Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Procedimiento:

1) Buscar si hay un factor común en los términos de la expresión.

2) Si hay factor común en la primera expresión descomponerlo en dos factores.

3) Descomponer en dos factores, el factor que no es común en los dos encontrados.

4) La solución será la expresión con los tres factores encontrados.

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Ejemplos:

a) Descomponer en tres factores 5a²-5

> Buscando el factor común de 5a²  y  -5, que es 5

> Descomponiendo 5a²-5 en dos factores

5a²-5 = 5(a²-1)

> Descomponiendo en dos factores a²-1:

a²-1 = (a+1)(a-1)

–>  5a²-5 =  5(a+1)(a-1)  Solución.

 

b) Descomponer en tres factores 3x³-18x²y+27xy²

> Buscando el factor común 3x³  ;  -18x²y  ;  +27xy², que es 3x

> Descomponiendo 3x³-18x²y+27xy² en dos factores:

3x³-18x²y+27xy² = 3x(x²-6xy+9y²)

> Descomponiendo x²-6xy+9y²  en dos factores:

x²-6xy+9y² = (x-3y)² = (x-3y)(x+3y)

–> 3x³-18x²y+27xy² = 3x(x-3y)(x+3y)  Solución.

 

c) Descomponer en tres factores 6ax²+12ax-90a

> Buscando el factor común de  6ax²  ;  +12ax  ;  -90a, que es 6a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

6ax²+12ax-90a = 6a(x²+2x-15)

> Descomponiendo  x²+2x-15 en dos factores:

x²+2x-15 = (x+5)(x-3)

–> 6ax²+12ax-90ª =  6a(x+5)(x-3)  Solución.

 

d) Descomponer en tres factores  8x³+8

> Buscando el factor común de 8x³  y  8, que es 8

>Descomponiendo en dos factores la expresión:

8x³+8 =  8(x³+1)

> Descomponiendo x³+1 en dos factores:

x³+1 = (x+1)(x²+x+1)

–> 8x³+8 =  8(x+1)(x²+x+1)  Solución.

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Ejercicio 107.

1) Descomponer en tres factores 3ax²-3a

> Buscando el factor común de 3ax²  y  -3a, que es 3a

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3ax²-3a = 3a(x²-1)

> Descomponiendo x²-1 en dos factores:

x²-1 = (x+1)(x-1)

–> 3ax²-3a = 3a(x+1)(x-1)  Solución.

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2) Descomponer en tres factores  3x²-3x-6

> Buscando el factor común de 3x² , 3x  , 6, que es 3

> Descomponiendo la expresión en dos factores:

3x²-3x-6 =  3(x²-x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en dos factores:

x²-x-2 = (x-2)(x+1)

–> 3x²-3x-6 =  3(x-2)(x+1)  Solución.

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3) Descomponer en tres factores  2a²x-4abx+2b²x

> Buscando el factor común de 2a²x  ;  4abx  ;  2b²x, que es 2x

> Descomponiendo la expresión en dos factores

2a²x-4abx+2b²x = 2x(a²-2ab+b²)

> Descomponiendo a²-2ab+b² en dos factores:

a²-2ab+b² = (a-b)² = (a+b)(a-b)

–> 2a²x-4abx+2b²x = 2x(a+b)(a-b)

ó = 2x(a-b)²  Solución.

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Cociente Mixto.

Se originan cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor y nos da un residuo. Estos cocientes constan de entero y una fracción.
La división debe detenerse cuando el primer término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con relación a una letra, o sea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor; entonces agregamos al cociente la fracción resultante cuyo numerador será el residuo y el denominador el divisor.
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Ejemplos:
 
a) Dividir x²-x-6  entre  x+3
 
         x-4 + 6/x+3  <–  Solución.
x+3  |x² – x- 6
        -x²-3x   
            -4x – 6
             4x+12 
                     6  <– Residuo
 
b) Dividir 6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶-n⁸  entre  2m²-n⁴
 
              3m²-2mn² + 2mn⁶-n8/2m²-n⁴ <–  Solución.
2m²-n⁴  |6m⁴-4m³n²-3m²n⁴+4mn⁶ -n⁸
              -6m⁴           +3m²n⁴ 
                      -4m³n²            +4mn⁶
                       4m³n²            – 2mn⁶
                                              +2mn⁶ -n⁸  <– Residuo
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Ejercicio 59.
 
3) Dividir 9x³+6x²+7  entre  3x²
 
        3x+2 + 7/3x²  <– Solución.
3x²  |9x³+6x²+7
        -9x³
                6x²
               -6x²   .
                      7
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5) Dividir x²+7x+10  entre  x+6
 
         x+1 + 4/x+6   <–   Solución.
x+6  |x²+7x+10
        -x² -6x 
                 x+10
                -x – 6
                       4
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13) Dividir  8a³-6a²b+5ab²-9b³  entre  2a-3b
 
            4a²+3ab+7b² + 12b³/2a-3b  <–  Solución. 
2a-3b  |8a³ -  6a²b +5ab²-9b³
            -8a³+12a²b   
                      6a²b +5ab²
                     -6a²b +9ab²   
                               14ab² -  9b³
                              -14ab²+21b³  
                                           12b³
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Regla:
1) Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y se tendrá el primer término del cociente.
3) El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo a como se hayan ordenado.
4) Se divide el primer término del resto o residuo entre el primer término del divisor y se tendrá el segundo término del cociente.
5) Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.
6) Se divide el primer término del segundo resto o residuo entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
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Ejemplos:
a) Dividir   3x²+2x-8  entre  x+2
> Resolviendo:
 
          3x-4       .   <–  Solución.
x+2  |3x²+2x-8         ( 3x²÷x= 3x)
         -3x²-6x             [3x(x+2)= 3x²+6]
               -4x-8          ( -4x÷x= -4)
                4x+8          [-4(x+2)= -4x-8]
 
b) Dividir  28x²-30y²-11xy  entre  4x-5y
> Ordenando el dividendo en orden descendente
con relación a la letra “x”:
 
            7x+6y                  .   <– Solución.
4x-5y  |28x²-11xy-30y²
           -28x²+35xy  
                     24xy- 30y²
                    -24xy+30y² 
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Ejercicio 54.
 
3) Dividir x²-20+x  entre  x+5
> Ordenando el dividendo:
 
         x-4         .     <– Solución.
x+5  |x²+ x-20
        -x²-5x  
            -4x-20
             4x+20   
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5)  Dividir  x²+15-8x  entre  3-x
> Ordenando el dividendo y el divisor:
 
          -x+5        .    ó = 5-x  <–  Solución.
-x+3  |x² -8x+15
          -x²+3x   
               -5x+15
                5x -15  
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17) Dividir  x⁴-9x²+3+x  entre  x+3
> Ordenando el dividendo:
 
         x³-3x²+1          .  <–  Solución.
x+3  |x⁴      -9x²+x+3
        -x⁴-3x³   
            -3x³-9x²
             3x³+9x²   
                          x+3
                         -x -3
__________________________________________________
21) Dividir  3y⁵+5y²-12y+10  entre  y²+2
 
          3y³-6y+5                   .   <–  Solución.
y²+2  |3y⁵       +5y²-12y +10
          -3y⁵-6y³  
                 -6y³+5y²-12y
                 6y³        +12y 
                         5y²        +10
                        -5y²        – 10
__________________________________________________
 
Procedimiento:
1) Se efectúan las operaciones que estén indicadas dentro de signos de agrupación.
2) Cuando un coeficiente este  antes de un signo de agrupación se debe multiplicar éste por los términos que estén dentro del signo de agrupación.      4(a+b)  =  4a+4b
3) Se suprimen los signos de agrupación.
4) Después de efectuar las operaciones y de suprimir los signos de agrupación se procede a reducir los términos semejantes para llegar al resultado final.
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 Ejemplos:
 
a) Simplificar  5a+{a-2[a+3b-4(a+b)]}
> Suprimiendo los signos de agrupación:
5a+{a-2[a+3b-4(a+b)]}
= 5a+{a-2[a+3b-4a-4b]} <– Se suprimieron los paréntesis
= 5a+{a-2a-6b+8a+8b}   <– Se suprimieron los corchetes
= 5a+a-2a-6b+8a+8b      <– Se suprimieron las llaves
> Ordenando términos semejantes:
= 5a+a+8a-2a-6b+8b
> Reduciendo términos semejantes
= 12a+2b   Solución.
.                                                                        ___
b) Simplificar  -3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y+2)}-2x]
> Suprimiendo signos de agrupación:
                                            ___
-3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y+2)}-2x]
= -3(x+y)-4[-x+2{-x+2y-3(x-y-2)}-2x]  <– Se suprimió la barra
= -3x-3y-4[-x+2{-x+2y-3x+3y+6}-2x]  <– Se suprimieron los paréntesis
= -3x-3y-4[-x-2x+4y-6x+6y+12-2x]     <– Se suprimieron las llaves
= -3x-3y+4x+8x-16y+24x-24y-48+8x  <– Se suprimieron los corchetes
> Ordenando términos semejantes:
= -3x+4x+8x+24x+8x-3y-16y-24y-48
> Reduciendo términos semejantes:
= 41x-43y-48   Solución.
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Ejercicio 48
 
1) Simplificar x-[3a+2(-x+1)]
> Resolviendo:
x-[3a+2(-x+1)]
= x-[3a-2x+2]  <– Se suprimieron los paréntesis
= x-3a+2x-2  <–  Se suprimieron los corchetes
> Reduciendo términos semejantes:
= 3x-3a-2   Solución.
__________________________________________________
3) Simplificar  –[3x-2y+(x-2y)-2(x+y)-3(2x+1)]
> Resolviendo:
–[3x-2y+(x-2y)-2(x+y)-3(2x+1)]
= -[3x-2y+x-2y-2x-2y-6x-3] <– Se suprimieron los paréntesis
= -3x+2y-x+2y+2x+2y+6x+3  <– Se suprimieron los corchetes
> Ordenando y reduciendo términos semejantes:
= -3x-x+2x+6x+2y+2y+2y+3
= 4x+6y+3  Solución.
__________________________________________________
6) Simplificar  a-(x+y)-3(x-y)+2[-(x-2y)-2(-x-y)]
> Resolviendo:
a-(x+y)-3(x-y)+2[-(x-2y)-2(-x-y)]
= a-x-y-3x+3y+2[-x+2y+2x+2y]   Se suprimieron los paréntesis
= a-x-y-3x+3y-2x+4y+4x+4y    Se suprimieron los corchetes
> Ordenando y reduciendo términos semejantes:
= a-x-3x-2x+4x-y+3y+4y+4y
= a-2x+10y    Solución.
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Se refiere a una expresión formada por varios factores monomios  y/o polinomios.  Los que se resuelven multiplicando los dos primeros factores y el resultado por el tercer factor y este nuevo resultado por el cuarto factor; y así sucesivamente al número de factores que contenga la expresión.
El producto continuado puede resolverse también agrupando factores, según la Ley asociativa de la Multiplicación, y los resultados se multiplican entre sí.
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Ejemplo:
Efectuar   3x(x+3)(x-2)(x+1)
> Resolviendo:
① 3x(x+3) = 3x²+9x
        
② 
3x²+9x
x-2               .
3x³+9x²
      – 6x²-18x
3x³+3x²-18x
 
③ 
3x³+3x²-18x
x+1                       .
3x⁴+3x³-18x²
      +3x³+ 3x²-18x
3x⁴+3x³-15x²-18x   Solución.
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Ejercicio 46
 
3) Simplificar  2(a-3)(a-1)(a+4)
> Resolviendo:
2(a-3) = 2a-6
 
2a-6
a-1          .
2a²-6a
.     -2a+6
2a²-8a+6
 
2a²-8a+6
a+4                          .
2a³- 8a² + 6a
      +8a² -32a+24
2a³         -26a+24    Solución.
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6)  Simplificar  (a-b)(a²-2ab+b²)(a+b)
a²-2ab+b²
a-b                     .
a³-2a²b+   ab²
    -  a²b+2ab²-b³
a³-3a²b+3ab²-b³
 
a³-3a²b+3ab²-b³
a+b                                    .
a⁴-3a³b+3a²b² -  ab³
    + a³b -3a²b²+3ab³-b⁴
a⁴-2a³b            +2ab³-b⁴   Solución.
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9)  Simplificar (aᵐ -3)(aᵐ⁻¹ +2)( aᵐ⁻¹ -1)
> Resolviendo:
aᵐ-3
aᵐ⁻¹+2                    .
a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹
                      +2aᵐ-6
a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6
 
a²ᵐ⁻¹ -3aᵐ⁻¹ +2aᵐ-6
aᵐ⁻¹ -1                                                 .
a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+2a²ᵐ⁻¹  -6aᵐ⁻¹
                       -  a²ᵐ⁻¹ +3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6
a³ᵐ⁻²-3a²ᵐ⁻²+  a²ᵐ⁻¹  -3aᵐ⁻¹ -2aᵐ +6
 
Ordenando:
a³ᵐ⁻² +a²ᵐ⁻¹ -3a²ᵐ⁻² -2aᵐ -3aᵐ⁻¹ +6   Solución.
___________________________________________________
14)  Simplificar  aᵡ(aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²)( aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²)bᵡ
> Resolviendo:
aᵡ⁺¹+bᵡ⁺²
aᵡ                 .
a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺² ①
 
aᵡ⁺¹-bᵡ⁺²
bᵡ                 .
aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²   ②
 
a²ᵡ⁺¹ +aᵡbᵡ⁺²                           ①
aᵡ⁺¹bᵡ -b²ᵡ⁺²                        .   ②
a³ᵡ⁺²bᵡ +a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺²
             – a²ᵡ⁺¹b²ᵡ⁺² -aᵡb³ᵡ⁺⁴
a³ᵡ⁺²bᵡ                     -aᵡb³ᵡ⁺⁴  Solución.
____________________________________________________
 
Procedimiento:
1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.
2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.
3) Los productos de los coeficientes deben simplificarse.
___________________________________________________
Ejemplos:
 
a) Multiplicar ½ x² -⅓xy   por   ⅔x -⅘y
½ x² -⅓xy
⅔x -⅘y                      .
⅓x³  -  ²∕₉x²y
        -  ²∕₅x²y +⁴⁄₁₅xy²
⅓x³ -²⁸⁄₄₅x²y+⁴⁄₁₅xy²    Solución.
 
b) Multiplicar ⅓x²+ ½y²-⅕xy   por  ¾x²- ½xy- ¼y²
> Ordenando el primer factor:
⅓x²-⅕xy+½y²
¾x²- ½xy- ¼y²               .
¼ x⁴ – ³∕₂₀x³y  +   ³∕₈x²y²
         -   ¹∕₆x³y +  ¹∕₁₀x²y²  -   ¼ xy³
                         -  ¹∕₁₂x²y ² +¹∕₂₀xy³ -¹∕₈y⁴
¼ x⁴ -¹⁹∕₆₀x³y +⁴⁷∕₁₂₀x²y²  -  ¹∕₅xy³ -¹∕₈y⁴   Solución.
___________________________________________________
Ejercicio 44.
Multiplicar:
 
2)  x – ⅖y  por  ⅚y + ⅓x
> Ordenando el segundo factor:
x -⅖y
⅓x +⅚y              .
⅓x²  -²∕₁₅xy
        +  ⅚xy  -⅓y²
⅓x² +⁷∕₁₀xy  -⅓y²   Solución.
___________________________________________________
3) ½ x² -⅓xy + ¼ y²  por  ⅔x -³∕₂y
 
½ x² -⅓xy + ¼ y²
⅔x -³∕₂y                  .
⅓x³  -    ²∕₉x²y +⅙xy²
         -    ¾ x²y +½xy² -³∕₈y³
⅓x³  -³⁵∕₃₆x²y +⅔xy² -³∕₈y³   Solución.
___________________________________________________
5) ⅖m²+⅓mn- ½n²   por   ³∕₂m²+2n²-mn
> Ordenando el segundo factor:
⅖m²+⅓mn- ½n²
³∕₂m²-mn+2n²               .
⅗m⁴ + ½ m³n  -  ¾ m²n²
          -  ⅖m³n  -   ⅓m²n² +  ½mn³
                          +  ⅘m²n² +  ⅔mn³ – n⁴
⅗m⁴ +¹∕₁₀m³n -¹⁷∕₆₀m²n² +⁷∕₆mn³ – n⁴    Solución.
___________________________________________________
 

Procedimiento:

1) Ordenar los términos de los factores cuando sea necesario.
2) Multiplicar los factores, colocando los términos de los productos parciales debajo de su término semejante.
___________________________________________________
Ejemplos:
 
a) Multiplicar   aᵐ⁺²-4ᵐ-2ᵐ⁺¹ por a²-2a.
> Ordenando los términos:
aᵐ⁺²-2ᵐ⁺¹-4ᵐ
a²-2a                     .
aᵐ⁺⁴-2aᵐ⁺³ -4aᵐ⁺²
        -2aᵐ⁺³+4aᵐ⁺²+8aᵐ⁺¹
aᵐ⁺⁴-4aᵐ⁺³             +8aᵐ⁺¹   Solución.
 
b) Multiplicar   xᵅ⁺²-3xᵅ-xᵅ⁺¹+xᵅ⁻¹  por xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹
> Ordenando los términos de los factores:
xᵅ⁺²-xᵅ⁺¹-3xᵅ+xᵅ⁻¹
xᵅ⁺¹+xᵅ+4xᵅ⁻¹             .
x²ᵅ⁺³-x²ᵅ⁺²-3x²ᵅ⁺¹ +  x²ᵅ
          x²ᵅ⁺² – x²ᵅ⁺¹ -3x²ᵅ +   x²ᵅ⁻¹
                   4x²ᵅ⁺¹ -4x²ᵅ -12x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²
x²ᵅ⁺³                      -6 x²ᵅ-11x²ᵅ⁻¹ +4x²ᵅ⁻²   Solución.
___________________________________________________
Ejercicio 43.
Multiplicar:
 
1) aᵡ-aᵡ⁺¹+aᵡ⁺²  por  a+1
> Ordenando el factor trinomio:
aᵡ⁺²-aᵡ⁺¹+aᵡ
a+1                      .
aᵡ⁺³-aᵡ⁺²+aᵡ⁺¹
        aᵡ⁺² -aᵡ⁺¹+aᵡ
aᵡ⁺³                 +aᵡ   Solución.
___________________________________________________
2) xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³  por  x²+x
> ordenando el factor binomio:
xⁿ⁺¹+2xⁿ⁺²-xⁿ⁺³
x+x²                    .
xⁿ⁺²+2xⁿ⁺³ -  xⁿ⁺⁴
           xⁿ⁺³+2xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵
xⁿ⁺²+3xⁿ⁺³+  xⁿ⁺⁴-xⁿ⁺⁵   Solución.
___________________________________________________
3) mᵅ⁻¹+mᵅ⁺¹+mᵅ⁺²-mᵅ  por  m²-2m+3
> Ordenando el primer factor:
mᵅ⁺²+mᵅ⁺¹-mᵅ+mᵅ⁻¹
m²-2m+3                    .
. mᵅ⁺⁴+  mᵅ⁺³-  mᵅ⁺²+  mᵅ⁺¹
           -2mᵅ⁺³-2mᵅ⁺²+2mᵅ⁺¹-2mᵅ
                        3mᵅ⁺²+3mᵅ⁺¹-3mᵅ+3mᵅ⁻¹
. mᵅ⁺⁴ – mᵅ⁺³             +6mᵅ⁺¹-5mᵅ+3mᵅ⁻¹    Solución.
___________________________________________________
 
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