄⁴

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Ejercicio 223.

 

Multiplicar:

 

1) x² * x⁻³ = x²⁻³ = x⁻¹   Solución.

 

4) a¹⁄² * a = a¹⁄²⁺¹ = a³⁄²   Solución.

 

10) 3n² * n⁻²⁄³ = 3n² ⁻²⁄³ = 3n⁴⁄³   Solución.

 

14) 3a²b¹⁄² * 2a⁻²b⁻¹⁄² = 6a²⁻²b¹⁄² ⁻¹⁄² = 6a⁰b⁰ = 6*1*1 = 6  Solución.

 

17) m⁻²⁄³n¹⁄³ * m⁻¹⁄³n²⁄³ = m⁻²⁄³⁻¹⁄³n¹⁄³⁺²⁄³ = m⁻¹n  Solución.

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Procedimiento:

1) Sustituir las letras por sus valores.

2) Hacer positivos los valores negativos.

3) Convertir factores fraccionarios en raíces.

4) Factorizar los exponentes de las cantidades subradicales.

5) Efectuar operaciones indicadas.

6) Simplificar.

Nota: Aplicar las reglas y procedimientos explicados en “Teoría de los Exponentes

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Ejemplos:

1)  Valor numérico de a⁻²b+a¹⁄²b³⁄⁴+x⁰ ; para a=4, b=16, x=3

>Se sustituyen las letras por sus valores:

(4⁻²)(16)+(4¹⁄²)(16³⁄⁴)+4⁰

>Se efectúan las operaciones indicadas:

(1/4²)(16)+(√4)(⁴√16³)+1

= (1/16)(16)+(2)(⁴√(2⁴)³)+1

= 1+(2)(2³)+1

= 1+(2)(8)+1

= 1+16+2 = 18  Solución.

 

b) Valor numérico de 3/a⁻¹⁄²b²⁄³+x⁻³⁄⁵y⁰-a⁻³b¹⁄³/2 +1/b⁰ ⁵√x⁴

para a=4, b=8, x=32, y=7

>Sustituyendo las letras por sus valores:

3/(4⁻¹⁄²)(8²⁄³) + (32⁻³⁄⁵)(7⁰) – (4⁻³)(8¹⁄³)/2  + 1/(8⁰)(⁵√32⁴)

>Haciendo positivos los valores negativos:

3(4¹⁄²)/8²⁄³ + 7⁰/32³⁄⁵ – 8¹⁄³/2(4³) + 1/(8⁰)(⁵√32⁴)

>Convirtiendo factores fraccionarios en raíces:

= 3(√4)/³√8² + 1/⁵√32³- ³√8/128 + 1/ 1(⁵√32⁴)

= (3)(2)/³√(2³)² + 1/⁵√(2⁵)³ – 2/128 + 1/ ⁵√(2⁵)⁴

= 6/2² + 1/2³ – 1/64 + 1/2⁴

= 6/4 + 1/8 – 1/64 + 1/16

= 3/2 + 1/8 -1/54 + 1/16 = 1. 43/64  Solución.

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Ejercicio 222.

Hallar el valor numérico de:

1) a⁻² + a⁻¹b¹⁄² + x⁰ :  para a=3, b=4

= 3⁻² + (3⁻¹)(4¹⁄²) + x⁰  (Toda cantidad elevada a la ⁰ es = 1)

= 1/3² + (1/3)(4¹⁄²) + 1

= 1/9 + (1/3)(√4) + 1

= 1/9 + (1/3)2 +1

= 1/9 + 2/3 +1 = 1. 7/9  Solución.

 

2) 3x⁻¹⁄² + x²y⁻³ + x⁰y¹⁄³  ;  Para x=4,  y=1

= 3(4⁻¹⁄²) + (4²)(1⁻³) + (4⁰)(1¹⁄³)

= 3/4¹⁄²) + 16/1³ + (1)( 1¹⁄³)

= 3/√4) +16/1 + (1)(³√1)

= 3/2 +16 + (1)(1)

= 3/2 +16 +1 = 37/2 = 18.½  Solución.

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3) 2a⁻³b + a⁻⁴/b⁻¹ + a¹⁄²b⁻³⁄⁴  ;  para a=4, b=16

= 2(4⁻³)(16) + 4⁻⁴/16⁻¹ + (4¹⁄²)(16⁻³⁄⁴)

= 2(16)/4³ + 16/4⁴ + 4¹⁄²/16³⁄⁴

= 32/64 + 16/256 + √4/⁴√16³

= ½ + 1/16 + 2/⁴√(2⁴)³

= ½ + 1/16 + 2/2³

= ½ + 1/16 + ¼ = 13/16   Solución.

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Aplicar las reglas y procedimientos explicados en “Teoría de los Exponentes”.

Ejemplos:

a) Expresar con signo radical y exponentes positivos  a³⁄⁴/x⁻¹⁄²

Pasar el factor del denominador, que es negativo al numerador como positivo:

a³⁄⁴/x⁻¹⁄² = a³⁄⁴ x¹⁄²

Expresar con signo radical:

a³⁄⁴ x¹⁄² =  ⁴√a³ √x   Solución.

 

b) Expresar con exponentes fraccionarios positivos ³√a⁻² /3 √x⁻⁵

Expresar con exponentes fraccionarios:

³√a⁻² /3 √x⁻⁵  = a⁻²⁄³ /3 x⁻⁵⁄²

Pasar los factores negativos a positivos:

a⁻²⁄³ /3 x⁻⁵⁄² =  x⁵⁄² /3a²⁄³   Solución.

 

c) Hallar el valor de 125²⁄³

1°  Expresar con signo radical:

125²⁄³ = ³√125²

2°  Resolviendo la cantidad subradical y convirtiéndola a nueva potencia:

³√125²  =  ³√15625  = ³√5⁶

3°  Factorizando el exponente de la nueva cantidad subradical

³√5⁶ = ³√(5²)³

4°  Eliminando el exponente de la cantidad subradical y el índice de la raíz:

³√(5²)³ = 5² = 25   Solución.

 

d) Hallar el valor de (4/9)⁻⁵⁄²

1°  Expresar el exponente negativo en positivo:

(4/9)⁻⁵⁄² =  1/ (4/9)⁵⁄²

2°  Expresar la potencia del denominador como radical:

1/ (4/9)⁵⁄² =  1/ √(4/9)⁵

3°  Convirtiendo a potencia (4/9) :

1/ √(4/9)⁵ = 1/ √(2²/3²)⁵

4°  Eliminando el índice de la raíz y los exponentes de la fracción (2²/3²):

1/ √(2²/3²)⁵ = 1/(2/3)⁵

5°  Resolviendo las operaciones y simplificando:

1/(2/3)⁵ = 1/ 32/243 = 1 * 243/32 = 243/32  Solución.

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Ejercicio 221.

 Expresar con signo radical y exponentes positivos:

1) x⁻¹⁄² = 1/ x¹⁄² = 1/√x  Solución.

 

2) 1/ a⁻¹⁄²b²⁄³ = a¹⁄²/ b²⁄³ = √a/³√b²  Solución.

 

3) 5a⁵⁄⁷b⁻¹⁄³ = 5a⁵⁄⁷ /b¹⁄³ = 5 ⁷√a⁵/³√b  Solución.

 

Expresar con exponentes positivos:

16) √a⁻³ = a⁻³⁄² = 1/a³⁄²  Solución.

 

17) 2√x⁻³y⁻⁴ = 2x⁻³⁄²y⁻⁴⁄² = 2/x³⁄²y²  Solución.

 

18) a²⁄³ /√x⁻⁵ = a²⁄³ /x⁻⁵⁄² = a²⁄³x⁵⁄²  Solución.

 

Hallar el valor de:

25) 16³⁄² = √16³ = √(4²)³ = 4³ = 64  Solución.

 

28) 9⁻⁵⁄² = 1/ 9⁵⁄²= 1/√9⁵ = 1/ √(3²)⁵ = 1/3⁵ = 1/243  Solución.

 

29) (-27)²⁄³ = ³√-27² = ³√(-3³)² = -3² = 9  Solución.

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Casos:

1) Trasladar factores literales del numerador al denominador de una expresión.

Ejemplo: Sea la expresión x³/y⁴ = 1/x⁻³y⁴

Se deja en el numerador el coeficiente de x³, que es 1, y x³ se traslada al denominador con el signo cambiado.

2) Trasladar factores literales del denominador al numerador de una expresión.

Ejemplo:  Sea la expresión  a²b/c³ = a²bc⁻³/1 = a²bc⁻³ (En este caso el coeficiente 1, en el denominador no se pone.)

———————————– xy²/3z⁻² =   xy²z²/3

3) Expresar sin denominadores. ( o lo que es lo mismo, trasladar el denominador al numerador)

Ejemplo:   2x²y³z⁴/x⁻¹y² =  2(x²)(x¹)(y³)(y⁻²)z⁴ = 2x³y¹z⁴ = 2x³yz⁴

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Ejercicio 220.

  •  Pasar los factores literales del numerador al denominador de:

 

1)  a²/b² = 1 /a⁻²b²  Solución.

 

3) 4mn²/x³ = 4 /m⁻¹n⁻²x³   Solución.

 

5) 3c⁻²⁄³/7 = 3 /7c²⁄³  Solución.

 

7) m⁻³/5  =  1 /5m³    Solución.

 

  •  Pasar los factores literales del denominador al numerador de:

 

14) 3a/b² = 3ab⁻²   Solución.

 

16) 4/ x⁻¹⁄²y² = 4x¹⁄²y⁻²   Solución.

 

17)  3a⁵/7x⁻⁵y⁻³⁄⁴ = 3a⁵x⁵y³⁄⁴/7  Solución.

 

  •  Expresar sin denominador :

 

21) 3a²b³/a⁻¹x  = 3(a²)(a)b³x⁻¹ = 3a³b³x⁻¹  Solución.

 

23) m⁻²n⁻¹x⁻¹⁄²/m⁻⁴n⁻⁵x⁻² = (m⁻²)(m⁴)(n⁻¹)(n⁵)(x⁻¹⁄²)(x²) =

=  m²n⁴x³⁄²   Solución.

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Procedimiento:

1) Pasar los factores con exponentes negativos de la expresión.

2) Simplificar.

 

Ejemplos:

a) Expresar con exponentes positivos: x⁻¹y⁻²

x⁻¹y⁻²  =

= 1/xy²  Solución.

(El coeficiente de la expresión original es 1, por lo tanto se deja como numerador de la expresión equivalente)

 

b) Expresar con exponentes positivos: 3ab⁻¹c⁻³

3ab⁻¹c⁻³ =

= 3a/bc³  Solución.

(En este caso el coeficiente 3, se deja como numerador de la expresión equivalente y la letra “a” como su exponente es positivo, también se deja como numerador de la expresión equivalente)

 

c) Expresar con exponentes positivos:  x/2x¹⁄²y⁻⁴

x/2x⁻¹⁄²y⁻⁴  = (x)(x¹⁄²)y⁴/2 =

= x³⁄²y⁴/2   Solución.

(En este caso la “x” en el numerador y el “2” en el denominador, no se cambian de lugar; además la “x” y “x¹⁄²,” que se subió, se multiplican, quedando simplificado como x³⁄²)

 

d) Expresar con exponentes positivos:  2a²b⁻⁵c⁻⁷/5a⁻³b⁻⁴c⁻⁶ 

2a²b⁻⁵c⁻⁷/5a⁻³b⁻⁴c⁻⁶  = (2a²)(a³)b⁴c⁶/5b⁵c⁷ =

= 2a⁵b⁴c⁶/5b⁵c⁷  (Se simplifican b⁴c⁶ del numerador con b⁵c⁷ del denominador)

2a⁵/5bc  Solución.

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Ejercicio 219.

Expresar con exponentes positivos y simplificar:

1) a²b⁻³

= a²/b³  Solución.

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3) a⁻⁴b⁻¹⁄²

= 1/a⁴b¹⁄²  Solución.

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6) a²b⁻¹c

= a²c/b  Solución.

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11)  2a⁻²b⁻³/a⁻⁴c⁻¹

= 2a⁴c/a²b³     Simplificando las “a” y las “b”, quedaría así:

= 2a²c/b³  Solución.

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13) 3m⁻⁴n⁻¹⁄²/8m⁻³n⁻⁴

= 3m³n⁴/8m⁴n¹⁄²    Simplificando las “m” y las “n”, quedaría así:

= 3n⁷⁄²/8m   Solución.

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Exponente Fraccionario.

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad subradical la misma cantidad elevada a la potencia que indica el numerador del exponente.

Aᵐ⁄ⁿ =  ⁿ√aᵐ     ;      a²⁄³ = ³√a²

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Ejemplos:

a) Expresar con signo radical   x³/⁵  ,  2a¹/²  ,  x²/³y¹/⁴

x³/⁵ =  ⁵√x³

2a¹/² = 2 ²√a¹ = 2√a

x²/³y¹/⁴ = ³√x²√y

b) Expresar con exponente fraccionario:  ³√a    ,     2 ⁴√a³   ,    √x³  ⁵√y⁴

³√a =  a¹⁄³

2 ⁴√a³ = a³⁄⁴

√x³  ⁵√y⁴ = x³⁄²y⁴⁄⁵

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Ejercicio 218

1) Expresar con signo radical  x¹⁄³

=  ³√x¹

= ³√x  Solución

 

3) Expresar con signo radical  4a³⁄⁴ 

= 4 ⁴√a³  Solución

 

6) Expresar con signo radical  x³⁄²y¹⁄⁴z¹⁄⁵

= ²√x³ ⁴√y¹ ⁵√z¹ = √x³ ⁴√y ⁵√z

= √x² √x ⁴√y ⁵√z   [en este caso se factorizó el término de la cantidad subradical √x³,

porque su exponente es mayor que el índice de la raíz, quedando así (√x²)(√x)]

x √x ⁴√y ⁵√z      [aquí se eliminó el término anterior (√x²),

porque el índice de la raíz y el exponente son iguales], quedando solo “x”.

x √x ⁴√y ⁵√z   Solución

 

10) Expresar con signo radical  8mn⁸⁄³

= 8m ³√n⁸

= 8m ³√n⁶ ³√n²  (se factorizó el termino anterior ³√n⁸)

= 8mn² ³√n²   (se eliminó el índice de la raíz³ de ³√n⁶; dividiendo el exponente

de n⁶ entre el índice de la raíz³, quedando fuera de la raíz “n²”

Entonces la Solución es 8mn² ³√n²

 

13) Expresar con exponente fraccionario  √a⁵

= a⁵⁄²  Solución

 

17) Expresar con exponente fraccionario  2 ⁴√x⁵

= 2x⁵⁄⁴   Solución

 

18) Expresar con exponente fraccionario  √a³ ³√b⁵

= a³⁄²b⁵⁄³  Solución

 

24) expresar con exponente fraccionario   ᵐ√a ⁿ√b³ √ͬ c ͯ

= a¹⁄ᵐb³⁄ⁿc ͯ ⁄  ͬ   Solución.

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