Lo que pretendo demostrar es que: en la resolución de un ejercicio del Álgebra, lo importante es saber como se llega a su resultado, para que haya un verdadero aprendizaje. Mi Email es jorgecarrillom@gmail.com

Aquí se aplican las diferentes fórmulas para logaritmo de un producto, de un cociente, de una potencia y  de una raíz;  de acuerdo con la expresión aritmética dada.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de (3284*0.09132) /715.84

> Aplicando las fórmulas correspondientes:

Log [(3284*0.09132)/715.84] =

= Log (3284*0.09132) + Colog 715.84

= (3.516403 + 2.960566) + 3.145184

= 2.476969 + 3.145184

= 1.622153

> Antilog del resultado es

= 0.418941  Solución.

 

b) Hallar el valor de 100.39*0.03196 / 7.14*0.093

> Aplicando las fórmulas correspondientes:

Log [(100.39*0.03196)/(7.14*0.093)]=

= (Log 100.39 + Log 0.03196) – (Log 7.14 + Log 0.093)

= (2.001690 + 2.504607) – (0.853698 + 2.968483)

= 0.506297 + Colog 1.822181

= 0.506297 + 0.177819

= 0.684116

= Antilog 0.684116

= 4.831878    Solución.

 

c) Hallar por logaritmos el valor de 3^⅖ * 5^⅔

> Aplicando las fórmulas correspondientes:

Log (3^⅖ * 5^⅔) =

= ⅖(Log 3) + ⅔(Log 5)

= ⅖(0.477121) + ⅔(0.698970)

= 0.190848 + 0.46598

= 0.656828

= Antilog 0.656828

= 4.5376  Solución.

 

d) Hallar por logaritmos el valor de ³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)

> Aplicando los fórmulas correspondientes:

Log [³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)] =

= Log [(32.7*0.006)/(0.14*89.17)]/3

= [(Log 32.7 + Log 0.006) - (Log 0.14 + Log 89.17)]/3

= [(1.514548 + 3.778151) + Colog (1.146128 + 1.950219)]/3

= [(1.292699) + Colog (1.096347)]/3

= [1.292699) + 2.903653]/3

= 2.196352/3

= 1.398784

Antilog 1.398784

= 0.25048  Solución.

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Ejercicio 299.

Hallar por logaritmo el valor de las expresiones siguientes:

 

1) 515*78.19 /6.13

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto, y de un cociente:

Log (515*78.19 /6.13) =

= (Log 515 + Log 78.19) – (Log 6.13)

= (2.711807 + 1.893151) + Colog 0.787460

= 4.604958 + 1.21254

= 3.817498

Antilog de 3.817498 = 6568.98

= 6569.    Solución.

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11) 2^⅕ * 3^½ * 5^¾

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia y de un producto:

Log (2^⅕ * 3^½ * 5^¾) =

= ⅕(Log 2) + ½(Log 3) + ¾(Log 5)

= ⅕(0.301030) + ½(0.477121) + ¾(0.698970)

= 0.060206 + 0.238560 + 0.524227

= 0.822993

Antilog de 0.822993 =

= 6.6526   Solución.

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16) √(932.5 * 813.6 * 0.005)

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz:

Log  [√(932.5 * 813.6 * 0.005)]

= (Log 932.5 + Log 813.6 + Log 0.005)/2

= (2.969649 + 2.910411 + 2.301030)/2

= 3.57903 /2

= 1.789515

Antilog 1.789515

= 61.591   Solución.

_____________________________________________________

20) ⁵√(56813/22117)

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente y de una raíz:

Log ⁵√(56813/22117

= (Log 56813 – Log 22117)/5

= (4.754447 + Colog 4.344726)/5

= (4.754447 + 5.655274)/5

= 0.409721/5

= 0.081944

Antilog 0.081944 =

= 1.20766  Solución.

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Procedimiento:

1) Aplicar la fórmula correspondiente de acuerdo a la operación aritmética que se pide resolver:

Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.  Log (a * b) = Log a + Log b.

Logaritmo de un Cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.  Log a/b = Loga – Log b.

Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.  Log aⁿ = n(Log a).

Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz.  Log ⁿ√a = Log a /n.

 

2) Aplicar en todos los casos las propiedades que corresponda según el tipo de logaritmo que se aplique.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de 1215 * 0.84 por logaritmos.

> Aplicando la fórmula para Log de un producto:

Log  (1215 * 0.84) =

= Log 1215 + Log 0.84

= 3.084576 + 1.924279

= (3-1)+(0.084576 + 0.924279) (Se suman las características por separado y luego se suman las mantisas también separadas; pero éstas como positivas.

= 2 + 1.008855    (Finalmente se suma el total de las características y la suma de las mantisas).

= 3.008855

> Se encuentra el antilogaritmo del resultado:

Antilog  3.008855 = 1,020.60 Solución

> Realizando la operación aritméticamente:

1,215 * 0.84 = 1,020.60

 

b) Hallar por logaritmos el valor de 3214.8 * 0.003 * (-43.76)

> En este caso el factor -43.76 se debe tomar como positivo; pero al resultado final se le pone el signo menos.

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (3214.8 * 0.003* 43.76) =

Log 3214-6 + Log 0.003 + Log 43.76

= 3.507154 + 3.477121 + 1.641077

= (3-3+1) + (0.507154 + 0.477121 +0.641077)

= 1 + 1.625352  = 2.625352

> Encontrando el Antilog del resultado:

Antilog  2.625352 = 422.0384 = -422.0384  Solución.

> Realizando la operación aritméticamente:
3214.8 * 0.003 * -43.76 = -422.0389

 

c) Hallar por logaritmos el valor de 0.765/39.14

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (0.765/39.14) =

= Log 0.765 – Log 39.14

= 1.883661 – 1.592621

> Aplicamos el cologaritmo del sustraendo (1.592621) para convertir la operación en suma:

Colog 1.592621 = 2.407379

> la operación quedaría así:

-1.883661 + -2.407379 =

= (-1-2) + (0.883661 + 0.407379)

= 3 + 1.29104

= 2.29104

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  2.29104 = 0.019545   Solución.

> Resolviente el cociente aritméticamente:

0.765/39.14 = 0.019545

 

d) Hallar por logaritmos el valor de (7.5)⁶

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (7.5)⁶ =

6(Log 7.5) =

=6(0.875061)

= 5.250366

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  5.250366 = 177,977.868   Solución.

> Operando la potencia aritméticamente:

(7.5)⁶ = 177,978.515

Nota: Generalmente la diferencia entre el valor hallado por logaritmos y el valor aritmético se debe a que los logaritmos no son rigurosamente exactos, sino aproximados.

 

e) Hallar por logaritmos el valor de ⁵√3

> Aplicando la fórmula para el logaritmo de una raíz:

Log ⁵√3 =

(Log 3)/5

= 0.477121/5

= 0.095424

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.095424 = 1.24573  Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√3 = 1.24573

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Ejercicio 298.

Hallar el valor de las siguientes expresiones por medio de logaritmos:

 

1)  532 * 0.184

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (532*0.184) = Log 532 + Log 0.184

= 2.725912 + 1.264818

= (2-1)+(0.725912+0.264818)

= 1 + 0.99073

= 1.99073

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 1.99073 = 97.888  Solución.

> Resolviendo el producto aritméticamente:

532 * 0.184 = 97.888

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7) 8.125 ÷ 0.9324

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (8.125 /0.9324) = Log 8.125 – Log 0.9324 =

= 0.909823 – 0.969602

= 0.909823 + Colog 0.969602

= 0.909823 + 0.030398

= 0.940221

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.940221 = 8.7141  Solución.

> Resolviendo el cociente aritméticamente:

8.125 ÷ 0.9324 = 8.7141

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12)  0.15³

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (0.15³) =

= 3(Log 0.15)

= 3(0.823909)

= 2.471727

= 0.003375    Solución.

< Resolviendo la potencia aritméticamente:

(0.15)³ = 0.003375

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19 )  ⁵√63

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una raíz:

Log (⁵√63) =

= (Log 63)/5

= (1.799340)/5

= 0.359868

> El antilogaritmo del resultado es:

Antilog 0.359868 = 2.290   Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√63 = 2.290

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Logaritmos.

  • Parte Teórica.
Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.
 
Sistemas de Logaritmos: 
1) Logaritmos Vulgares o de Briggs: cuya base es 10. 
2) Logaritmos Naturales o de Neper, cuya base es el número indeterminado.
 
Propiedades Generales de los Logaritmos:
1) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.
2) Los números negativos no tienen logaritmo, porque siendo su base positiva, todas sus potencias pares o impares, serán positivas.
3) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1. (Log b = 1)
4) En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. (Log 1 = 0)
5) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, porque siempre serán mayores que 0.
6) Los números menores que 1 tiene logaritmo negativo, porque siempre serán menores que 0.
 
Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.  Log (a * b) = Log a + Log b
 
Logaritmo de un Cociente:  es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.  Log a/b = Loga – Log b.
 
Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.  Log aⁿ = n(Log a).
 
Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz.  Log ⁿ√a = Log a /n.
 
Logaritmos Vulgares o de Briggs son aquellos cuya base es 10. Estos son los únicos números cuyos logaritmos son números enteros.
Log 1 = 0  ;  Log 10 = 1  ;  Log 100 = 2  ;  Log 1000 = 3  ; Etc.   y   Log 0.1 = -1  ;  Log 0.01 = -2  ;  Log 0.001= -3; Etc.
 
Estructura de un logaritmo: (que  no sea de base 10)
Característica, que es la parte entera. ( 1.xxxxxx)
Mantisa, que es la parte decimal. (x.397940)
 
Valor de la Característica de un logaritmo. 
1) La característica del logaritmo de un número comprendido entre 1 y 10 es cero.
2) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número.  125.8   –>  Característica es 2.
3) La característica del logaritmo de un número menor que 1 es negativa y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal.   Log 0.07  –>  su característica es -2.
 
Características negativas.
En Log de un número menor que 1 la característica es negativa, pero su mantisa siempre será positiva.  Al escribirse la característica negativa junto con su mantisa debe escribirse el 2  con una línea encima del 2; y no -2.xxxxxx porque el signo a la par de la característica indicaría que la mantisa también es negativa.
 
Cologaritmo:
Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.
El cologaritmo es usado para transformar la sustracción en adición, aplicando el cologaritmo al sustraendo y convertirlo en un sumando.
 
Regla: La característica del cologaritmo se obtiene agregando 1 a la característica dada y cambiándole luego de signo al resultado;  la mantisa se obtiene restando de 9 todas las cifras a partir del punto decimal, excepto la última cifra significativa, que se resta de 10.
Ejemplo:  Colog 3.472 = (3+1).(9-4)(9-2)(10-2) = 4.578 = 4.578   (Este es el nuevo sumando)
 
Nota: Ver en próximas publicaciones la parte práctica de los Logaritmos.

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pero especialmente en este Día Internacional de la Juventud.

Gracias infinitas por darle vida a este sitio.  Bendiciones.

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Caso II. 

Simplificación de Radicales

Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.

Procedimiento:

1) Se factoriza la cantidad subradical para dejar los factores con exponente.

2) Se dividen los factores subradicales entre el índice de la raíz, convirtiéndolos en potencias con exponente fraccionario.

3) Se simplifican las potencias resultantes convirtiéndolas en raíces con un índice común.

.    Ej. 2¹⁄² = ²√2¹ = √2    ;    3¹⁄³= ³√3¹ = ³√3   :   3¹⁄³*a²⁄³= ³√3¹ *³√a² = ³√3a²

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Ejemplos:

 

a) Simplificar ⁴√4a²

> Factorando la cantidad subradical:

⁴√4a² = ⁴√2²*a²

> Dividiendo los exponentes de los factores subradicales entre el índice:

⁴√2²*a² = 2²⁄⁴ *a²⁄⁴ = 2¹⁄²  * a¹⁄²

> Simplificando las potencias resultantes:

2¹⁄² * a¹⁄² = √2*√a = √2a   Solución.

 

b) Simplificar ⁶√9a²x²

> Factorando la cantidad subradical

⁶√9a²x² = ⁶√3²a²x²

> Dividiendo los exponentes de los factores subradicales entre el índice:

⁶√3²a²x² = 3²⁄⁶*a²⁄⁶*x²⁄⁶ = 3¹⁄³*a¹⁄³*x¹⁄³

> Simplificando las potencias resultantes:

3¹⁄³*a¹⁄³*x¹⁄³ = ³√3*³√a*³√x = ³√3ax  Solución.

 

c) Simplificar ¹⁵√27x³y⁶

> Factorando la cantidad subradical:

¹⁵√27x³y⁶ = ¹⁵√3³*x³*y⁶

> Dividiendo los exponentes de los factores entre el índice:

¹⁵√3³*x³*y⁶ = 3³⁄¹⁵*x³⁄¹⁵*y⁶⁄¹⁵ = 3¹⁄⁵*x¹⁄⁵*y²⁄⁵

> Simplificando las potencias resultantes:

3¹⁄⁵*x¹⁄⁵*y²⁄⁵ = ⁵√3 *⁵√x *⁵√y²= ⁵√3xy²   Solución.  Solución

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Ejercicio 233.

1) Simplificar ⁴√9

> Factorando la cantidad subradical

⁴√9 = ⁴√3²

> Dividiendo el exponente del factor entre el índice:

⁴√3² = 3²⁄⁴ = 3¹⁄²

> Simplificando la potencia resultante:

3¹⁄² = √3   Solución.

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2) Simplificar  ⁶√4

> Factorando la cantidad subradical:

⁶√4 = ⁶√2²

> Dividiendo el exponente del factor entre el índice:

⁶√2² = 2²⁄⁶ = 2¹⁄³

> Simplificando la potencia resultante:

2¹⁄³ = ³√2  Solución.

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5) Simplificar  3 ¹²√64

> Factorando la cantidad subradical:

3 ¹²√64 = 3 ¹²√2⁶

> Dividiendo el exponente del factor entre el índice:

3 ¹²√2⁶ = 3(2⁶⁄¹²)

> Simplificando la potencia resultante:

3(2⁶⁄¹²) = 3(2¹⁄²) = 3 √2

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7) Simplificar  5 ⁶√49a²b⁴

> Factorando la cantidad subradical:

5 ⁶√49a²b⁴ = 5 ⁶√7²a²b⁴

> Dividiendo  el exponente del factor entre el índice:

5 ⁶√7²a²b⁴ = 5(7²⁄⁶a²⁄⁶b⁴⁄⁶) = 5(7¹⁄³a¹⁄³b²⁄³)

> Simplificando la potencia resultante:

5(7¹⁄³a¹⁄³b²⁄³) = 5 ³√7ab²   Solución.

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12) Simplificar  ¹⁵√m¹⁰n¹⁵x²⁰

> Factorando la cantidad subradical:

¹⁵√m¹⁰n¹⁵x²⁰ = ¹⁵√m¹⁰n¹⁵x¹⁵x⁵

> Dividiendo el exponente entre el índice:

¹⁵√m¹⁰n¹⁵x¹⁵x⁵ = m¹⁰⁄¹⁵n¹⁵⁄¹⁵x¹⁵⁄¹⁵x⁵⁄¹⁵

> Simplificando la potencia resultante:

m¹⁰⁄¹⁵n¹⁵⁄¹⁵x¹⁵⁄¹⁵x⁵⁄¹⁵ = m²⁄³n¹x¹x¹⁄³

= nx ³√m²x   Solución.

 

Nota:  En esta solución “ n¹  y  x¹ ”, que son igual a  “n  y  1”  y además como su exponente no es fraccionario, se sacan de la raíz como números enteros, multiplicando a  lo que queda en la raíz.

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Caso I.

Simplificación  

Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice.

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Ejemplos:

 a) Simplificar √9a³

> Se factoriza la cantidad subradical para dejar factores con exponente igual al índice y poder sacarlos del radical:

√9a³ = √3²a²a = √3² * √a² * √a

> Sacando factores con exponente igual al índice del radical:

= 3a√a,  que es la solución.

 

b) Simplificar  2√75x⁴y⁵

> Factorizando la cantidad subradical:

2√75x⁴y⁵ =

= 2√5²*3(x²)²(y²)²*y

= 2√5²*√3*√(x²)²*√(y²)²*√y

= 2*5*x²*y²√3y

= 10x²y²√3y   Solución.

 

c) Simplificar  ¹⁄₇√49x³y⁷

> Factorizando la cantidad subradical:

¹⁄₇ √49x³y⁷ =

= ¹⁄₇ √7²x²x(y³)²y

= ¹⁄₇ √7²*√x²*√x*√(y³)²*√y

= ¹⁄₇*7*x*y³*√xy =

= xy³√xy  Solución.

 

d) Simplificar  4  ³√250a³b⁸

> Factorizando la cantidad subradical:

4 ³√250a³b⁸ =

= 4 ³√5³*2a³(b²)³b²

= 4* ³√5³ * ³√2 * ³√a³ * ³√(b²)³ * ³√b²

= 4*5*a*b² * ³√2b²

= 20ab² ³√2b²  Solución.

 

e) Simplificar  ³⁄₂  ⁴√32mn⁸

> Factorizando la cantidad subradical:

³⁄₂  ⁴√32mn⁸

= ³⁄₂  ⁴√2⁴*2m(n²)⁴

= ³⁄₂ ⁴√2⁴ * ⁴√2 * ⁴√m * ⁴√(n²)⁴

= ³⁄₂*2*n²  ⁴√2m

= 3n²  ⁴√2m  Solución.

 

f) Simplificar  √4a⁴-8a³b

> Factorizando  la cantidad subradical:

√4a⁴-8a³b =

= √4a³(a-2b)

=√2²*a²*a(a-2b)

= (2a)√a(a-2b)

= (2a)√(a²-2ab)  Solución.

 

g) Simplificar  √3x²-12x+12

> Factorizando la cantidad subradical:

√3x²-12x+12

= √3(x²-4x+4)

= √3(x-2)²

= (x-2)√3  Solución.

___________________________________________________

Ejercicio 231.

 

1) Simplificar  √18

> Factorizando la cantidad subradical:

√18 =

= √3²*2

= √3²*√2

= 3√2  Solución.

___________________________________________________

5) Simplificar  2 ⁴√243

> Factorizando la cantidad subradical:

2 ⁴√243 =

= 2 ⁴√3⁴*3

= 2 ⁴√3⁴*⁴√3

= 2*3*⁴√3

= 6 ⁴√3  Solución.

___________________________________________________

6) Simplificar  √50a²b

> Factorizando la cantidad subradical:

√50a²b =

= √5²*2*a²*b

= √5²*√2*√a²*√b

= (5a)√2b  Solución.

___________________________________________________

8)  Simplificar  ½ √108a⁵b⁷

> Factorizando la cantidad subradical:

½ √108a⁵b⁷

= ½ √6²*3*(a²)²*a*(b³)²*b

= ½ √6²*√3*√(a²)²*√a*√(b³)²*√b

= ½ *6*a²*b³√3ab

= 3a²b²√3ab  Solución.

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Regla:

Si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es impar, se debe cambiar el signo a toda la fracción; pero si la cantidad de factores que cambiamos signo en una fracción es par, el signo de toda la fracción no se cambia.

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Ejemplos:

a) Simplificar  2/ x+1 + 3/ x-1 – x+5 / 1-x²

> Cambiando el signo al denominador de la tercera fracción:

= 2/ x+1 + 3/ x-1 + x+5 / x²-1

> Descomponiendo el denominador de la tercera fracción:

=  2/ x+1 + 3/ x-1 + x+5 / (x+1)(x-1)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores:

El m.c.m. de x+1,  x-1,  (x+1)(x-1) es (x+1)(x-1)

> Dividiendo el m.c.m. a los denominadores de las fracciones:

= 2(x-1) + 3(x+1) + x+5 /(x+1)(x-1)

> Resolviendo operaciones:

= 2×-2+3x+3+x+5 / (x+1)(x-1)

> Reduciendo términos semejantes:

= 6x+6 / (x+1)(x-1)

> Descomponiendo el numerador de la fracción:

= 6(x+1) /(x+1)(x-1)

> Simplificando la fracción:

= 6 / x-1   Solución.

 

b) Simplificar   x / x²-5x+6 – 1 / 2-x – 2x / (3-x)(1-x)

> Descomponiendo en factores x²-5x+6:

= x / (x-3)(x-2) – 1 / 2-x – 2x / (3-x)(1-x)

> Cambiando signo a 2-x

> Cambiando signo a (3-x)(1-x) = (x-3)(x-1)

= x / (x-3)(x-2) + 1/ x-2 – 2x/(x-3)(x-1)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : (x-1)(x-2)(x-3)

= x(x-1) + (x-1)(x-3) – 2x(x-2) /(x-1)(x-2)(x-3)

> Resolviendo operaciones:

= x²-x+x²-4x+3-2x²+4x / (x-1)(x-2)(x-3)

> Reduciendo términos en el denominador:

= -x+3 / (x-1)(x-2)(x-3)

> Cambiando signo a  –x+3 = x-3

> Cambiando signo a     x-1 = 1-x

= x-3 / (1-x)(x-2)(x-3)      (?)

> Simplificando la fracción:

= 1/(1-x)(x-2)   Solución.

(?) Se cambió signo a:  –x+3  y a:  x-1 , para poder dejar la fracción como positiva.

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Ejercicio 131.

 1) Simplificar   1/ m-n + m/ n²-m²

> Cambiando signo a  n²-m² = m²-n²

= 1/ m-n – m/ m²-n²

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es m²-n²

= 1(m+n) – m(1) / m²-n²

= m+n-m / m²-n²

> Reduciendo términos y simplificando:

= n/ m²-n²   Solución.

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2) Simplificar   x²/ x²-xy – 2x/ y-x

> Descomponiendo x²-xy:

= x²/ x(x-y) – 2x/ y-x

> Cambiando signo a  y-x = x-y:

= x²/ x(x-y) + 2x/ x-y

> Buscando el m.c.m. de las denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : x(x-y)

= x²(1) + x(2x) / x(x-y)

> Resolviendo operaciones:

= x²+2x²/ x(x-y)

> Descomponiendo el numerador de la fracción:

=x(x+2x) / x(x-y)

> Reduciendo términos y simplificando la fracción:

= 3x/ x-y    Solución.

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3) Simplificar  1/ 2x-x² + x/ x²-4

> Descomponiendo factores:

2x-x² = x(2-x)

x²-4 = (x+2)(x-2)

= 1/ x(2-x) + x/(x+2)(x-2)

> Cambiando signo a  2-x = x-2

= – 1/x(x-2) + x/(x+2)(x-2)

> Buscando el m.c.m. de los denominadores y aplicándolo:

El m.c.m. de los denominadores es : x(x+2)(x-2)

= – 1(x+2) + x(x) / x(x+2)(x-2)

> Resolviendo operaciones:

= -x-2+x² / x(x+2)(x-2)

> Ordenando el numerador:

= x²-x-2 / x(x+2)(x-2)

> Descomponiendo x²-x-2 en factores:

= (x-2)(x+1) / x(x+2)(x-2)

Simplificando la fracción:

= x+1 /x(x+2)    Solución.

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